AMC 8 · 2017 · #21
학년 7 algebralogic문제
a, b, c 가 0 이 아닌 실수이고 a+b+c=0 이라고 합시다. 식 ∣a∣a+∣b∣b+∣c∣c+∣abc∣abc 의 값으로 가능한 것은 무엇입니까?
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AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $0$ 이 아닌 세 실수 $a$, $b$, $c$ 가 $a+b+c=0$ 을 만족할 때, 식 $\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}+\frac{abc}{|abc|}$ 이 가질 수 있는 모든 값을 구하는 문제입니다. 각 항 $\frac{x}{|x|}$ 는 결국 $x$ 의 부호($+1$ 또는 $-1$)이므로, 전체 식은 $\pm 1$ 네 개의 합이며, 그 값은 조건 $a+b+c=0$ 하에서 $a, b, c$ 의 부호가 어떤 조합으로 나오는지에 따라 정해집니다.
주어진 것: $a$, $b$, $c$ 는 $0$ 이 아닌 실수; $a+b+c=0$; 식: $\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}+\frac{abc}{|abc|}$; 선택지: (A) $0$; (B) $1$ 과 $-1$; (C) $2$ 와 $-2$; (D) $0,2,-2$; (E) $0,1,-1$
구하는 것: 이 식이 가질 수 있는 모든 값의 집합
이해
문제 재정리: $0$ 이 아닌 세 실수 $a$, $b$, $c$ 가 $a+b+c=0$ 을 만족할 때, 식 $\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}+\frac{abc}{|abc|}$ 이 가질 수 있는 모든 값을 구하는 문제입니다. 각 항 $\frac{x}{|x|}$ 는 결국 $x$ 의 부호($+1$ 또는 $-1$)이므로, 전체 식은 $\pm 1$ 네 개의 합이며, 그 값은 조건 $a+b+c=0$ 하에서 $a, b, c$ 의 부호가 어떤 조합으로 나오는지에 따라 정해집니다.
주어진 것: $a$, $b$, $c$ 는 $0$ 이 아닌 실수; $a+b+c=0$; 식: $\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}+\frac{abc}{|abc|}$; 선택지: (A) $0$; (B) $1$ 과 $-1$; (C) $2$ 와 $-2$; (D) $0,2,-2$; (E) $0,1,-1$
계획
주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기
겉보기엔 복잡해 보이는 식도, $0$ 이 아닌 $x$ 에 대해 $\frac{x}{|x|}=?$ 라는 더 쉬운 보조 문제(도구 #9)를 먼저 풀면 단번에 정리됩니다 — 각 항은 그저 $+1$ 또는 $-1$ 의 부호일 뿐입니다. 그 다음 $(a,b,c)$ 의 부호 조합은 $2^3=8$ 가지뿐이므로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 모두 적어 놓고, 조건 $a+b+c=0$ 을 이용해 모두 양수·모두 음수인 경우를 도구 #3(가능성 지우기)으로 걸러냅니다. 남는 두 가족(family)만 대칭성에 따라 한 번씩 계산하면 끝납니다.
실행 — 정답: A
6.NS.C.7 단계 1 - $0$ 이 아닌 실수 $x$ 에 대해 보조 문제 $\frac{x}{|x|}$ 를 풉니다.
- $x>0$ 이면 $|x|=x$ 이므로 $+1$, $x<0$ 이면 $|x|=-x$ 이므로 $-1$ 이 됩니다.
- 따라서 큰 식의 네 항은 결국 각 변수의 부호 그 자체 — $+1$ 또는 $-1$ — 일 뿐이고, 따로 계산할 것이 없습니다.
💡 절댓값은 부호를 떼어내는 연산이라, 어떤 수를 자기 절댓값으로 나누면 부호만 남습니다.
6.NS.C.5 단계 2 $(a,b,c)$ 의 부호 조합 $2^3=8$ 가지를 음수의 개수 순서대로 정리해 두고, 조건 $a+b+c=0$ 으로 실제로 가능한 패턴만 추려 봅니다.
💡 부호 조합은 유한하므로, 순서를 정해 두고 차례로 적으면 빠뜨릴 일이 없습니다.
6.NS.C.5 단계 3 - 불가능한 조합을 지웁니다.
- 세 수 모두 양수이면 $a+b+c>0$ 이라 조건과 모순, 모두 음수이면 $a+b+c<0$ 이라 역시 모순입니다.
- 따라서 $(+,+,+)$ 와 $(-,-,-)$ 두 패턴은 제외되고, 남은 여섯 가지는 "양수 두 개·음수 한 개" 가족과 "양수 한 개·음수 두 개" 가족으로 묶입니다.
💡 세 수의 합이 $0$ 이 되려면 부호가 섞여 있어야 한다는 사실이 조건 $a+b+c=0$ 의 의미입니다.
7.NS.A.2 단계 4 - 가족 1(양수 두 개, 음수 한 개)을 계산합니다.
- 세 개의 부호 항의 합은 $1+1+(-1)=1$.
- $abc$ 의 부호는 $(+)(+)(-)=-$ 이므로 $\frac{abc}{|abc|}=-1$.
- 합치면 $1+(-1)=0$.
- 어느 변수가 음수인지는 식의 대칭성 덕분에 결과에 영향을 주지 않고, 오직 음수의 개수만 중요합니다.
💡 곱의 부호는 음수 인수의 개수로 결정되며, 음수가 홀수 개(여기서는 $1$ 개)이면 곱은 음수가 됩니다.
7.NS.A.2 단계 5 - 가족 2(양수 한 개, 음수 두 개)도 계산합니다.
- 세 부호 항의 합은 $1+(-1)+(-1)=-1$.
- $abc$ 의 부호는 $(+)(-)(-)=+$ 이므로 $\frac{abc}{|abc|}=+1$.
- 합치면 $-1+1=0$.
- 살아남은 두 가족 모두 $0$ 을 주므로, 이 식이 가질 수 있는 유일한 값은 $0$ 입니다 — 답은 (A).
💡 음수 두 개를 곱하면 양수가 되므로 $(+)(-)(-)$ 는 양수가 되고, 결국 부호 합과 곱 부호가 서로 상쇄됩니다.
6.NS.C.7 $0$ 이 아닌 실수 $x$ 에 대해 보조 문제 $\frac{x}{|x|}$ 를 풉니다. $x>0$ 이면 $|x|=x$ 이므로 $+1$, $x< 6.NS.C.5 $(a,b,c)$ 의 부호 조합 $2^3=8$ 가지를 음수의 개수 순서대로 정리해 두고, 조건 $a+b+c=0$ 으로 실제로 가능한 패턴만 추려 6.NS.C.5 불가능한 조합을 지웁니다. 세 수 모두 양수이면 $a+b+c>0$ 이라 조건과 모순, 모두 음수이면 $a+b+c<0$ 이라 역시 모순입니다. 따 7.NS.A.2 가족 1(양수 두 개, 음수 한 개)을 계산합니다. 세 개의 부호 항의 합은 $1+1+(-1)=1$. $abc$ 의 부호는 $(+)(+)(-)= 7.NS.A.2 가족 2(양수 한 개, 음수 두 개)도 계산합니다. 세 부호 항의 합은 $1+(-1)+(-1)=-1$. $abc$ 의 부호는 $(+)(-)(-) 검토
합리성 확인: 가족 1 구체 검증: $a=1, b=1, c=-2$ (합 $0$) 로 두면 식 $=1+1+(-1)+\frac{-2}{2}=1+1-1-1=0$. 가족 2 구체 검증: $a=2, b=-1, c=-1$ (합 $0$) 로 두면 식 $=1+(-1)+(-1)+\frac{2}{2}=1-1-1+1=0$. 두 경우 모두 $0$ 이 나와 (A) 와 일치합니다. 본질적인 이유는, 가족 1 에서는 부호 항의 합 $+1$ 과 곱 부호 $-1$ 이 상쇄되고, 가족 2 에서는 부호 항의 합 $-1$ 과 곱 부호 $+1$ 이 상쇄되기 때문 — 항상 "반대 부호" 가 짝지어집니다.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기)만으로도 선택지를 좁힐 수 있습니다. $a=1,b=1,c=-2$ 한 가지만 대입해도 식이 $0$ 이 나오므로, $0$ 을 포함하지 않는 (B), (C) 는 바로 탈락. 이어서 가족 2 의 예 $a=2,b=-1,c=-1$ 도 $0$ 만 주고 $\pm 1$ 이나 $\pm 2$ 가 나오지 않으므로 (D), (E) 도 제거되어 (A) 가 강제됩니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
6.NS.C.5양수와 음수가 양을 나타냄을 이해하기 ($(a,b,c)$ 의 부호 조합 $8$ 가지를 나열하고, 조건 $a+b+c=0$ 으로 "모두 양수" 와 "모두 음수" 경우를 제외하는 데 사용.)6.NS.C.7유리수의 순서와 절댓값 이해하기 ($0$ 이 아닌 $x$ 에 대해 $\frac{x}{|x|}$ 가 $x>0$ 이면 $+1$, $x<0$ 이면 $-1$ 임을 보이는 데 사용 — 즉, 절댓값으로 나누는 것은 부호만 추출하는 연산.)7.NS.A.2유리수의 곱셈과 나눗셈을 확장하여 적용하기 ($abc$ 의 부호를 인수들의 부호로부터 결정하는 데 사용(양수 둘·음수 하나의 곱은 음수, 양수 하나·음수 둘의 곱은 양수).)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "양수·음수의 곱 부호 규칙" 만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "양수·음수의 곱 부호 규칙" 만 알면 풀 수 있어요!
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