AMC 8 · 2020 · #12
학년 4 algebranumber-theory문제
양의 정수 n에 대하여, 팩토리얼 표기 n!은 n부터 1까지의 정수의 곱을 의미합니다. 다음 등식을 만족하는 N의 값을 구하시오. 5!⋅9!=12⋅N!
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AMC 8 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 팩토리얼 $n!$ 은 $n$ 부터 $1$ 까지의 모든 양의 정수의 곱을 뜻합니다 (예: $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$). 식 $5! \cdot 9! = 12 \cdot N!$ 의 양변이 같아지도록 만드는 양의 정수 $N$ 을 구하는 문제입니다.
주어진 것: 정의: $n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$; 주어진 식: $5! \cdot 9! = 12 \cdot N!$; 선택지: (A) $10$, (B) $11$, (C) $12$, (D) $13$, (E) $14$
구하는 것: 식을 성립시키는 양의 정수 $N$
이해
문제 재정리: 팩토리얼 $n!$ 은 $n$ 부터 $1$ 까지의 모든 양의 정수의 곱을 뜻합니다 (예: $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$). 식 $5! \cdot 9! = 12 \cdot N!$ 의 양변이 같아지도록 만드는 양의 정수 $N$ 을 구하는 문제입니다.
주어진 것: 정의: $n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$; 주어진 식: $5! \cdot 9! = 12 \cdot N!$; 선택지: (A) $10$, (B) $11$, (C) $12$, (D) $13$, (E) $14$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #3 가능성 지우기
도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 식 $5! \cdot 9! = 12 \cdot N!$ 을 세 단계로 나눕니다 — (가) 보이는 "작은" 팩토리얼인 $5!$ 의 값만 계산하고, (나) 양변을 거추장스러운 계수 $12$ 로 나눠서 정리한 뒤, (다) 남은 식을 팩토리얼 하나로 다시 읽습니다. 각 단계가 3~4학년 산수에서 다 끝나기 때문에, $9!$ 같이 큰 팩토리얼은 한 번도 직접 전개할 필요가 없습니다. 도구 #3(가능성 지우기) 은 AMC 객관식 문제의 단골 보조 전략으로, $10 \cdot 9! = N!$ 까지 정리된 뒤 다섯 선택지 $10, 11, 12, 13, 14$ 를 재귀식 $n! = n \cdot (n-1)!$ 에 차례로 대입해 답을 확정합니다.
실행 — 정답: A
4.NBT.B.5 단계 1 - 첫 번째 작은 문제: 보이는 팩토리얼 중 유일하게 "작은" $5!$ 만 숫자로 풀어 줍니다.
- 또 하나의 팩토리얼 $9!$ 는 크지만, 끝까지 전개할 필요가 없습니다.
💡 한 자리 수 다섯 개를 차례로 곱하는 것은 4학년 다자리 수 곱셈 기능 그대로입니다 — 팩토리얼이라는 새 마법은 필요 없습니다.
3.OA.A.4 단계 2 $5! = 120$ 을 원래 식에 대입해 양변에 "숫자 $\times$ 팩토리얼" 형태가 나란히 놓이게 만듭니다.
💡 $9!$ 와 $N!$ 을 잠시 "미지의 수" 로 두면, 익숙한 3학년 \"빈칸 채우기 곱셈식\" 모양이 됩니다.
3.OA.C.7 단계 3 - 두 번째 작은 문제: 양변을 계수 $12$ 로 나눠서 각 팩토리얼 앞에 곱해진 수를 깔끔하게 줄입니다.
- 핵심은 $120 \div 12 = 10$ 한 줄입니다.
💡 $120 \div 12 = 10$ 은 "$100$ 이내 곱셈·나눗셈을 막힘없이" 라는 3학년 표준의 가장 기본적인 사실입니다.
4.OA.C.5 단계 4 - 세 번째 작은 문제: $10 \cdot 9!$ 을 팩토리얼의 규칙으로 다시 읽습니다.
- 정의에서 가장 큰 인수를 앞으로 빼면 $n! = n \cdot (n-1)!$ 이고, 따라서 $10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdots 1 = 10 \cdot 9!$ 입니다.
- 좌변이 팩토리얼 하나로 묶입니다.
💡 \"다음 팩토리얼 = 다음 수 $\times$ 이전 팩토리얼\" 이라는 규칙을 찾아내는 것은 4학년 \"주어진 규칙을 따르는 수의 패턴 만들기\" 표준 그대로입니다.
3.OA.A.4 단계 5 - 양의 정수의 팩토리얼이 서로 같다면, 그 정수 자체도 같습니다 ($n \ge 1$ 에서 팩토리얼은 엄격히 증가).
- 따라서 $N = 10$ — 선택지 (A) 입니다.
- 다른 선택지를 점검해 보면, $11! = 11 \cdot 10!$ 이 이미 $11$ 배나 크고 $12, 13, 14$ 로 갈수록 그 차이는 더 벌어지므로, (A) 만 살아남습니다.
💡 \"같은 곱, 같은 인수 묶음이면 같은 맨 윗수\" 라는 발상은 3학년 \"곱셈식의 미지 정수 찾기\" 표준을 객관식의 나머지 네 선택지를 지우는 데 활용한 것입니다.
4.NBT.B.5 첫 번째 작은 문제: 보이는 팩토리얼 중 유일하게 "작은" $5!$ 만 숫자로 풀어 줍니다. 또 하나의 팩토리얼 $9!$ 는 크지만, 끝까지 전 3.OA.A.4 $5! = 120$ 을 원래 식에 대입해 양변에 "숫자 $\times$ 팩토리얼" 형태가 나란히 놓이게 만듭니다. 3.OA.C.7 두 번째 작은 문제: 양변을 계수 $12$ 로 나눠서 각 팩토리얼 앞에 곱해진 수를 깔끔하게 줄입니다. 핵심은 $120 \div 12 = 10$ 4.OA.C.5 세 번째 작은 문제: $10 \cdot 9!$ 을 팩토리얼의 규칙으로 다시 읽습니다. 정의에서 가장 큰 인수를 앞으로 빼면 $n! = n \cd 3.OA.A.4 양의 정수의 팩토리얼이 서로 같다면, 그 정수 자체도 같습니다 ($n \ge 1$ 에서 팩토리얼은 엄격히 증가). 따라서 $N = 10$ — 선 검토
합리성 확인: 좌변 $5! \cdot 9! = 120 \cdot 9!$ 에는 이미 $9!$ 이 인수로 들어 있고, $120 = 12 \cdot 10$ 이므로 $12$ 를 약분하고 나면 $10$ 이라는 단 한 인수만 더해집니다. 결국 좌변은 정확히 $10 \cdot 9! = 10!$ — $9!$ 에서 딱 한 칸만 올라간 팩토리얼입니다. 그래서 답 $N = 10$ ($9$ 보다 바로 다음 정수) 이 가장 자연스럽습니다. 만약 $N = 14$ 라면 좌변에 $14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 = 24024$ 라는 추가 인수가 더 있어야 하지만, 식 어디에도 그런 큰 인수가 없습니다.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 만으로도 풀 수 있습니다. 식을 $\dfrac{5! \cdot 9!}{12} = N!$ 으로 정리한 뒤 좌변을 계산하면 $120 \cdot 9! / 12 = 10 \cdot 9! = 3{,}628{,}800$. 선택지를 대입해 보면 $10! = 3{,}628{,}800$ 이 정확히 일치하고, $11! = 39{,}916{,}800$ 은 이미 $10$ 배 이상 크므로 (A) 만 남습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
4.NBT.B.5한 자리 수와 최대 네 자리 수의 곱셈 ($5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 을 한 자리 수의 연쇄 곱셈으로 계산해 세 자리 결과를 얻는 데 사용.)3.OA.A.4곱셈·나눗셈 식에서 미지의 정수를 찾기 ($120 \cdot 9! = 12 \cdot N!$ 에서 $9!$ 과 $N!$ 을 미지의 정수 인수로 다루고, 이후 $10! = N!$ 에서 $N = 10$ 을 결정하는 데 사용.)3.OA.C.7100 이내의 곱셈·나눗셈을 막힘없이 수행 (양변을 $12$ 로 나눌 때 $120 \div 12 = 10$ 이라는 기본 사실을 사용.)4.OA.C.5주어진 규칙을 따르는 수 또는 도형 패턴 만들기 (재귀적 팩토리얼 규칙 $n! = n \cdot (n-1)!$ 을 적용해 $10 \cdot 9!$ 을 $10!$ 으로 다시 쓰는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 곱셈 패턴 — $10 \times 9! = 10!$ 같은 — 만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 곱셈 패턴 — $10 \times 9! = 10!$ 같은 — 만 알면 풀 수 있어요!
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