AMC 8 · 2019 · #3

학년 4 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

fraction-arithmeticpattern-recognition pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

분수 $\frac{15}{11}$ , $\frac{19}{15}$ , $\frac{17}{13}$ 을 작은 것부터 큰 것의 순서로 바르게 나열한 것은 다음 중 어느 것입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{15}{11} < \frac{17}{13} < \frac{19}{15}$

(B)

$\frac{15}{11} < \frac{19}{15} < \frac{17}{13}$

(C)

$\frac{17}{13} < \frac{19}{15} < \frac{15}{11}$

(D)

$\frac{19}{15} < \frac{15}{11} < \frac{17}{13}$

(E)

$\frac{19}{15} < \frac{17}{13} < \frac{15}{11}$

AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 분수 $\frac{15}{11}$, $\frac{19}{15}$, $\frac{17}{13}$ 이 주어집니다. 모두 $1$ 보다 살짝 큰 가분수인데, 이 셋을 작은 수부터 큰 수의 순서로 바르게 나열한 보기를 (A)-(E) 중에서 고르는 문제입니다.

주어진 것: 세 분수: $\frac{15}{11}$, $\frac{19}{15}$, $\frac{17}{13}$; 셋 다 분자 $>$ 분모인 가분수이므로 모두 $1$ 보다 크다; 세 분수 모두 분자가 분모보다 정확히 $4$ 만큼 크다: $15-11 = 19-15 = 17-13 = 4$; 보기 (A)-(E) 는 세 분수의 가능한 모든 좌우 배열을 나열한다

구하는 것: 세 분수의 올바른 "작은 것부터 큰 것" 순서, 그리고 그것과 일치하는 보기 (A)-(E)

이해

계획

주요 도구: #15 다르게 정리하기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #3 가능성 지우기

가장 먼저 도구 #5(패턴 찾기) 가 발동합니다 — 세 분수 모두 분자가 분모보다 $4$ 만큼 큽니다. 이 패턴을 못 보면 그냥 어려워 보이는 세 분수가 되어 엇갈려 곱하기를 반복해야 합니다. 패턴을 잡으면 도구 #15(다르게 정리하기) 로 각 분수를 $1 + \frac{4}{d}$ 꼴로 다시 써서, 세 번의 "분자·분모 다 다른" 비교를 한 번의 "분자가 같은" 비교로 단순화할 수 있습니다. 작은 분수 부분의 순서가 정해지면 도구 #3(가능성 지우기) 으로 보기 (A)-(E) 중 일치하는 것 하나만 남기면 됩니다.

실행 — 정답: E

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 1

분수마다 "분자 $-$ 분모" 를 해 보면 모두 $4$ 가 나옵니다: $15-11=4$, $19-15=4$, $17-13=4$.
즉 세 분수는 모두 "분모 $+ 4$ 를 분모로 나눈" 꼴입니다.

$$\frac{15}{11},\ \frac{19}{15},\ \frac{17}{13} \;=\; \frac{11+4}{11},\ \frac{15+4}{15},\ \frac{13+4}{13}$$

💡 서로 다른 세 분수에서 분자·분모의 차이가 똑같이 $4$ 라는 사실을 짚어내는 것은 4학년 "규칙대로 만들어지는 수의 패턴" 그대로입니다.

#15 다르게 정리하기 4.NF.B.3 단계 2

각 분수를 $1 +$ (작은 분수) 의 꼴로 다시 정리합니다.
$\frac{d+4}{d}$ 를 $\frac{d}{d} + \frac{4}{d}$ 로 쪼개면 $1 + \frac{4}{d}$ 가 되어 비교가 훨씬 깔끔해집니다.

$$\frac{15}{11} = 1 + \frac{4}{11},\quad \frac{19}{15} = 1 + \frac{4}{15},\quad \frac{17}{13} = 1 + \frac{4}{13}$$

💡 가분수를 "자연수 $+$ 진분수" 로 쪼개는 것은 4학년에서 배우는 "분수는 단위분수의 합" 사고와 맞닿아 있습니다.

#15 다르게 정리하기 4.NF.A.2 단계 3

세 수의 정수 부분이 모두 $1$ 로 같으므로 전체 크기 순서는 분수 부분 $\frac{4}{11}$, $\frac{4}{15}$, $\frac{4}{13}$ 의 순서가 결정합니다.
이 세 분수는 분자가 모두 $4$ 로 같으므로, 분모가 가장 큰 것이 가장 작고 분모가 가장 작은 것이 가장 큽니다.
분모 정렬: $11 < 13 < 15$ 이므로 $\frac{4}{15} < \frac{4}{13} < \frac{4}{11}$.

$$\frac{4}{15} < \frac{4}{13} < \frac{4}{11}$$

💡 분자가 같을 때 분모가 클수록 한 조각이 작다는 것은 4학년 분수 비교 규칙입니다.

#15 다르게 정리하기 4.NF.A.2 단계 4

양쪽에 $1$ 을 더해도 부등호 방향은 바뀌지 않으므로, 다시 원래 분수로 되돌리면 최종 순서가 나옵니다.

$$1 + \frac{4}{15} < 1 + \frac{4}{13} < 1 + \frac{4}{11} \;\;\Longleftrightarrow\;\; \frac{19}{15} < \frac{17}{13} < \frac{15}{11}$$

💡 양변에 같은 수를 더해도 대소 관계는 그대로 — 여전히 4학년 분수 비교 수준입니다.

#3 가능성 지우기 4.NF.A.2 단계 5

구한 순서 $\frac{19}{15} < \frac{17}{13} < \frac{15}{11}$ 를 보기 (A)-(E) 와 비교하면 정확히 (E) 와 일치합니다.
(A)-(D) 는 한 분수 이상이 자리를 어긋나 있어서 모두 지워집니다.

$$\frac{19}{15} < \frac{17}{13} < \frac{15}{11} \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 정답 후보를 줄세운 순서로 직접 대조해서 어긋나는 보기를 지우는 객관식의 기본 동작입니다.

[1] #5 4.OA.C.5 분수마다 "분자 $-$ 분모" 를 해 보면 모두 $4$ 가 나옵니다: $15-11=4$, $19-15=4$, $17-13=4$. 즉 세 분수는

[2] #15 4.NF.B.3 각 분수를 $1 +$ (작은 분수) 의 꼴로 다시 정리합니다. $\frac{d+4}{d}$ 를 $\frac{d}{d} + \frac{4}{d}$

[3] #15 4.NF.A.2 세 수의 정수 부분이 모두 $1$ 로 같으므로 전체 크기 순서는 분수 부분 $\frac{4}{11}$, $\frac{4}{15}$, $\frac

[4] #15 4.NF.A.2 양쪽에 $1$ 을 더해도 부등호 방향은 바뀌지 않으므로, 다시 원래 분수로 되돌리면 최종 순서가 나옵니다.

[5] #3 4.NF.A.2 구한 순서 $\frac{19}{15} < \frac{17}{13} < \frac{15}{11}$ 를 보기 (A)-(E) 와 비교하면 정확히 (E

검토

합리성 확인: 소수로 대략 확인하면 $\frac{15}{11} \approx 1.364$, $\frac{17}{13} \approx 1.308$, $\frac{19}{15} \approx 1.267$ 이고, 정렬하면 $1.267 < 1.308 < 1.364$ 즉 $\frac{19}{15} < \frac{17}{13} < \frac{15}{11}$ 로 (E) 와 정확히 일치합니다. 또 분모 순서 $11 < 13 < 15$ 와 값 순서(분모가 작을수록 값이 큼) 가 "분자가 같으면 분모가 작은 것이 크다" 규칙과 들어맞습니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 쌍마다 엇갈려 곱하기를 해도 됩니다. 예를 들어 $\frac{15}{11}$ 과 $\frac{17}{13}$ 을 비교할 때 $15 \times 13 = 195$ 와 $17 \times 11 = 187$ 을 비교하면 $195 > 187$ 이므로 $\frac{15}{11} > \frac{17}{13}$. 나머지 두 쌍도 같은 방법으로 비교한 뒤 전체 순서를 맞출 수 있는데, 핵심 통찰 한 번 대신 엇갈려 곱하기를 세 번 해야 한다는 점이 차이입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.C.5 규칙에 따라 만들어지는 수 또는 도형 패턴 만들기 (세 분수에서 분자 $-$ 분모 $= 4$ 라는 공통 규칙을 찾아내는 데 사용.)
4.NF.B.3 분자가 $1$ 보다 큰 분수를 단위분수의 합으로 이해하기 (각 가분수 $\frac{d+4}{d}$ 를 $1 + \frac{4}{d}$ 로 분해하는 데 사용.)
4.NF.A.2 분자와 분모가 모두 다른 두 분수의 비교 ($\frac{4}{11}, \frac{4}{13}, \frac{4}{15}$ 를 "분자가 같으면 분모가 클수록 작다" 규칙으로 정렬하고, 그 순서를 원래 세 분수에 그대로 옮기는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "분자가 같으면 분모가 작은 분수가 더 크다" 라는 분수 비교 규칙만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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