AMC 8 · 2019 · #6
학년 7 geometry-2dprobability문제
아래 그림과 같이, 정사각형 안에 일정한 간격으로 놓인 81개의 격자점이 있습니다(테두리 위의 점들도 포함). 점 P는 정사각형의 중심에 있습니다. 나머지 80개의 점 중에서 점 Q를 임의로 하나 고를 때, 직선 PQ가 이 정사각형의 대칭축이 될 확률은 얼마입니까?
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AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 한 정사각형 안에 $81$ 개의 격자점이 같은 간격으로 $9 \times 9$ 모양으로 놓여 있습니다(변 위의 점들도 포함). 점 $P$ 는 정사각형의 정중앙에 있고, 점 $Q$ 는 나머지 $80$ 개의 점 중에서 무작위로 하나 고릅니다. 이때 직선 $PQ$ 가 이 정사각형의 대칭축이 될 확률은 얼마일까요?
주어진 것: $9 \times 9$ 격자로 배치된 $81$ 개의 점이 정사각형 안에 있음; $P$ 는 정사각형의 중심점($5$ 번째 행, $5$ 번째 열); $Q$ 는 $P$ 를 제외한 $80$ 개의 점 중에서 균등 확률로 선택; 선택지: (A) $\tfrac{1}{5}$, (B) $\tfrac{1}{4}$, (C) $\tfrac{2}{5}$, (D) $\tfrac{9}{20}$, (E) $\tfrac{1}{2}$
구하는 것: 직선 $PQ$ 가 정사각형의 대칭축이 될 확률
이해
문제 재정리: 한 정사각형 안에 $81$ 개의 격자점이 같은 간격으로 $9 \times 9$ 모양으로 놓여 있습니다(변 위의 점들도 포함). 점 $P$ 는 정사각형의 정중앙에 있고, 점 $Q$ 는 나머지 $80$ 개의 점 중에서 무작위로 하나 고릅니다. 이때 직선 $PQ$ 가 이 정사각형의 대칭축이 될 확률은 얼마일까요?
주어진 것: $9 \times 9$ 격자로 배치된 $81$ 개의 점이 정사각형 안에 있음; $P$ 는 정사각형의 중심점($5$ 번째 행, $5$ 번째 열); $Q$ 는 $P$ 를 제외한 $80$ 개의 점 중에서 균등 확률로 선택; 선택지: (A) $\tfrac{1}{5}$, (B) $\tfrac{1}{4}$, (C) $\tfrac{2}{5}$, (D) $\tfrac{9}{20}$, (E) $\tfrac{1}{2}$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #2 빠짐없이 나열하기
문제에 이미 $9 \times 9$ 격자와 중앙의 $P$ 가 그려져 있으니, 그 위에 정사각형의 네 대칭축을 직접 덧그리는 도구 #1(그림 그리기)이 가장 자연스러운 출발점입니다. 대칭축을 그려 놓으면 유리한 $Q$ 후보가 곧 그 축 위에 놓인 격자점들로 한눈에 보이게 됩니다. 이후 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 유리한 점의 수를 "가로축 위 / 세로축 위 / 대각선 두 개 위" 의 네 조각으로 나누고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 각 축 위의 격자점을 빠뜨리지 않고 세어 $P$ 가 중복으로 세이지 않도록 정리합니다. 마지막으로 확률은 (유리한 점의 수) $\div 80$ 으로 계산합니다.
실행 — 정답: C
4.G.A.3 단계 1 - 정사각형의 네 대칭축을 중심 $P$ 를 지나도록 격자 위에 그립니다 — 가로축, 세로축, 그리고 두 개의 대각선.
- 정사각형의 대칭축은 정확히 이 네 개이고 모두 중심을 지나므로, $PQ$ 가 대칭축이 되는 경우는 $Q$ 가 이 네 직선 중 하나 위에 놓일 때뿐입니다.
💡 4학년 때 배우는 "정사각형의 대칭축은 $4$ 개" 라는 사실 하나로, 확률 문제가 곧바로 "점 세기" 문제로 바뀝니다.
4.G.A.3 단계 2 - 유리한 점의 개수를 각 대칭축별로 따로따로 세는 작은 문제 네 개로 쪼갭니다.
- 네 대칭축은 오직 $P$ 한 점에서만 만나는데 우리는 $P$ 를 처음부터 제외하므로, 네 조각은 서로 겹치지 않고 그냥 더하기만 하면 됩니다.
💡 어려운 한 번의 세기를 겹침이 없는 깔끔한 네 조각으로 나누는 것이 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)의 핵심 동작입니다.
3.OA.A.3 단계 3 - 각 축 위의 격자점을 빠짐없이 셉니다.
- $P$ 를 지나는 가로축은 격자의 한 행 전체이므로 $9$ 개의 점을 지나고, $P$ 를 빼면 $8$ 개가 남습니다.
- 세로축도 같은 이유로 $8$ 개입니다.
- 두 대각선은 모두 정사각형의 한 꼭짓점에서 마주보는 꼭짓점까지 가면서 각 열마다 격자점 하나씩, 총 $9$ 개를 지나므로 $P$ 를 빼면 각각 $8$ 개씩 남습니다.
💡 "$8$ 개씩 $4$ 묶음" 은 그대로 3학년 곱셈 문장제 $4 \times 8 = 32$ 입니다.
7.SP.C.5 단계 4 - 확률은 (유리한 결과의 수) $\div$ (표본 공간의 크기)로 구합니다.
- 표본 공간은 $P$ 를 뺀 $80$ 개의 격자점이고 각 점이 뽑힐 확률은 같으므로 답은 $\tfrac{32}{80}$.
- 분자와 분모를 최대공약수 $16$ 으로 나누어 약분합니다.
💡 "유리한 경우 $\div$ 전체 경우" 라는 확률의 정식 정의가 등장하는 곳은 여기뿐 — 7학년에서 정식으로 배우는 부분입니다.
4.G.A.3 정사각형의 네 대칭축을 중심 $P$ 를 지나도록 격자 위에 그립니다 — 가로축, 세로축, 그리고 두 개의 대각선. 정사각형의 대칭축은 정확히 이 4.G.A.3 유리한 점의 개수를 각 대칭축별로 따로따로 세는 작은 문제 네 개로 쪼갭니다. 네 대칭축은 오직 $P$ 한 점에서만 만나는데 우리는 $P$ 를 3.OA.A.3 각 축 위의 격자점을 빠짐없이 셉니다. $P$ 를 지나는 가로축은 격자의 한 행 전체이므로 $9$ 개의 점을 지나고, $P$ 를 빼면 $8$ 개 7.SP.C.5 확률은 (유리한 결과의 수) $\div$ (표본 공간의 크기)로 구합니다. 표본 공간은 $P$ 를 뺀 $80$ 개의 격자점이고 각 점이 뽑힐 확 검토
합리성 확인: $32$ 라는 숫자를 격자 위에서 다른 방법으로 검산해 봅니다. 네 대칭축 각각이 격자점을 $9$ 개씩 지나가니 단순히 더하면 $4 \times 9 = 36$ 개인데, $P$ 가 네 축에서 모두 한 번씩 세이므로 $4$ 번 중복되어 있습니다. $P$ 를 완전히 빼고 싶으니 $36 - 4 = 32$, 처음 답과 일치합니다. 확률 $\tfrac{2}{5} = 0.4$ 라는 값도 직관과 잘 맞습니다 — 격자 전체에 거의 균등하게 흩어져 있는 $80$ 개의 점 가운데 "네 개의 특별한 방향" 위에 놓이는 비율이라면 $\tfrac{1}{2}$ 보다는 확실히 작고 $\tfrac{1}{5}$ 보다는 큰 정도가 자연스럽고, 정확히 (C) 가 그 위치입니다.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기)으로 선택지를 직접 검증할 수 있습니다. 유리한 점의 수는 자연수여야 하므로 확률을 $\tfrac{n}{80}$ 꼴로 다시 쓰면: (A) $\tfrac{1}{5} = \tfrac{16}{80}$, (B) $\tfrac{1}{4} = \tfrac{20}{80}$, (C) $\tfrac{2}{5} = \tfrac{32}{80}$, (D) $\tfrac{9}{20} = \tfrac{36}{80}$, (E) $\tfrac{1}{2} = \tfrac{40}{80}$. 대칭축 $4$ 개에 $P$ 를 뺀 점이 $8$ 개씩 들어가 $4 \times 8 = 32$ 가 되는 (C) 만 정확히 맞아떨어집니다. 참고로 (D) 의 $36$ 은 "$P$ 중복을 빼지 않은" 함정 값이라 가장 흔히 걸리는 오답입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
4.G.A.3이차원 도형의 대칭축 인식하기 (정사각형의 대칭축이 정확히 $4$ 개이고 모두 중심 $P$ 를 지난다는 사실로, $PQ$ 가 대칭축이 되려면 $Q$ 가 그 $4$ 개 축 중 하나 위에 있어야 함을 끌어내는 데 사용.)3.OA.A.3$100$ 이내의 곱셈·나눗셈 문장제 해결 (각 대칭축 위에 $P$ 를 뺀 $8$ 개의 유리한 점이 있으므로 $4 \times 8 = 32$ 로 총 유리한 점의 수를 구하는 데 사용.)7.SP.C.5확률은 $0$ 과 $1$ 사이의 값이며 유리한 경우와 전체 경우의 비로 정의됨을 이해 (확률을 $\tfrac{\text{유리한 경우}}{\text{전체 경우}} = \tfrac{32}{80} = \tfrac{2}{5}$ 로 정의하는, $7$ 학년에서 정식으로 다루는 확률 개념에 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "유리한 경우 $\div$ 전체 경우 = 확률" 만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "유리한 경우 $\div$ 전체 경우 = 확률" 만 알면 풀 수 있어요!
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