AMC 8 · 2015 · #24
학년 7 algebranumber-theory문제
한 야구 리그는 네 팀씩 두 디비전으로 이루어져 있습니다. 각 팀은 같은 디비전의 다른 모든 팀과 N경기씩, 다른 디비전의 모든 팀과 M경기씩 치르며, N>2M이고 M>4입니다. 각 팀은 모두 76경기를 치릅니다. 한 팀이 자기 디비전 안에서 치르는 경기는 몇 경기일까요?
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AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 한 야구 리그가 각각 $4$ 팀씩 들어 있는 두 디비전으로 구성됩니다. 같은 디비전 안에서는 두 팀이 서로 $N$ 번씩 경기를 하고, 다른 디비전 팀과는 $M$ 번씩 경기를 합니다. 조건은 $N > 2M$, $M > 4$ 이고 각 팀은 한 시즌에 총 $76$ 경기를 치릅니다. 한 팀이 같은 디비전 팀과 치르는 경기 수는 몇 경기일까요?
주어진 것: 디비전 $2$ 개, 각 디비전에 $4$ 팀; 같은 디비전 상대: 각 팀과 $N$ 경기씩; 다른 디비전 상대: 각 팀과 $M$ 경기씩; 조건: $N > 2M$, $M > 4$; 한 팀의 시즌 총 경기 수 $= 76$; 선택지: (A) $36$, (B) $48$, (C) $54$, (D) $60$, (E) $72$
구하는 것: 한 팀이 같은 디비전 팀과 치르는 경기 수
이해
문제 재정리: 한 야구 리그가 각각 $4$ 팀씩 들어 있는 두 디비전으로 구성됩니다. 같은 디비전 안에서는 두 팀이 서로 $N$ 번씩 경기를 하고, 다른 디비전 팀과는 $M$ 번씩 경기를 합니다. 조건은 $N > 2M$, $M > 4$ 이고 각 팀은 한 시즌에 총 $76$ 경기를 치릅니다. 한 팀이 같은 디비전 팀과 치르는 경기 수는 몇 경기일까요?
주어진 것: 디비전 $2$ 개, 각 디비전에 $4$ 팀; 같은 디비전 상대: 각 팀과 $N$ 경기씩; 다른 디비전 상대: 각 팀과 $M$ 경기씩; 조건: $N > 2M$, $M > 4$; 한 팀의 시즌 총 경기 수 $= 76$; 선택지: (A) $36$, (B) $48$, (C) $54$, (D) $60$, (E) $72$
계획
주요 도구: #1 식 세우기
보조 도구: #12 경우 나누기
먼저 도구 #1(식 세우기) 로 한 팀이 디비전별로 만나는 상대 수를 센 뒤 "총 $76$ 경기" 라는 조건을 $N$, $M$ 에 대한 한 줄짜리 일차식으로 옮깁니다. 이 식 하나만으로는 해가 무수히 많기 때문에, 도구 #12(경우 나누기) 로 두 부등식 ($N > 2M$, $M > 4$) 과 "$N$, $M$ 은 정수" 라는 조건을 합쳐서 $M$ 의 후보를 $\{5, 6, 7\}$ 로 좁힌 다음, 각 경우에 $N$ 이 정수가 되는지 확인합니다. 살아남는 한 쌍이 곧 답입니다.
실행 — 정답: B
6.EE.B.6 단계 1 - 상대 수를 세서 시즌 총 경기 수 식을 세웁니다.
- 같은 디비전 안에는 자기 팀을 뺀 $4 - 1 = 3$ 팀이 있고 각 팀과 $N$ 번씩 만나므로 $3N$ 경기, 다른 디비전에는 $4$ 팀이 있고 각 팀과 $M$ 번씩 만나므로 $4M$ 경기를 치릅니다.
- 합쳐서 $76$ 경기.
💡 모르는 경기 수를 문자 $N$, $M$ 으로 두고 문장제를 식으로 옮기는 것은 6학년 "변수로 식 세우기" 표준 그대로입니다.
7.EE.B.4 단계 2 부등식 $N > 2M$ 을 $M$ 만의 조건으로 바꾸기 위해 식을 $N = \cdots$ 꼴로 정리합니다.
💡 두 문자가 들어 있는 식에서 한 문자에 대해 푸는 것은 7학년에서 다루는 대수 조작입니다.
7.EE.B.4 단계 3 - 정리한 식을 $N > 2M$ 에 대입해 $M$ 의 위쪽 한계를 구합니다.
- $M > 4$ 와 합치면 $M$ 의 정수 후보가 짧은 목록으로 줄어듭니다.
💡 여러 단계로 부등식을 정리하고 범위 안의 정수만 골라내는 작업이 바로 7학년 부등식 표준입니다.
6.NS.B.4 단계 4 - 후보 $M$ 을 하나씩 대입해 $N = (76 - 4M)/3$ 이 양의 정수가 되는 경우만 남깁니다.
- 분자 $76 - 4M$ 이 $3$ 의 배수여야 합니다.
💡 작은 수 세 개에 대해 $3$ 의 배수 여부를 확인하는 것은 6학년 약수·배수 감각을 그대로 쓰는 작업입니다.
6.EE.B.6 단계 5 남은 경우가 원래 조건 $N > 2M$ 까지 만족하는지 확인한 뒤, $N = 16$ 을 같은 디비전 경기 수 $3N$ 에 대입합니다.
💡 구한 값을 식 $3N$ 에 다시 넣어 계산하는 것은 6학년 "특정 값에서 식의 값 구하기" 그대로입니다.
6.EE.B.6 상대 수를 세서 시즌 총 경기 수 식을 세웁니다. 같은 디비전 안에는 자기 팀을 뺀 $4 - 1 = 3$ 팀이 있고 각 팀과 $N$ 번씩 만나므 7.EE.B.4 부등식 $N > 2M$ 을 $M$ 만의 조건으로 바꾸기 위해 식을 $N = \cdots$ 꼴로 정리합니다. 7.EE.B.4 정리한 식을 $N > 2M$ 에 대입해 $M$ 의 위쪽 한계를 구합니다. $M > 4$ 와 합치면 $M$ 의 정수 후보가 짧은 목록으로 줄어듭니 6.NS.B.4 후보 $M$ 을 하나씩 대입해 $N = (76 - 4M)/3$ 이 양의 정수가 되는 경우만 남깁니다. 분자 $76 - 4M$ 이 $3$ 의 배수 6.EE.B.6 남은 경우가 원래 조건 $N > 2M$ 까지 만족하는지 확인한 뒤, $N = 16$ 을 같은 디비전 경기 수 $3N$ 에 대입합니다. 검토
합리성 확인: $N = 16$, $M = 7$ 을 원래 식에 다시 넣으면 $3(16) + 4(7) = 48 + 28 = 76$. $\checkmark$ 두 부등식도 $16 > 2 \cdot 7 = 14$, $7 > 4$ 로 모두 성립합니다. $48$(같은 디비전) $+ 28$(다른 디비전) $= 76$ 이 깔끔하게 맞고, 같은 디비전 경기가 시즌의 절반을 넘는 것도 "$N > 2M$" — 같은 디비전 상대를 다른 디비전 상대보다 더 자주 만난다 — 이라는 조건과 일치합니다.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 선택지를 직접 대입해 봅시다. 같은 디비전 경기 수 $= 3N$ 이 선택지 값이라면 $N = $ 선택지$/3$ 이고 정수여야 합니다. (A) $36 \Rightarrow N = 12$, $4M = 40$, $M = 10$ 인데 $N > 2M$ 이 깨짐 ($12 \not> 20$). (B) $48 \Rightarrow N = 16$, $4M = 28$, $M = 7$: $16 > 14$ $\checkmark$, $7 > 4$ $\checkmark$. (C) $54 \Rightarrow N = 18$, $4M = 22$, $M = 5.5$ 로 정수가 아님. (D) $60 \Rightarrow N = 20$, $4M = 16$, $M = 4$ 인데 $M > 4$ 가 깨짐. (E) $72 \Rightarrow N = 24$, $4M = 4$, $M = 1$ 인데 $M > 4$ 가 깨짐. 살아남는 것은 (B) 뿐입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
6.EE.B.6실세계 문제를 풀 때 변수로 수를 나타내고 식을 세우기 (모르는 디비전 내·외 경기 수를 문자 $N$, $M$ 으로 두고 시즌 식 $3N + 4M = 76$ 을 세운 뒤, $N = 16$ 을 대입해 $3N$ 의 값을 구하는 데 사용.)6.NS.B.4공약수·공배수 찾기 및 약수·배수 추론 ($M = 5, 6, 7$ 중 어느 값이 $76 - 4M$ 을 $3$ 의 배수로 만드는지(즉 $N$ 이 자연수가 되는지) 판정하는 데 사용.)7.EE.B.4실세계 문제에서 변수로 양을 나타내고 일차 방정식·부등식을 세워 풀기 ($3N + 4M = 76$ 을 $N$ 에 대해 푼 뒤 여러 단계의 부등식 $(76 - 4M)/3 > 2M$ 를 정리해 $M < 7.6$ 을 얻는 데 사용.)
⭐ 총 경기 수를 한 줄 식으로 적고, 부등식과 "경기 수는 정수" 라는 규칙으로 후보를 줄여 나가면 결국 $(N, M)$ 한 쌍만 남아요.
⭐ 총 경기 수를 한 줄 식으로 적고, 부등식과 "경기 수는 정수" 라는 규칙으로 후보를 줄여 나가면 결국 $(N, M)$ 한 쌍만 남아요.
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