AMC 8 · 2017 · #9

학년 4 rate-rationumber-theory

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Integrality / Divisibility Screen

fraction-arithmeticmultipleslcmratio-proportion systematic-enumerationratio-proportion ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticmultiples

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

마시가 가진 구슬은 모두 파란색, 빨간색, 초록색, 노란색 중 하나입니다. 그중 $\tfrac{1}{3}$ 은 파란색, $\tfrac{1}{4}$ 은 빨간색이고, 초록색 구슬은 $6$ 개입니다. 마시가 가질 수 있는 노란색 구슬의 최소 개수는 몇 개입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 마시는 파란색, 빨간색, 초록색, 노란색 네 가지 색깔의 구슬만 가지고 있어요. 그중 정확히 $\tfrac{1}{3}$ 이 파란색, $\tfrac{1}{4}$ 이 빨간색, 초록색은 정확히 $6$ 개입니다. 마시가 가질 수 있는 노란색 구슬 개수의 최솟값을 구하세요.

주어진 것: 파란 구슬 $= $ 전체의 $\tfrac{1}{3}$; 빨간 구슬 $= $ 전체의 $\tfrac{1}{4}$; 초록 구슬 $= 6$ 개; 나머지 구슬은 모두 노란색; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$

구하는 것: 노란 구슬 개수의 최솟값

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기, #3 가능성 지우기

전체 개수를 미지수 $T$ 로 놓고 식을 세우는 대신, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 를 써서 "가능한 가장 작은 전체 개수" 부터 하나씩 대입해 봅니다. 전체의 $\tfrac{1}{3}$ 과 $\tfrac{1}{4}$ 이 모두 자연수가 되어야 하므로 전체는 $3$ 과 $4$ 의 공통 배수, 즉 $12, 24, 36, \ldots$ 중 하나입니다. 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 작은 값부터 차례로 넣어 보고, 노란 구슬 개수가 처음으로 $0$ 이상의 자연수가 되는 순간이 정답입니다. 도구 #3(가능성 지우기) 은 답 $4$ 가 나온 뒤에 "$1, 2, 3$ 은 정말로 불가능한가?" 를 한 번 더 짚어 줍니다.

실행 — 정답: D

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.B.4 단계 1

먼저 전체 개수가 될 수 있는 후보부터 추려요.
파란 구슬 $\tfrac{1}{3} T$ 가 자연수이려면 $T$ 가 $3$ 의 배수, 빨간 구슬 $\tfrac{1}{4} T$ 가 자연수이려면 $T$ 가 $4$ 의 배수여야 합니다.
$3$ 과 $4$ 의 공통 배수는 $12, 24, 36, 48, \ldots$ 입니다.

$$T \in \{12,\, 24,\, 36,\, \ldots\}$$

💡 $3$ 과 $4$ 의 공통 배수를 나열하는 일은 대수 없이도 4학년 "배수" 학습 그대로면 충분합니다.

#6 추측하고 확인하기 3.OA.A.3 단계 2

가장 작은 후보 $T = 12$ 를 먼저 시도해요.
그러면 파란 $= \tfrac{1}{3}\cdot 12 = 4$ 개, 빨강 $= \tfrac{1}{4}\cdot 12 = 3$ 개.
여기에 초록 $6$ 개를 더하면 $4 + 3 + 6 = 13$.
그런데 전체는 $12$ 여야 하니, 노란 구슬을 한 개도 넣기 전에 이미 $1$ 개가 넘쳐 버립니다.
$T = 12$ 는 불가능.

$$4 + 3 + 6 = 13 > 12 \;\Rightarrow\; \text{노랑 자리가 없음}$$

💡 작은 자연수의 곱셈·덧셈만 쓰는 검증이라 3학년 수준에서 충분히 추측·확인할 수 있습니다.

#6 추측하고 확인하기 3.OA.D.8 단계 3

다음 후보 $T = 24$ 를 시도해요.
파란 $= \tfrac{1}{3}\cdot 24 = 8$, 빨강 $= \tfrac{1}{4}\cdot 24 = 6$.
초록 $6$ 개를 더하면 노란을 뺀 합이 $8 + 6 + 6 = 20$ 이고, 노란은 $24 - 20 = 4$ 개.
$0$ 이상의 자연수이므로 $T = 24,\; Y = 4$ 는 성립합니다.

$$8 + 6 + 6 = 20,\;\; 24 - 20 = 4 \text{ (노랑)}$$

💡 곱셈·덧셈·뺄셈을 차례로 묶어서 한 후보를 검증하는 것은 3학년 "두 단계 사칙 문장제" 그 자체입니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.A.3 단계 4

$4$ 가 정말 최솟값인지 마지막으로 확인합니다.
$T = 24$ 보다 작은 가능한 후보는 $T = 12$ 뿐인데 이미 탈락했고, $T = 36$ 처럼 더 큰 후보는 $\tfrac{1}{3}\cdot 36 + \tfrac{1}{4}\cdot 36 + 6 = 12 + 9 + 6 = 27$ 이므로 노랑이 $36 - 27 = 9$ 개로 오히려 더 많아집니다.
따라서 노랑의 최솟값은 정확히 $4$.

$$T=12 \to \text{탈락},\;\; T=24 \to Y=4,\;\; T=36 \to Y=9,\;\; \ldots$$

💡 후보를 작은 순서대로 훑으며 처음 성공한 값에서 멈추는 것은 4학년 "여러 단계 추론이 들어간 문장제" 와 같은 흐름입니다.

#3 가능성 지우기 2.NBT.B.5 단계 5

정답을 선택지에 맞춰 봅니다.
노란 구슬의 최솟값 $4$ 는 선택지 (D) 와 일치합니다.

$$Y_{\min} = 4 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 $4$ 라는 두 자리도 안 되는 수를 선택지에서 골라내는 일은 2학년 수준의 수 읽기로 충분합니다.

[1] #9 4.OA.B.4 먼저 전체 개수가 될 수 있는 후보부터 추려요. 파란 구슬 $\tfrac{1}{3} T$ 가 자연수이려면 $T$ 가 $3$ 의 배수, 빨간 구슬

[2] #6 3.OA.A.3 가장 작은 후보 $T = 12$ 를 먼저 시도해요. 그러면 파란 $= \tfrac{1}{3}\cdot 12 = 4$ 개, 빨강 $= \tfrac

[3] #6 3.OA.D.8 다음 후보 $T = 24$ 를 시도해요. 파란 $= \tfrac{1}{3}\cdot 24 = 8$, 빨강 $= \tfrac{1}{4}\cdot

[4] #3 4.OA.A.3 $4$ 가 정말 최솟값인지 마지막으로 확인합니다. $T = 24$ 보다 작은 가능한 후보는 $T = 12$ 뿐인데 이미 탈락했고, $T = 36

[5] #3 2.NBT.B.5 정답을 선택지에 맞춰 봅니다. 노란 구슬의 최솟값 $4$ 는 선택지 (D) 와 일치합니다.

검토

합리성 확인: $T = 24$ 로 다시 검산해 볼게요. $8$(파랑) $+ 6$(빨강) $+ 6$(초록) $+ 4$(노랑) $= 24$ 로 합이 정확히 맞고, $\tfrac{8}{24} = \tfrac{1}{3}$, $\tfrac{6}{24} = \tfrac{1}{4}$ 로 문제에서 말한 분수 조건도 그대로 성립합니다. 또 노랑이 네 색깔 중 가장 적은 ($4 < 6 \le 6 < 8$) 것도, 문제가 "노랑은 남은 나머지" 라고 암시한 느낌과 자연스럽게 어울립니다. 답 $4$ 가 선택지 (D) 와 정확히 일치하니 배수 관계로 어긋난 답은 아닙니다.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기 · 여집합) 으로 식 없이도 확인할 수 있어요. 파랑과 빨강이 차지하는 비율은 $\tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{7}{12}$ 이므로, 초록과 노랑이 합쳐 차지하는 비율은 $\tfrac{5}{12}$. $T = 12$ 면 초록 $+$ 노랑 $= 5$ 가 되어야 하는데 초록이 이미 $6$ 이라 불가능. $T = 24$ 일 때 초록 $+$ 노랑 $= \tfrac{5}{12}\cdot 24 = 10$, 따라서 노랑 $= 10 - 6 = 4$. 같은 답이 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

2.NBT.B.5 $100$ 이내의 덧셈과 뺄셈을 능숙하게 수행 ($8+6+6=20$ 으로 색깔별 개수를 더하고 $24-20=4$ 로 노란 구슬 수를 구하는 단순 덧셈·뺄셈.)
3.OA.A.3 $100$ 이내의 곱셈과 나눗셈 문장제 해결 ($\tfrac{1}{3}\cdot 12 = 4$, $\tfrac{1}{4}\cdot 12 = 3$ 처럼 작은 전체를 등분해 색깔별 개수를 구하는 데 사용.)
3.OA.D.8 $100$ 이내 사칙연산을 활용한 두 단계 문장제 해결 (한 후보 $T$ 에 대해 "파랑 구하기 $\to$ 빨강 구하기 $\to$ 초록 더하기 $\to$ 전체에서 빼기" 의 여러 단계 계산을 묶어서 검증.)
4.OA.B.4 약수와 배수 찾기 · 소수 / 합성수 판별 (전체 개수가 $3$ 의 배수이면서 $4$ 의 배수여야 한다는 조건에서 후보 $12, 24, 36, \ldots$ 을 나열.)
4.OA.A.3 자연수 사칙연산을 활용한 여러 단계 문장제 해결 (여러 후보 $T$ 를 차례로 검토해 $T=12$ 는 탈락, $T=24$ 는 채택으로 결정하며 최솟값을 추론.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "$3$ 과 $4$ 의 공통 배수" 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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