AMC 8 · 2017 · #2

학년 6 rate-ratio

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Direct Ratio Scale-Up

percentageratio-proportiongraph-reading ratio-proportionsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

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문제

알리시아, 브렌다, 콜비는 최근 학생회장 선거의 후보였습니다. 아래 원그래프는 세 후보가 받은 표가 어떻게 분배되었는지를 보여 줍니다. 브렌다가 $36$ 표를 받았다면, 전체 투표수는 몇 표입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

100

(D)

106

(E)

120

AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 학생 회장 선거에서 알리시아·브렌다·콜비가 받은 표가 원그래프에 각각 $45\%$, $30\%$, $25\%$ 로 표시되어 있습니다. 그중 브렌다의 $30\%$ 조각이 실제로는 $36$ 표에 해당한다고 할 때, 세 후보가 얻은 표의 합계 $T$ (총 투표수)를 구하는 문제입니다.

주어진 것: 알리시아 득표율: $45\%$; 브렌다 득표율: $30\%$; 콜비 득표율: $25\%$; 브렌다의 $30\%$ 가 정확히 $36$ 표에 해당; 선택지: (A) $70$, (B) $84$, (C) $100$, (D) $106$, (E) $120$

구하는 것: 선거에서 던져진 총 투표수 $T$

이해

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #3 가능성 지우기

객관식 5지선다라서 다섯 개의 후보 총수 $T$ 가 이미 주어져 있습니다. 각 $T$ 에 대해 $30\%$ 를 계산해 보고 $36$ 이 나오는 것을 고르면 되므로, 도구 #6(추측하고 확인하기) 을 "선택지 대입" 방식으로 쓰는 것이 가장 빠릅니다. 여기에 도구 #3(가능성 지우기) 을 더하면, 답이 나오지 않는 선택지를 차례로 제거하면서 자연스럽게 정답에 도달하게 됩니다. 대수(도구 #13) 까지 갈 필요 없이, $10\%$ 만 구할 줄 알면 암산으로도 풀립니다.

실행 — 정답: E

#3 가능성 지우기 6.SP.B.5 단계 1

원그래프를 한 줄로 정리합니다.
브렌다 조각에는 $30\%$ 라고 적혀 있고, 그 조각이 실제로 $36$ 표에 해당합니다.
따라서 총 투표수 $T$ 가 얼마이든 "$T$ 의 $30\%$ 가 $36$" 이어야 합니다.

$$T \text{ 의 } 30\% = 36$$

💡 원그래프 한 조각을 "전체의 몇 퍼센트" 로 읽는 것은 6학년 자료 해석 표준 그대로입니다.

#6 추측하고 확인하기 6.RP.A.3 단계 2

$T$ 의 $30\%$ 를 빠르게 구하는 방법을 정합니다.
$10\%$ 는 $\tfrac{T}{10}$ 이므로 $30\% = 3 \times \tfrac{T}{10}$ 입니다.
즉 각 선택지마다 "$T$ 를 $10$ 으로 나눈 뒤 $3$ 배" 가 $36$ 인지만 보면 됩니다.

$$T \text{ 의 } 30\% \;=\; 3 \times \dfrac{T}{10}$$

💡 어떤 수의 퍼센트를 구하는 것은 6학년 비율 추론이고, $30\%$ 를 "$10\%$ 의 $3$ 배" 로 쪼개면 암산으로 떨어집니다.

#3 가능성 지우기 6.RP.A.3 단계 3

선택지를 차례로 대입해 봅니다.
(A) $T=70$: $\tfrac{70}{10}=7$, $3 \times 7 = 21$.
(B) $T=84$: $\tfrac{84}{10}=8.4$, $3 \times 8.4 = 25.2$.
(C) $T=100$: $\tfrac{100}{10}=10$, $3 \times 10 = 30$.
(D) $T=106$: $\tfrac{106}{10}=10.6$, $3 \times 10.6 = 31.8$.
(A)~(D) 모두 $36$ 이 아니므로 지워집니다.

$$70 \to 21,\; 84 \to 25.2,\; 100 \to 30,\; 106 \to 31.8$$

💡 객관식 선택지를 조건식에 하나씩 넣어 보고 어긋나는 것을 지우는 것이 도구 #3(가능성 지우기) 그대로의 사용법입니다.

#6 추측하고 확인하기 6.RP.A.3 단계 4

남은 한 개의 선택지를 확인합니다.
(E) $T=120$: $\tfrac{120}{10}=12$, $3 \times 12 = 36$.
브렌다 몫이 정확히 $36$ 표가 되므로 문제의 조건과 맞습니다.
즉 총 투표수는 $120$ 입니다.

$$120 \text{ 의 } 30\% \;=\; 3 \times \dfrac{120}{10} \;=\; 3 \times 12 \;=\; 36 \;\checkmark$$

💡 조건을 만족하는 추측이 답입니다. 유한한 선택지에서는 추측-확인이 반드시 끝나게 되어 있습니다.

#3 가능성 지우기 6.RP.A.3 단계 5

최종 답을 정리합니다.
$T = 120$ 이 $T \times 30\% = 36$ 을 만족하는 유일한 선택지이므로, 답은 $\textbf{(E)}\ 120$ 입니다.

$$T = 120 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 다섯 개의 후보 중 조건을 만족하는 단 하나가 우리가 답안지에 적을 정답입니다.

[1] #3 6.SP.B.5 원그래프를 한 줄로 정리합니다. 브렌다 조각에는 $30\%$ 라고 적혀 있고, 그 조각이 실제로 $36$ 표에 해당합니다. 따라서 총 투표수 $

[2] #6 6.RP.A.3 $T$ 의 $30\%$ 를 빠르게 구하는 방법을 정합니다. $10\%$ 는 $\tfrac{T}{10}$ 이므로 $30\% = 3 \times \

[3] #3 6.RP.A.3 선택지를 차례로 대입해 봅니다. (A) $T=70$: $\tfrac{70}{10}=7$, $3 \times 7 = 21$. (B) $T=84$:

[4] #6 6.RP.A.3 남은 한 개의 선택지를 확인합니다. (E) $T=120$: $\tfrac{120}{10}=12$, $3 \times 12 = 36$. 브렌다 몫

[5] #3 6.RP.A.3 최종 답을 정리합니다. $T = 120$ 이 $T \times 30\% = 36$ 을 만족하는 유일한 선택지이므로, 답은 $\textbf{(E)

검토

합리성 확인: 크기 감각으로 다시 확인합니다. $T=120$ 일 때 알리시아 $45\%$ 는 $54$ 표, 브렌다 $30\%$ 는 $36$ 표, 콜비 $25\%$ 는 $30$ 표이고, $54 + 36 + 30 = 120$ 으로 총합이 정확히 맞습니다. 또한 표 수가 모두 자연수이고, 알리시아 > 브렌다 > 콜비 순서도 원그래프에 적힌 비율 순서와 일치합니다. 학생회 선거에서 $120$ 표라는 규모도 현실적입니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) 으로는 한 줄에 끝납니다. 총수 $T$ 에 대해 $0.30 \, T = 36$ 이므로 $T = \tfrac{36}{0.30} = 120$. 또는 $30\% = \tfrac{3}{10}$ 이므로 양변에 $\tfrac{10}{3}$ 을 곱해 $T = 36 \times \tfrac{10}{3} = 12 \times 10 = 120$ 으로 풀어도 같은 답이 나옵니다. 다만 5지선다 대입에서 얻는 "감 잡기" 가 사라지는 단점이 있습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.SP.B.5 수치 자료를 관측 수와 대푯값으로 요약하기 (원그래프에 "$30\%$" 라고 적힌 브렌다 조각을 "총 투표수의 $30\%$" 로 읽어 내는 6학년 자료 해석에 사용.)
6.RP.A.3 비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (각 선택지 $T$ 에 대해 $T \text{ 의 } 30\%$ 를 계산하여 $36$ 과 비교하는 6학년 "어떤 수의 퍼센트" 추론에 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "어떤 수의 퍼센트" 만 알면 풀 수 있어요 — $30\%$ 가 $36$ 이 되게 하는 총수를 선택지에서 고르면 끝!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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