AMC 8 · 1999 · #6

학년 1 logic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

logical-deductionif-then-reasoning logical-deductioncasework

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Bo, Coe, Flo, Jo, and Moe have different amounts of money. Neither Jo nor Bo has as much money as Flo. Both Bo and Coe have more than Moe. Jo has more than Moe, but less than Bo. Who has the least amount of money?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

Coe

(C)

Flo

(D)

(E)

Moe

AMC 8 1999 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 다섯 사람 — Bo, Coe, Flo, Jo, Moe — 가 서로 다른 금액의 돈을 가지고 있습니다. 몇 사람씩 짝지어 비교하는 "$\sim$ 보다 많다 / 적다" 단서가 주어집니다. 가장 적게 가진 사람은 누구일까요?

주어진 것: 다섯 사람 모두 금액이 다름: Bo, Coe, Flo, Jo, Moe; 단서 1: Jo와 Bo 모두 Flo보다 적게 가짐, 즉 $J < F$ 이고 $B < F$; 단서 2: Bo와 Coe 모두 Moe보다 많이 가짐, 즉 $B > M$ 이고 $C > M$; 단서 3: Jo는 Moe보다 많고 Bo보다 적음, 즉 $M < J < B$; 선택지: (A) Bo, (B) Coe, (C) Flo, (D) Jo, (E) Moe

구하는 것: 다섯 사람 중 돈이 가장 적은 사람

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #1 그림 그리기

후보가 다섯 명뿐이므로 가장 빠른 길은 도구 #3(가능성 지우기)입니다. 각 후보를 무너뜨리는 단서를 하나씩 찾아 지워 가면 됩니다. 네 명이 지워지는 순간 남은 한 명이 정답입니다. 도구 #1(그림 그리기)은 보조 역할이에요. 단서들을 모아 하나의 사슬 $M < J < B < F$ (그리고 옆에 $M < C$)로 쌓으면 순서가 한눈에 보여 빠뜨릴 일이 없습니다.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 1.NBT.B.3 단계 1

각 단서를 $<$ 또는 $>$ 식으로 옮깁니다.
이름 첫 글자 $B, C, F, J, M$ 을 씁니다.
단서 1 $\Rightarrow$ $J < F$ 와 $B < F$.
단서 2 $\Rightarrow$ $B > M$ 와 $C > M$.
단서 3 $\Rightarrow$ $M < J$ 와 $J < B$.

$$J < F,\; B < F,\; B > M,\; C > M,\; M < J,\; J < B$$

💡 1학년에서 양을 비교할 때 쓰는 $<$ 와 $>$ 기호. 문제의 단서는 모두 그 비교를 기호로 바꿔 쓴 것입니다.

#3 가능성 지우기 K.MD.A.2 단계 2

Bo를 지웁니다.
$B > M$ 에서 Bo는 Moe보다 많으므로 가장 적을 수 없습니다.

$$B > M \;\Rightarrow\; \text{Bo는 가장 적지 않음}$$

💡 유치원의 둘 비교: Bo가 Moe보다 많으면 Bo는 가장 적은 무리에 들 수 없습니다.

#3 가능성 지우기 K.MD.A.2 단계 3

Coe를 지웁니다.
$C > M$ 에서 Coe도 Moe보다 많으므로 가장 적을 수 없습니다.

$$C > M \;\Rightarrow\; \text{Coe는 가장 적지 않음}$$

💡 같은 둘 비교 논리: Coe가 Moe를 이긴다는 한 줄 단서면 Coe를 제외할 수 있습니다.

#3 가능성 지우기 K.MD.A.2 단계 4

Jo를 지웁니다.
$M < J$ 에서 Jo는 Moe보다 많으므로 가장 적을 수 없습니다.

$$M < J \;\Rightarrow\; \text{Jo는 가장 적지 않음}$$

💡 또 한 번의 직접 비교: Jo $>$ Moe 이므로 Jo는 가장 적은 사람이 아닙니다.

#3 가능성 지우기 1.MD.A.1 단계 5

Flo는 추이성으로 지웁니다.
$J > M$ 을 알고 있고 단서 1 에서 $F > J$ 입니다.
이어 붙이면 $F > J > M$ 이므로 $F > M$ 입니다.
Flo도 Moe보다 많으므로 가장 적을 수 없습니다.

$$F > J \;\text{이고}\; J > M \;\Rightarrow\; F > M$$

💡 1학년의 "세 물체 순서 정하기" 가 바로 이 동작입니다. Flo와 Moe를 직접 비교하지 않아도 사슬로 결론이 나옵니다.

#1 그림 그리기 1.MD.A.1 단계 6

Bo, Coe, Jo, Flo 가 모두 지워졌으니 남은 사람은 Moe.
사슬을 정렬해 보면 더 분명합니다: $M < J < B < F$, 옆으로 $M < C$ — Moe는 모든 사슬의 바닥에 있습니다.

$$M < J < B < F \;\text{이고}\; M < C \;\Rightarrow\; \text{Moe가 가장 적음} \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 다섯 이름을 수직선 위에 정렬해 보면 Moe가 바닥에 있다는 사실이 그림으로 보입니다 — 1학년의 "작은 순서대로" 와 같은 추이적 정렬입니다.

[1] #1 1.NBT.B.3 각 단서를 $<$ 또는 $>$ 식으로 옮깁니다. 이름 첫 글자 $B, C, F, J, M$ 을 씁니다. 단서 1 $\Rightarrow$ $J

[2] #3 K.MD.A.2 Bo를 지웁니다. $B > M$ 에서 Bo는 Moe보다 많으므로 가장 적을 수 없습니다.

[3] #3 K.MD.A.2 Coe를 지웁니다. $C > M$ 에서 Coe도 Moe보다 많으므로 가장 적을 수 없습니다.

[4] #3 K.MD.A.2 Jo를 지웁니다. $M < J$ 에서 Jo는 Moe보다 많으므로 가장 적을 수 없습니다.

[5] #3 1.MD.A.1 Flo는 추이성으로 지웁니다. $J > M$ 을 알고 있고 단서 1 에서 $F > J$ 입니다. 이어 붙이면 $F > J > M$ 이므로 $F

[6] #1 1.MD.A.1 Bo, Coe, Jo, Flo 가 모두 지워졌으니 남은 사람은 Moe. 사슬을 정렬해 보면 더 분명합니다: $M < J < B < F$, 옆으로

검토

합리성 확인: $M < J < B < F$ 와 $M < C$ 를 만족하는 구체적인 값을 넣어 확인해 봅시다 — 예: $M = 1, J = 2, B = 3, F = 4, C = 5$ (모두 다르고 모든 단서 만족). 가장 작은 값은 $1$, Moe 가 갖고 있습니다. 다른 배정 $M = 10, J = 20, B = 30, F = 40, C = 100$ 으로 바꿔도 가장 작은 사람은 여전히 Moe. 단서를 모두 만족하는 어떤 경우에도 Moe 가 바닥이므로 답 (E) 는 흔들리지 않습니다.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기)만으로도 풀립니다. 위로 갈수록 돈이 많아지는 "돈 사다리"를 세로로 그립니다. 먼저 Moe 를 맨 아래에 놓고 단서를 하나씩 적용합니다 — $J > M$ 이면 Jo 는 Moe 위, $J < B$ 이면 Bo 는 Jo 위, $B < F$ 이면 Flo 는 Bo 위, $C > M$ 이면 Coe 는 Moe 위 어딘가에 (정확한 위치는 중요하지 않아요). 모든 이름이 Moe 위에 놓이므로 바닥은 Moe — 답 (E).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 1)

K.MD.A.2 공통 측정 속성을 가진 두 물체를 직접 비교하기 (한 단서씩 ($B > M$, $C > M$, $J > M$ 등) 두 사람의 직접 비교로 읽고 "가장 적은" 후보에서 그 사람을 지우는 데 사용.)
1.NBT.B.3 두 자릿수 두 개를 기호로 비교하기 (영어 단서를 모두 $<$ 와 $>$ 기호로 옮겨 비교를 정렬하고 사슬로 잇는 데 사용.)
1.MD.A.1 세 물체를 길이로 정렬하고 길이를 간접적으로 비교하기 (Flo-Moe 직접 단서가 없어도 $F > J$ 와 $J > M$ 을 이어 $F > M$ 을 끌어내고, 다섯 이름을 $M < J < B < F$ 로 정렬하는 데 사용.)

⭐ 어떤 단서가 누군가 Moe보다 돈이 많다고 알려 주면 그 사람은 절대 가장 적을 수 없어요 — Bo, Coe, Jo, Flo 가 모두 이 규칙에 걸려 지워지고 Moe 만 남습니다. 필요한 건 1학년의 "사슬 규칙으로 가장 적은 것부터 정렬하기" 한 가지뿐이에요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 1)

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