AMC 8 · 2004 · #13

학년 0 counting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

logical-deductionif-then-reasoningcasework caseworkcontradiction-elementary ↑ 선수 지식: logical-deduction

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문제

Amy, Bill and Celine are friends with different ages. Exactly one of the following statements is true.

I. Bill is the oldest.
II. Amy is not the oldest.
III. Celine is not the youngest.

Rank the friends from the oldest to youngest.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

Bill, Amy, Celine

(B)

Amy, Bill, Celine

(C)

Celine, Amy, Bill

(D)

Celine, Bill, Amy

(E)

Amy, Celine, Bill

AMC 8 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 에이미, 빌, 셀린의 나이는 모두 다릅니다. 세 문장 — (I) 빌이 가장 나이가 많다, (II) 에이미는 가장 나이가 많지 않다, (III) 셀린은 가장 어리지 않다 — 중에서 정확히 하나만 참이고 나머지 둘은 거짓입니다. 세 사람을 나이가 많은 순서대로 나열하세요.

주어진 것: 세 사람의 나이는 모두 다르다; 문장 I: 빌이 가장 나이가 많다; 문장 II: 에이미는 가장 나이가 많지 않다; 문장 III: 셀린은 가장 어리지 않다; 셋 중 정확히 하나만 참, 나머지 둘은 거짓이다; 선택지는 다섯 가지 나이 순서를 제시한다

구하는 것: 에이미, 빌, 셀린을 나이가 많은 순서대로 나열한 결과

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

참인 문장이 I, II, III 중 어느 것인지에 따라 가능한 경우가 딱 세 가지입니다. 도구 #3(가능성 지우기)으로 각 경우를 검토해 모순이 나오는 경우를 지웁니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 경우 분석을 깔끔하게 정리해 주죠 — 각 경우에서 "가장 나이가 많은 사람"과 "가장 어린 사람"이 누구인지 적어 두고 충돌이 없는지 확인합니다. 살아남는 경우가 정답입니다. 대수는 필요 없고, 신중한 비교만 있으면 됩니다.

실행 — 정답: E

#3 가능성 지우기 K.MD.A.2 단계 1

경우 1: 문장 I("빌이 가장 나이가 많다")이 참이라고 가정합니다.
그러면 II와 III는 둘 다 거짓이어야 합니다.
II("에이미는 가장 나이가 많지 않다")의 부정은 "에이미가 가장 나이가 많다"입니다.
하지만 문장 I은 이미 빌이 가장 나이가 많다고 합니다.
서로 다른 두 사람이 동시에 가장 나이가 많을 수는 없으므로, 이 경우는 불가능합니다.

$$\text{I 참} \Rightarrow \text{II 거짓} \Rightarrow \text{에이미가 최고령} \;\text{그리고}\; \text{빌이 최고령} \;\text{— 모순}$$

💡 두 사람이 동시에 가장 나이가 많을 수 없다는 것은 "누가 더 나이가 많은가"를 비교하는 유치원 수준의 비교입니다.

#3 가능성 지우기 K.MD.A.2 단계 2

경우 2: 문장 II("에이미는 가장 나이가 많지 않다")가 참이라고 가정합니다.
그러면 I과 III는 둘 다 거짓입니다.
II가 참이므로: 에이미는 최고령이 아닙니다.
I이 거짓이므로: 빌도 최고령이 아닙니다.
따라서 최고령은 셀린이어야 합니다.
그런데 III가 거짓이면 "셀린이 가장 어리다"는 뜻이 됩니다.
셀린이 최고령이면서 동시에 최연소일 수는 없으므로, 이 경우도 불가능합니다.

$$\text{에이미 ≠ 최고령} + \text{빌 ≠ 최고령} \Rightarrow \text{셀린 = 최고령}; \;\text{III 거짓} \Rightarrow \text{셀린 = 최연소} \;\text{— 모순}$$

💡 역시 단순한 양자 비교 — 두 사람이 최고령에서 제외되면 남은 한 사람이 최고령이 됩니다.

#2 빠짐없이 나열하기 K.MD.A.2 단계 3

경우 3: 문장 III("셀린은 가장 어리지 않다")가 참이라고 가정합니다.
그러면 I과 II는 둘 다 거짓입니다.
I이 거짓이므로: 빌은 최고령이 아닙니다.
II가 거짓이므로: 그 부정인 "에이미가 가장 나이가 많다"가 성립합니다.
III가 참이므로: 셀린은 최연소가 아닙니다.
지금까지 알아낸 사실을 적어 둡니다.

$$\text{에이미 = 최고령}, \;\text{빌 ≠ 최고령}, \;\text{셀린 ≠ 최연소}$$

💡 세 가지 사실을 나란히 적어 두는 것이 "빠짐없이 나열하기"의 핵심 — 결론을 내리기 전에 우선 정리합니다.

#2 빠짐없이 나열하기 K.MD.A.2 단계 4

순서를 마무리합니다.
에이미가 최고령이므로 남은 자리(중간과 최연소)는 빌과 셀린의 몫입니다.
셀린은 최연소가 아니므로 빌이 최연소가 되어야 하고, 그러면 셀린은 중간 자리에 들어갑니다.
나이가 많은 순서대로: 에이미, 셀린, 빌.

$$\text{에이미} > \text{셀린} > \text{빌} \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 몇 가지 "더 나이가 많다" 정보로 세 사람을 나이 순서로 줄 세우는 것은 유치원 수준의 비교·정렬 능력 그대로입니다.

[1] #3 K.MD.A.2 경우 1: 문장 I("빌이 가장 나이가 많다")이 참이라고 가정합니다. 그러면 II와 III는 둘 다 거짓이어야 합니다. II("에이미는 가장

[2] #3 K.MD.A.2 경우 2: 문장 II("에이미는 가장 나이가 많지 않다")가 참이라고 가정합니다. 그러면 I과 III는 둘 다 거짓입니다. II가 참이므로: 에

[3] #2 K.MD.A.2 경우 3: 문장 III("셀린은 가장 어리지 않다")가 참이라고 가정합니다. 그러면 I과 II는 둘 다 거짓입니다. I이 거짓이므로: 빌은 최고

[4] #2 K.MD.A.2 순서를 마무리합니다. 에이미가 최고령이므로 남은 자리(중간과 최연소)는 빌과 셀린의 몫입니다. 셀린은 최연소가 아니므로 빌이 최연소가 되어야 하

검토

합리성 확인: 살아남은 순서 에이미 > 셀린 > 빌을 세 문장과 모두 대조해 봅니다. (I) 빌이 최고령? 에이미가 최고령이므로 거짓. (II) 에이미가 최고령이 아니다? 에이미가 최고령이므로 거짓. (III) 셀린이 최연소가 아니다? 최연소는 빌이므로 참. 정확히 하나만 참이고 둘은 거짓 — 문제 조건과 일치합니다. 경우 1과 2에서 분명한 모순이 나왔으므로 (E)가 유일한 답입니다.

대안 접근: 도구 #3을 선택지에 바로 적용해 봅니다. 각 순서를 보고 I, II, III 중 몇 개가 참이 되는지 셉니다. (A) 빌, 에이미, 셀린 — I 참, II 참, III 거짓: 둘 참, 탈락. (B) 에이미, 빌, 셀린 — I 거짓, II 거짓, III 거짓: 영 개, 탈락. (C) 셀린, 에이미, 빌 — I 거짓, II 참, III 참: 둘 참, 탈락. (D) 셀린, 빌, 에이미 — I 거짓, II 참, III 참: 둘 참, 탈락. (E) 에이미, 셀린, 빌 — I 거짓, II 거짓, III 참: 정확히 하나. 따라서 답은 (E).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 0)

K.MD.A.2 공통 측정 속성을 가진 두 물체를 직접 비교하기 (나이를 둘씩 비교("최고령," "최연소," "최고령이 아니다")하고, 제약 조건이 각자의 위치를 결정해 주면 세 사람을 나이 순서대로 정렬하는 데 사용.)

⭐ 세 경우, 두 개는 모순, 하나만 살아남는다 — 이 AMC 8 문제는 유치원 수준의 "누가 더 나이가 많은가" 비교 능력만으로 풀려요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 0)

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