AMC 8 · 2020 · #6
학년 1 logic문제
애런, 대런, 캐런, 머렌, 섀런이 한 칸에 한 명씩 앉을 수 있는 다섯 칸짜리 작은 기차를 탔습니다. 머렌은 마지막 칸에 앉았습니다. 애런은 섀런의 바로 뒤 칸에 앉았습니다. 대런은 애런보다 앞쪽에 있는 칸 중 한 곳에 앉았습니다. 캐런과 대런 사이에는 적어도 한 사람이 앉아 있었습니다. 가운데 칸에 앉은 사람은 누구입니까?
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AMC 8 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 애런, 대런, 캐런, 머렌, 섀런 다섯 친구가 한 칸에 한 명씩 앉을 수 있는 5칸짜리 작은 기차에 탑니다. 칸은 앞에서부터 $1, 2, 3, 4, 5$ 번이고, 주어진 단서들을 모두 만족시키는 좌석 배치를 찾아 가운데 칸($3$ 번 칸)에 누가 앉는지 알아냅니다.
주어진 것: 머렌 은 $5$ 번 칸(맨 뒤)에 앉는다; 애런 은 섀런 의 바로 뒤 칸에 앉는다 — 섀런 이 $n$ 번 칸이면 애런 은 $n+1$ 번 칸; 대런 은 애런 보다 앞쪽 칸에 앉는다 — $\text{칸}(D) < \text{칸}(A)$; 캐런 과 대런 사이에 적어도 한 명이 있다 — 두 사람은 이웃 칸이 아니므로 $|\text{칸}(K) - \text{칸}(D)| > 1$; 선택지: (A) 애런, (B) 대런, (C) 캐런, (D) 머렌, (E) 섀런
구하는 것: 가운데 칸($3$ 번 칸)에 앉는 사람
이해
문제 재정리: 애런, 대런, 캐런, 머렌, 섀런 다섯 친구가 한 칸에 한 명씩 앉을 수 있는 5칸짜리 작은 기차에 탑니다. 칸은 앞에서부터 $1, 2, 3, 4, 5$ 번이고, 주어진 단서들을 모두 만족시키는 좌석 배치를 찾아 가운데 칸($3$ 번 칸)에 누가 앉는지 알아냅니다.
주어진 것: 머렌 은 $5$ 번 칸(맨 뒤)에 앉는다; 애런 은 섀런 의 바로 뒤 칸에 앉는다 — 섀런 이 $n$ 번 칸이면 애런 은 $n+1$ 번 칸; 대런 은 애런 보다 앞쪽 칸에 앉는다 — $\text{칸}(D) < \text{칸}(A)$; 캐런 과 대런 사이에 적어도 한 명이 있다 — 두 사람은 이웃 칸이 아니므로 $|\text{칸}(K) - \text{칸}(D)| > 1$; 선택지: (A) 애런, (B) 대런, (C) 캐런, (D) 머렌, (E) 섀런
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #3 가능성 지우기, #1 그림 그리기
가장 강한 제약은 $SA$ 라는 "붙어 있는 한 묶음"(섀런 바로 뒤가 애런)이고, 머렌 은 이미 $5$ 번 칸에 고정되어 있습니다. 그러니 $S$ 와 $A$ 가 차지할 수 있는 자리는 $1$–$4$ 번 칸 안에서 인접한 한 쌍을 고르는 것뿐 — 가능한 경우는 정확히 세 가지입니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 이 세 경우를 순서대로 적어 두면 빠뜨릴 일이 없고, 도구 #3(가능성 지우기) 로 대런·캐런 단서를 각 경우에 대 보면 살아남는 배치가 하나로 좁혀집니다. 도구 #1(그림 그리기) 로 칸 다섯 개를 일렬로 그려 두면 머릿속이 헷갈리지 않습니다.
실행 — 정답: A
K.G.A.1 단계 1 - 칸 $1$ 부터 $5$ 까지 빈 상자 다섯 개를 일렬로 그리고, 확정된 정보부터 채워 넣습니다 — 머렌 은 $5$ 번 칸.
- 나머지는 이름의 첫 글자로 표기합니다.
💡 "앞", "뒤", "가운데" 같은 위치 말은 유치원에서 배운 표현 — 칸을 한 줄로 그려 두면 그 말이 눈에 보입니다.
K.G.A.1 단계 2 - 애런 이 섀런 바로 뒤 칸이라는 조건에서 $S$ 와 $A$ 는 붙어 있는 한 쌍 $SA$ 가 됩니다.
- 이 쌍이 들어갈 수 있는 자리는 $5$ 번 칸이 머렌 이므로 $1$–$4$ 번 칸뿐이고, 섀런 의 칸 번호 순서대로 모든 경우를 적습니다.
💡 섀런 의 칸 번호를 작은 수부터 차례로 적는 규칙을 정하면 어떤 배치도 빠뜨리지 않습니다.
1.NBT.B.3 단계 3 - 경우 1 을 대런 단서로 확인합니다.
- 애런 이 $2$ 번 칸이므로 대런 의 칸 번호는 $2$ 보다 작아야 — 즉 $1$ 번 칸이어야 — 하지만 $1$ 번 칸은 이미 섀런 입니다.
- 대런 이 들어갈 자리가 없으므로 경우 1 은 탈락.
💡 $1$ 과 $2$ 를 $<$ 로 비교하는 것은 1학년 수 비교 그대로입니다.
1.NBT.B.3 단계 4 - 경우 2 를 확인합니다.
- 애런 이 $3$ 번 칸이므로 대런 은 $1$ 번이나 $2$ 번 칸이어야 하는데 $2$ 번은 섀런 — 그러므로 대런 은 $1$ 번 칸.
- 남은 자리인 $4$ 번 칸은 캐런 차지.
- 마지막으로 거리 단서를 봅니다: 캐런($4$) 과 대런($1$) 사이에 두 명($S, A$)이 있어 $|4-1| = 3 > 1$ 로 조건을 만족합니다.
💡 $|4-1|=3$ 을 계산하고 $1$ 과 비교하는 것은 1학년 뺄셈·비교 한 줄짜리 작업입니다.
1.NBT.B.3 단계 5 - 경우 3 을 확인합니다.
- 애런 이 $4$ 번 칸이라 대런 은 $1$ 번이나 $2$ 번 칸 어디든 가능하고, 캐런 이 나머지에 앉습니다.
- 그런데 어느 쪽으로 배치하든 $K$ 와 $D$ 는 $1$ 번과 $2$ 번 — 이웃한 칸 — 에 들어가서 $|1-2| = 1$ 이 되어 "적어도 한 명 사이" 조건이 깨집니다.
- 두 하위 경우 모두 실패.
💡 $K$ 와 $D$ 가 옆 칸끼리 붙으면 "사이에 한 명" 규칙이 깨집니다 — 1학년 비교로 바로 확인됩니다.
K.G.A.1 단계 6 - 살아남은 경우는 경우 2 뿐이므로 유일한 좌석 배치는 $[D, S, A, K, M]$ 입니다.
- 가운데 칸($3$ 번)에 앉은 사람은 애런.
💡 가운데 자리에 누가 있는지 읽어 내는 것은 유치원 "위치 표현하기" 그대로입니다.
K.G.A.1 칸 $1$ 부터 $5$ 까지 빈 상자 다섯 개를 일렬로 그리고, 확정된 정보부터 채워 넣습니다 — 머렌 은 $5$ 번 칸. 나머지는 이름의 첫 K.G.A.1 애런 이 섀런 바로 뒤 칸이라는 조건에서 $S$ 와 $A$ 는 붙어 있는 한 쌍 $SA$ 가 됩니다. 이 쌍이 들어갈 수 있는 자리는 $5$ 번 1.NBT.B.3 경우 1 을 대런 단서로 확인합니다. 애런 이 $2$ 번 칸이므로 대런 의 칸 번호는 $2$ 보다 작아야 — 즉 $1$ 번 칸이어야 — 하지만 1.NBT.B.3 경우 2 를 확인합니다. 애런 이 $3$ 번 칸이므로 대런 은 $1$ 번이나 $2$ 번 칸이어야 하는데 $2$ 번은 섀런 — 그러므로 대런 은 1.NBT.B.3 경우 3 을 확인합니다. 애런 이 $4$ 번 칸이라 대런 은 $1$ 번이나 $2$ 번 칸 어디든 가능하고, 캐런 이 나머지에 앉습니다. 그런데 K.G.A.1 살아남은 경우는 경우 2 뿐이므로 유일한 좌석 배치는 $[D, S, A, K, M]$ 입니다. 가운데 칸($3$ 번)에 앉은 사람은 애런. 검토
합리성 확인: 배치 $[D, S, A, K, M]$ 를 네 단서에 모두 대입해 봅시다. 머렌 은 $5$ 번 칸 ✓. 애런($3$) 은 섀런($2$) 바로 뒤 ✓. 대런($1$) 은 애런($3$) 앞 ✓. 캐런($4$) 과 대런($1$) 사이에는 섀런 과 애런 두 명이 있어 "적어도 한 명" 조건 ✓. 네 조건이 모두 맞고, 경우 1·3 은 각각 다른 단서로 분명히 탈락했으므로 답은 유일합니다 — 가운데 칸은 애런 으로 합리적입니다.
대안 접근: 도구 #4(격자 논리표) 로도 풀 수 있습니다. 사람 5명 $\times$ 칸 5개의 표를 그리고 머렌–$5$번 칸에 ✓ 를 찍으면 그 행과 그 열의 나머지가 X 로 채워집니다. "애런 은 $1, 5$ 번 칸이 아니다 (섀런 바로 뒤여야 하므로)", "섀런 은 $4, 5$ 번 칸이 아니다", "대런 은 $1$–$4$ 번 칸 중 애런 보다 작은 번호" 같은 식으로 단서를 차례로 적용해 X·✓ 를 채워 나가면 각 행에 ✓ 가 하나씩만 남으면서 같은 배치 $[D, S, A, K, M]$ 가 나옵니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 1)
K.G.A.1물체의 위치를 위, 아래, 옆, 앞, 뒤로 표현하기 ("맨 뒤 칸", "바로 뒤", "앞쪽", "가운데 칸" 같은 기차 칸의 위치 표현을 일렬로 늘어선 다섯 상자 위의 자리로 옮기는 데 사용.)1.NBT.B.3기호를 이용해 두 자릿수 비교하기 (칸 번호 $1$–$5$ 를 $<$ 로 비교하고, $|\text{칸}(K) - \text{칸}(D)|$ 을 계산해 "사이에 적어도 한 명" 단서를 경우마다 확인하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 1학년 때 배운 수 비교($1 < 2 < 3$) 와 유치원 때 배운 위치 표현(앞, 뒤, 가운데) 만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 1학년 때 배운 수 비교($1 < 2 < 3$) 와 유치원 때 배운 위치 표현(앞, 뒤, 가운데) 만 알면 풀 수 있어요!
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