AMC 8 · 2020 · #13

학년 6 probabilityalgebra

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Ratio Shift — Two State

probability-basiclinear-equations-one-varfraction-arithmeticpercentage convert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-one-varfraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

자말의 서랍에는 초록색 양말 $6$ 짝, 보라색 양말 $18$ 짝, 주황색 양말 $12$ 짝이 들어 있습니다. 보라색 양말을 몇 짝 더 넣은 뒤, 자말은 이제 서랍에서 양말 한 짝을 무작위로 꺼낼 때 그것이 보라색일 확률이 $60\%$ 임을 알게 되었습니다. 자말이 추가한 보라색 양말은 몇 짝입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 자말의 서랍에는 처음에 초록 양말 $6$ 짝, 보라 양말 $18$ 짝, 주황 양말 $12$ 짝이 들어 있습니다. 자말은 보라 양말만 몇 짝 더 넣었고(다른 색은 그대로), 그 결과 서랍에서 양말 한 짝을 무작위로 꺼냈을 때 보라일 확률이 $60\%$ 가 되었습니다. 자말이 새로 넣은 보라 양말은 몇 짝일까요?

주어진 것: 처음 개수: 초록 $6$, 보라 $18$, 주황 $12$ (합 $36$ 짝); 추가되는 것은 보라뿐이라 초록·주황 개수는 그대로 $18$ 짝; 추가 후 $\Pr(\text{보라}) = 60\% = \tfrac{3}{5}$; 선택지: (A) $6$, (B) $9$, (C) $12$, (D) $18$, (E) $24$

구하는 것: 새로 넣은 보라 양말의 개수, $x$ 라고 두자

이해

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #3 가능성 지우기, #15 다르게 정리하기

객관식이고 후보가 $5$ 개뿐이라 도구함의 "AMC 객관식 최강 콤보" 가 그대로 맞습니다 — 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 각 선택지를 $\dfrac{18+x}{36+x}$ 에 대입해 $\tfrac{3}{5}$ 와 같은지 보고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 아닌 후보를 지워 가면 한 줄로 답이 나옵니다. 더 영리한 확인용으로 도구 #15(다르게 정리하기)도 끼워 둡니다 — 보라가 아닌 양말 $(6+12=18)$ 은 절대 변하지 않는다는 데 주목하면, 보라 : 보라 아닌 것 $= 3 : 2$ 만으로 보라 $= 27$ 이 강제되어 방정식 없이도 답이 떨어집니다.

실행 — 정답: B

#6 추측하고 확인하기 6.RP.A.3 단계 1

먼저 처음 양말 수와 비교할 분수를 정리합니다.
서랍 속 양말은 $6 + 18 + 12 = 36$ 짝이고, $60\% = \tfrac{60}{100} = \tfrac{3}{5}$ 입니다.

$$6 + 18 + 12 = 36 \text{ 짝}, \qquad 60\% = \tfrac{60}{100} = \tfrac{3}{5}$$

💡 $60\%$ 를 비 $3 : 5$ 로 바꾸는 것은 6학년 "백분율을 비로 보기" 그대로라서 비교가 훨씬 깔끔해집니다.

#6 추측하고 확인하기 6.RP.A.3 단계 2

보라를 $x$ 짝 추가한 뒤의 식을 세웁니다.
보라는 $18 + x$, 전체는 $36 + x$ 가 되니, 우리가 맞춰야 할 등식은 $\dfrac{18+x}{36+x} = \tfrac{3}{5}$ 입니다.

$$\dfrac{18+x}{36+x} = \tfrac{3}{5}$$

💡 방정식을 "푸는" 것이 아니라 후보를 대입해 볼 식을 적어 두는 단계 — 6학년 비 표현 그대로입니다.

#3 가능성 지우기 4.NF.A.1 단계 3

이제 선택지를 하나씩 $\dfrac{18+x}{36+x}$ 에 넣고 약분해서 $\tfrac{3}{5}$ 과 비교합니다.
같은 후보만 살리고 나머지는 지웁니다.
(A) $x=6$: $\tfrac{24}{42} = \tfrac{4}{7} \neq \tfrac{3}{5}$.
(B) $x=9$: $\tfrac{27}{45} = \tfrac{3}{5}$.
(C) $x=12$: $\tfrac{30}{48} = \tfrac{5}{8} \neq \tfrac{3}{5}$.
(D) $x=18$: $\tfrac{36}{54} = \tfrac{2}{3} \neq \tfrac{3}{5}$.
(E) $x=24$: $\tfrac{42}{60} = \tfrac{7}{10} \neq \tfrac{3}{5}$.

$$\tfrac{27}{45} = \tfrac{27 \div 9}{45 \div 9} = \tfrac{3}{5} \;\checkmark \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 $\tfrac{27}{45}$ 와 $\tfrac{3}{5}$ 이 같은 분수임을 (분자·분모를 $9$ 로 동시에 나눠서) 확인하는 것은 4학년 "동치분수" 기술입니다.

#15 다르게 정리하기 6.RP.A.3 단계 4

다르게 정리해서 한 번 더 확인합니다.
보라가 아닌 양말 $(6 + 12 = 18)$ 은 처음부터 끝까지 변하지 않습니다.
마지막에 보라 : 전체 $= 3 : 5$ 이려면 보라 : 보라 아닌 것 $= 3 : 2$ 가 되어야 하고, 보라 아닌 것이 $18$ 이니 보라는 $\tfrac{3}{2} \times 18 = 27$.
따라서 $x = 27 - 18 = 9$ — 같은 답입니다.

$$\text{보라 아닌 것} = 6 + 12 = 18, \quad \text{보라} = \tfrac{3}{2} \times 18 = 27, \quad x = 27 - 18 = 9$$

💡 변하지 않는 양 (보라 아닌 양말 $18$) 을 기준으로 비를 다시 짜는 것은 6학년 비 추론에서 가장 안전한 사고법입니다.

[1] #6 6.RP.A.3 먼저 처음 양말 수와 비교할 분수를 정리합니다. 서랍 속 양말은 $6 + 18 + 12 = 36$ 짝이고, $60\% = \tfrac{60}{1

[2] #6 6.RP.A.3 보라를 $x$ 짝 추가한 뒤의 식을 세웁니다. 보라는 $18 + x$, 전체는 $36 + x$ 가 되니, 우리가 맞춰야 할 등식은 $\dfrac

[3] #3 4.NF.A.1 이제 선택지를 하나씩 $\dfrac{18+x}{36+x}$ 에 넣고 약분해서 $\tfrac{3}{5}$ 과 비교합니다. 같은 후보만 살리고 나머

[4] #15 6.RP.A.3 다르게 정리해서 한 번 더 확인합니다. 보라가 아닌 양말 $(6 + 12 = 18)$ 은 처음부터 끝까지 변하지 않습니다. 마지막에 보라 : 전

검토

합리성 확인: $x = 9$ 를 다시 대입해 보면 보라는 $18 + 9 = 27$, 전체는 $36 + 9 = 45$ 가 되어 확률은 $\tfrac{27}{45} = \tfrac{3}{5} = 60\%$ — 문제에서 요구한 값과 정확히 일치합니다. 크기로 봐도 자연스럽습니다. 처음 보라 비율은 $\tfrac{18}{36} = 50\%$ 였고 이를 $60\%$ 까지만 끌어올리면 되니, 원래 보라 수($18$) 의 절반 정도인 $9$ 짝만 추가하면 충분하다는 것이 직관적으로 맞습니다. (D) $18$ 이나 (E) $24$ 처럼 큰 수를 넣으면 보라 비율이 $60\%$ 를 한참 넘게 됩니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) 로도 한 줄에 풀 수 있습니다. $\dfrac{18+x}{36+x} = \tfrac{3}{5}$ 를 교차곱하면 $5(18+x) = 3(36+x)$, 즉 $90 + 5x = 108 + 3x$ 이고 $2x = 18$ 이므로 $x = 9$. 답은 같지만, 어린 풀이자에게는 위에서 쓴 "추측·확인 + 다르게 정리" 가 보라 아닌 양말이 고정이라는 핵심 통찰을 더 잘 보여 줍니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 비와 비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 ($60\%$ 를 비 $3 : 5$ 로 바꾸고, 추가 후 식 $\dfrac{18+x}{36+x}$ 을 세우며, 변하지 않는 "보라 아닌 양말 $18$ 짝" 을 기준으로 보라 : 보라 아닌 것 $= 3 : 2$ 라는 비를 강제하는 데 사용.)
4.NF.A.1 어떤 분수가 다른 분수와 같음을 설명하기 (동치분수) (후보 $x = 9$ 를 확인할 때 $\tfrac{27}{45}$ 가 $\tfrac{3}{5}$ 과 같은 분수임을 보이고, 나머지 후보들의 분수는 그렇지 않음을 약분으로 확인.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "$60\%$ 를 비 $3 : 5$ 로 바꾸기" 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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