AMC 8 · 2017 · #4

학년 5 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

estimationplace-valuemulti-digit-arithmetic identify-subproblemsdimensional-analysis ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticfraction-decimal-conversion

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문제

$0.000315$ 에 $7{,}928{,}564$ 를 곱한 값은 다음 중 어느 것에 가장 가깝습니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

210

(B)

240

(C)

2100

(D)

2400

(E)

24000

AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 아주 작은 소수 $0.000315$ 와 큰 자연수 $7{,}928{,}564$ 의 곱이 다섯 개의 선택지 가운데 어느 값에 가장 가까운지 고르는 문제입니다. 선택지($210, 240, 2100, 2400, 24000$)들이 자릿수 단위로 떨어져 있으므로, 정확한 필산은 필요 없고 자릿수만 맞는 어림셈이면 충분히 답을 가려낼 수 있습니다.

주어진 것: 첫 번째 인수: $0.000315$ ($0$ 과 $1$ 사이의 작은 소수); 두 번째 인수: $7{,}928{,}564$ ($8$ 백만에 가까운 일곱 자리 자연수); 선택지: (A) $210$, (B) $240$, (C) $2100$, (D) $2400$, (E) $24000$

구하는 것: $0.000315 \times 7{,}928{,}564$ 의 값과 가장 가까운 선택지

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #3 가능성 지우기

정확한 $0.000315 \times 7{,}928{,}564$ 를 손으로 계산하는 건 너무 번거롭지만, 문제는 "가장 가까운 값" 만 묻습니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 의 핵심은 다루기 까다로운 수를 가까운 깔끔한 수로 바꿔서 그 쉬운 버전을 푸는 것입니다 — $0.000315 \to 0.0003$, $7{,}928{,}564 \to 8{,}000{,}000$. 이렇게 얻은 어림값을 도구 #3(가능성 지우기) 으로 다섯 선택지와 맞춰 보면, (A)$/$(B)는 $200$ 단위, (C)$/$(D)는 $2000$ 단위, (E)는 $24{,}000$ 단위로 자릿수가 다르므로 한 자리 어림값만으로도 답이 단 하나로 정해집니다.

실행 — 정답: D

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.NBT.A.4 단계 1

두 인수를 각각 유효숫자가 한 자리뿐인 가까운 수로 바꿉니다.
$0.000315$ 는 끝의 $15$ 를 버려도 거의 변하지 않으니 $0.0003$ 으로, $7{,}928{,}564$ 는 약 $1\%$ 만 올리면 깔끔한 $8{,}000{,}000$ 이 됩니다.

$$0.000315 \approx 0.0003 \qquad 7{,}928{,}564 \approx 8{,}000{,}000$$

💡 자릿값을 보고 유효숫자 한 자리까지 반올림하는 것은 5학년 "소수를 임의의 자리에서 반올림하기" 와 같은 동작으로, 작은 소수와 큰 자연수에 모두 적용됩니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.NBT.A.2 단계 2

쉬워진 곱을 첫 유효숫자와 $0$ 의 개수로 나누어 처리합니다.
$0.0003 = 3 \times \tfrac{1}{10{,}000}$, $8{,}000{,}000 = 8 \times 1{,}000{,}000$ 이므로, 곱은 $(3 \times 8) \times \tfrac{1{,}000{,}000}{10{,}000}$ 입니다.

$$0.0003 \times 8{,}000{,}000 = (3 \times 8) \times \dfrac{1{,}000{,}000}{10{,}000} = 24 \times 100 = 2400$$

💡 $10$ 의 거듭제곱끼리의 곱셈·나눗셈은 소수점만 옮기는 일이라, 5학년 "$0$ 의 개수와 소수점 자리의 규칙" 만으로 $3 \times 8 = 24$ 에 $\times 100$ 만 붙이면 끝납니다.

#3 가능성 지우기 4.NBT.A.2 단계 3

어림값 $2400$ 을 다섯 선택지와 비교해 자릿수가 어긋나는 후보부터 지웁니다.
(A) $210$ 과 (B) $240$ 은 $10$ 배쯤 작고, (E) $24{,}000$ 은 $10$ 배쯤 큽니다.
(C) $2100$ 은 자릿수는 맞지만 우리의 어림값 $2400$ 과는 (D) 가 더 가깝습니다.
한쪽을 약 $1\%$ 올리고 다른 쪽을 약 $5\%$ 내린 반올림 오차는 (D) 와 (C) 사이를 흔들 만큼 크지 않습니다.

$$\text{어림값} = 2400 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 자릿값으로 여러 자리 수를 비교해 자릿수가 다른 선택지를 걸러내는 것은 4학년 비교 표준이면 충분합니다.

[1] #9 5.NBT.A.4 두 인수를 각각 유효숫자가 한 자리뿐인 가까운 수로 바꿉니다. $0.000315$ 는 끝의 $15$ 를 버려도 거의 변하지 않으니 $0.0003

[2] #9 5.NBT.A.2 쉬워진 곱을 첫 유효숫자와 $0$ 의 개수로 나누어 처리합니다. $0.0003 = 3 \times \tfrac{1}{10{,}000}$, $8{

[3] #3 4.NBT.A.2 어림값 $2400$ 을 다섯 선택지와 비교해 자릿수가 어긋나는 후보부터 지웁니다. (A) $210$ 과 (B) $240$ 은 $10$ 배쯤 작고

검토

합리성 확인: 간단한 점검: $3 \times 8 = 24$ 이고, 자릿값 계산은 $10^{-4} \times 10^{6} = 10^{2} = 100$ 이므로 곱은 $24 \times 100 = 2400$ 부근입니다. 실제 곱 $0.000315 \times 7{,}928{,}564 \approx 2497.5$ 는 $2500$ 근처로, (C) $2100$ 이나 (E) $24{,}000$ 보다 (D) $2400$ 에 훨씬 가깝습니다. 어림값과 실제 값 모두 (D) 와 일치하므로 답이 합리적입니다.

대안 접근: 도구 #8(단위 살펴보기) — 과학적 표기법으로 바꿔서 풉니다. $0.000315 = 3.15 \times 10^{-4}$, $7{,}928{,}564 = 7.93 \times 10^{6}$ 으로 쓰면 곱은 $(3.15 \times 7.93) \times 10^{-4+6} = (\text{약 } 25) \times 10^{2} \approx 2500$. 쉬운 수로 바꾸는 대신 지수만 추적해도 똑같이 (D) 가 답입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

5.NBT.A.4 소수를 임의의 자리에서 반올림하기 ($0.000315$ 를 $0.0003$ 으로, $7{,}928{,}564$ 를 $8{,}000{,}000$ 으로 자릿값 기준 반올림해 곱셈을 한 자리 $\times$ 한 자리 어림셈으로 단순화.)
5.NBT.A.2 $0$ 의 개수와 소수점 자리의 규칙 설명 ($0.0003 \times 8{,}000{,}000$ 을 $3 \times 8 = 24$ 와 $\times 100$ 의 자리 이동으로 분해, $10$ 의 거듭제곱끼리의 곱·나눗셈은 소수점만 옮긴다는 규칙을 사용.)
4.NBT.A.2 여러 자리 자연수의 읽기·쓰기·기호로 비교 (어림값 $2400$ 을 다섯 선택지와 비교해 자릿수가 다른 후보들을 지우고 (D) 를 선택.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 자릿값 반올림과 $10$ 의 거듭제곱 곱셈 규칙만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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