AMC 8 · 2016 · #18

학년 4 countingarithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Multi-Segment Path or Count Sum

systematic-enumerationpattern-recognitionmulti-digit-arithmetic easier-related-problemidentify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticpattern-recognition

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

전 지역 육상 대회에서 $216$ 명의 단거리 선수가 $100$ 미터 달리기 종목에 참가합니다. 트랙에는 $6$ 개의 레인이 있어 한 번에 $6$ 명만 경쟁할 수 있습니다. 매 경기가 끝날 때마다 1등이 아닌 다섯 명은 탈락하고, 우승자는 이후 경기에 다시 출전합니다. 챔피언을 가리기까지 필요한 총 경기 수는 몇 번일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$mbox{ }36$

(B)

$mbox{ }42$

(C)

$mbox{ }43$

(D)

$mbox{ }60$

(E)

$mbox{ }72$

AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $216$ 명의 단거리 선수가 $6$ 레인 트랙에서 경기를 합니다. 한 경기에서는 $6$ 명이 뛰고, $1$ 등을 제외한 $5$ 명은 탈락하며, 우승자는 다음 경기에 다시 출전합니다. 단 한 명의 챔피언이 가려질 때까지 경기를 몇 번 해야 할까요?

주어진 것: 출발 인원: $216$ 명; 한 경기는 정확히 $6$ 명이 뛴다 ($6$ 레인); 한 경기는 $1$ 명의 우승자와 $5$ 명의 탈락자를 만든다; 각 경기의 우승자만 이후 경기에 다시 나간다; 선택지: (A) $36$, (B) $42$, (C) $43$, (D) $60$, (E) $72$

구하는 것: 단 한 명의 챔피언이 결정될 때까지 필요한 총 경기 수

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

$216$ 명은 머릿속에 그려 보기엔 너무 크므로, 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기) 로 $6$ 명, $36$ 명 같은 작은 경우부터 풀어 핵심 규칙을 찾습니다. 그러면 "한 경기마다 정확히 $5$ 명이 탈락한다" 는 단순한 규칙이 드러납니다. 그 다음 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) 로 토너먼트를 라운드별로 나누어 각 라운드의 경기 수를 따로 세고 합산해 교차 확인합니다.

실행 — 정답: C

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 3.OA.A.3 단계 1

도구 #9 적용: 트랙이 딱 채워지는 가장 작은 경우부터 시도합니다.
$6$ 명이면 $1$ 경기로 챔피언이 결정됩니다.
$36$ 명이면 $1$ 라운드는 $36 \div 6 = 6$ 경기로 $6$ 명의 우승자가 남고, $2$ 라운드에서 $1$ 경기를 더 해 챔피언이 정해지므로 총 $6 + 1 = 7$ 경기입니다.

$$36 \text{ 명} \Rightarrow 6 + 1 = 7 \text{ 경기}$$

💡 $216$ 을 $36$ ($6$의 거듭제곱) 으로 줄여도 구조가 그대로라 손으로 셀 수 있습니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 3.OA.B.5 단계 2

탈락자 수로 규칙을 찾습니다.
$36$ 명 경우, 챔피언을 뺀 $35$ 명이 탈락했고 경기는 $7$ 번 있었습니다.
$7 \times 5 = 35$ — 즉 모든 경기는 정확히 $5$ 명을 탈락시킵니다.
이 규칙은 출발 인원이 아무리 커도 그대로 적용됩니다.

$$\text{경기 수} \times 5 = \text{탈락자 수}$$

💡 쉬운 경우에서 본 패턴이 일반화됩니다 — 한 경기당 $5$ 명 탈락, 인원과 무관.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.A.3 단계 3

이제 $216$ 명에 규칙을 적용합니다.
챔피언을 제외한 $216 - 1 = 215$ 명이 탈락해야 하므로, 경기당 $5$ 명 탈락으로 나눕니다.

$$\dfrac{216 - 1}{5} = \dfrac{215}{5} = 43 \text{ 경기}$$

💡 탈락률을 알면 나눗셈 한 번으로 끝납니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 4

도구 #7 로 라운드별 시뮬레이션을 해 교차 확인합니다.
1라운드: $216 \div 6 = 36$ 경기, $36$ 명 진출.
2라운드: $36 \div 6 = 6$ 경기, $6$ 명 진출.
3라운드: $6 \div 6 = 1$ 경기, 챔피언 결정.
합산합니다.

$$36 + 6 + 1 = 43 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 토너먼트를 라운드 단위 부분 문제로 쪼개도 같은 총합이 나옵니다.

[1] #9 3.OA.A.3 도구 #9 적용: 트랙이 딱 채워지는 가장 작은 경우부터 시도합니다. $6$ 명이면 $1$ 경기로 챔피언이 결정됩니다. $36$ 명이면 $1$

[2] #9 3.OA.B.5 탈락자 수로 규칙을 찾습니다. $36$ 명 경우, 챔피언을 뺀 $35$ 명이 탈락했고 경기는 $7$ 번 있었습니다. $7 \times 5 = 3

[3] #9 4.OA.A.3 이제 $216$ 명에 규칙을 적용합니다. 챔피언을 제외한 $216 - 1 = 215$ 명이 탈락해야 하므로, 경기당 $5$ 명 탈락으로 나눕니다

[4] #7 4.OA.A.3 도구 #7 로 라운드별 시뮬레이션을 해 교차 확인합니다. 1라운드: $216 \div 6 = 36$ 경기, $36$ 명 진출. 2라운드: $36

검토

합리성 확인: 독립적인 두 방법이 모두 $43$ 을 줍니다. (A) $36$ (1라운드만 센 함정), (D) $60$ (실수로 $300 \div 5$ 한 값) 사이의 적절한 값입니다. 탈락자 검산: $43 \times 5 = 215$ 명 탈락 → $216$ 중 정확히 $1$ 명이 남아 챔피언이 됩니다. 산수가 깔끔하게 닫힙니다.

대안 접근: 도구 #3 (가능성 지우기) 로 선택지를 직접 검사할 수도 있습니다. 정답은 $\text{경기 수} \times 5 = 215$ 를 만족해야 하므로 $\text{경기 수} = 43$. (C) 만 통과합니다 — (A) $36 \times 5 = 180$, (B) $42 \times 5 = 210$, (D) $60 \times 5 = 300$, (E) $72 \times 5 = 360$ 은 모두 $215$ 와 일치하지 않습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.OA.A.3 $100$ 이내의 곱셈·나눗셈으로 문장제 해결 (더 쉬운 $36$ 명 경우에서 $36 \div 6 = 6$ 경기 같은 라운드별 계산을 수행.)
3.OA.B.5 연산의 성질을 활용한 곱셈·나눗셈 전략 (작은 경우에서 "경기당 $5$ 명 탈락" 이라는 일정한 비율을 인식하는 데 사용.)
4.OA.A.3 사칙연산을 활용한 다단계 자연수 문장제 해결 (뺄셈 ($216 - 1 = 215$) 과 나눗셈 ($215 \div 5 = 43$), 그리고 라운드별 경기 수 합산 ($36 + 6 + 1 = 43$) 을 결합하는 데 사용.)

⭐ 토너먼트 인원이 크게 보여도, "한 경기마다 $5$ 명씩 탈락" 만 알면 4학년 나눗셈으로 끝납니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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