AMC 8 · 2018 · #6

학년 4 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

rateratio-proportionunit-conversion dimensional-analysisidentify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

앤은 해변으로 여행을 가면서 고속도로로 50마일, 해안 도로로 10마일을 운전했습니다. 고속도로에서의 운전 속력은 해안 도로에서의 속력의 3배였습니다. 앤이 해안 도로에서 운전한 시간이 30분이었다면, 전체 여행에 걸린 시간은 몇 분입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

100

AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 앤은 고속도로에서 $50$ 마일, 해안 도로에서 $10$ 마일을 운전합니다. 고속도로 속력은 해안 도로 속력의 정확히 $3$ 배입니다. 해안 도로 $10$ 마일을 가는 데 $30$ 분이 걸렸습니다. 전체 $60$ 마일 여정에는 총 몇 분이 걸렸을까요?

주어진 것: 고속도로 거리 $= 50$ 마일; 해안 도로 거리 $= 10$ 마일; 고속도로 속력 $=$ 해안 도로 속력 $\times 3$; 해안 도로 주행 시간 $= 30$ 분; 선택지: (A) $50$, (B) $70$, (C) $80$, (D) $90$, (E) $100$ 분

구하는 것: 전체 여정 시간(분) — 고속도로 시간과 해안 도로 시간의 합

이해

계획

주요 도구: #8 단위 살펴보기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #7 작은 문제로 쪼개기

거리·속력·시간의 전형적인 비율 문제입니다. 도구 #8(단위 살펴보기)을 "마일당 분(분/마일)" 단위로 잡아 두면 mph(시속 마일)로 굳이 환산하지 않고도 "분" 단위 답을 곧장 얻을 수 있습니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 핵심 기술입니다 — 곧장 "고속도로에서 $50$ 마일은 몇 분?" 을 묻기 전에, 같은 거리인 "고속도로에서 $10$ 마일은 몇 분?" 이라는 더 쉬운 문제를 먼저 풀고 그 결과를 $5$ 배 해서 키우면 됩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 여정을 고속도로 구간과 해안 도로 구간으로 나누어 마지막에 더하게 해 줍니다. 이렇게 하면 도구 #13(대수로 바꾸기) 없이도 곱셈과 덧셈만으로 풀립니다.

실행 — 정답: C

#8 단위 살펴보기 4.OA.A.1 단계 1

"$3$ 배 더 빠르다" 를 "마일당 시간" 으로 옮깁니다.
고속도로 속력이 해안 도로의 $3$ 배라면, 같은 한 마일을 갈 때 고속도로에서는 해안 도로의 $\tfrac{1}{3}$ 시간만 걸립니다.
(속력이 빠를수록 마일당 시간은 적게 듭니다.)

$$(\text{고속도로 1마일당 시간}) = \tfrac{1}{3} \times (\text{해안 도로 1마일당 시간})$$

💡 "$3$ 배 빠르다" 는 4학년 곱셈 비교(multiplicative comparison) 이고, 속력↔시간의 반비례를 이용하면 그대로 $\tfrac{1}{3}$ 배 시간이 됩니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.NF.B.4 단계 2

더 쉬운 문제 풀이로 고속도로에서 $10$ 마일이 걸리는 시간을 먼저 구합니다.
해안 도로 $10$ 마일이 $30$ 분이었으니, 같은 $10$ 마일을 고속도로로 가면 $\tfrac{1}{3}$ 의 시간이 듭니다.

$$\tfrac{1}{3} \times 30 \text{ 분} = 10 \text{ 분} \;(\text{고속도로 } 10 \text{ 마일})$$

💡 분수 $\tfrac{1}{3}$ 에 자연수 $30$ 을 곱하는 것은 4학년 "분수 $\times$ 자연수" 표준 그대로입니다.

#8 단위 살펴보기 4.MD.A.2 단계 3

$10$ 마일짜리 결과를 실제 $50$ 마일로 키웁니다.
속력이 같다면 거리가 $5$ 배가 될 때 시간도 $5$ 배가 됩니다.

$$5 \times 10 \text{ 분} = 50 \text{ 분} \;(\text{고속도로 총 } 50 \text{ 마일})$$

💡 같은 속력에서 거리와 같은 배수로 시간을 키우는 것은 4학년 거리·시간 문장제 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.MD.A.2 단계 4

두 구간 시간을 합쳐 전체 여정 시간을 구합니다.
고속도로 $50$ 분, 해안 도로 $30$ 분.

$$50 + 30 = 80 \text{ 분} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 두 구간의 시간을 더해 전체 시간을 얻는 것은 다단계 거리·시간 문장제의 마무리 덧셈입니다.

[1] #8 4.OA.A.1 "$3$ 배 더 빠르다" 를 "마일당 시간" 으로 옮깁니다. 고속도로 속력이 해안 도로의 $3$ 배라면, 같은 한 마일을 갈 때 고속도로에서는

[2] #9 4.NF.B.4 더 쉬운 문제 풀이로 고속도로에서 $10$ 마일이 걸리는 시간을 먼저 구합니다. 해안 도로 $10$ 마일이 $30$ 분이었으니, 같은 $10$

[3] #8 4.MD.A.2 $10$ 마일짜리 결과를 실제 $50$ 마일로 키웁니다. 속력이 같다면 거리가 $5$ 배가 될 때 시간도 $5$ 배가 됩니다.

[4] #7 4.MD.A.2 두 구간 시간을 합쳐 전체 여정 시간을 구합니다. 고속도로 $50$ 분, 해안 도로 $30$ 분.

검토

합리성 확인: 속력의 현실성부터 확인합니다. 해안 도로 $= \tfrac{10 \text{ 마일}}{30 \text{ 분}} = 20$ mph(느린 해안 도로다운 속도), 고속도로 $= 3 \times 20 = 60$ mph(평범한 고속도로 속도). 모두 합리적입니다. 고속도로 $50$ 마일을 $60$ mph 로 가면 $\tfrac{50}{60} = \tfrac{5}{6}$ 시간 $= 50$ 분으로, 스케일업 결과와 일치합니다. 총 $50 + 30 = 80$ 분은 선택지 중간 값으로 극단적이지 않아 더욱 신뢰가 갑니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) 과 도구 #8(단위) 를 같이 쓰는 교과서식 풀이도 가능합니다. 해안 도로 속력 $v = \tfrac{10 \text{ 마일}}{0.5 \text{ 시간}} = 20$ mph, 고속도로 속력 $= 3v = 60$ mph, 고속도로 시간 $= \tfrac{50}{60}$ 시간 $= 50$ 분, 총 $80$ 분. 위 비례 풀이는 mph 환산을 건너뛰어서 더 어린 학생에게 친절합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.A.1 곱셈식을 비교로 해석하기 ("고속도로 속력은 해안 도로 속력의 $3$ 배" 라는 진술을 "고속도로에서 1마일당 시간은 해안 도로의 $\tfrac{1}{3}$" 라는 반비례 진술로 옮기는 데 사용.)
4.NF.B.4 분수에 자연수를 곱하는 곱셈으로 확장하기 (고속도로 $10$ 마일 시간을 구하는 데 $\tfrac{1}{3} \times 30 = 10$ 분 의 분수 곱셈을 수행.)
4.MD.A.2 거리, 시간, 액체의 부피, 돈을 포함한 문장제 해결 ($10$ 마일 시간을 $5$ 배 해 $50$ 마일 시간을 구하고, 마지막에 고속도로·해안 도로 시간을 합쳐 전체 여정 시간을 얻는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 곱셈 비교("$3$ 배 빠르면 시간은 $\tfrac{1}{3}$") 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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