AMC 8 · 2022 · #12
학년 7 probabilitycounting문제
아래 그림과 같은 두 회전판의 화살을 각각 한 번씩 돌립니다. 수 N을 회전판 A에서 나온 수의 10배에 회전판 B에서 나온 수를 더한 값이라고 합시다. N이 완전제곱수일 확률은 얼마입니까?
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AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 회전판 A는 $5, 6, 7, 8$ 네 칸으로, 회전판 B는 $1, 2, 3, 4$ 네 칸으로 똑같이 나뉘어 있습니다. 두 회전판을 동시에 돌려 두 자리 수 $N = 10 \times (\text{회전판 A}) + (\text{회전판 B})$ 를 만들 때, $N$ 이 완전제곱수가 될 확률을 구하세요.
주어진 것: 회전판 A 결과: $\{5, 6, 7, 8\}$, 각각 확률 $\tfrac{1}{4}$; 회전판 B 결과: $\{1, 2, 3, 4\}$, 각각 확률 $\tfrac{1}{4}$; $N = 10 \times A + B$ — 회전판 A 가 십의 자리, 회전판 B 가 일의 자리; 두 회전판은 서로 독립적으로 돌아간다; 선택지: (A) $\tfrac{1}{16}$, (B) $\tfrac{1}{8}$, (C) $\tfrac{1}{4}$, (D) $\tfrac{3}{8}$, (E) $\tfrac{1}{2}$
구하는 것: $P(N \text{ 이 완전제곱수})$
이해
문제 재정리: 회전판 A는 $5, 6, 7, 8$ 네 칸으로, 회전판 B는 $1, 2, 3, 4$ 네 칸으로 똑같이 나뉘어 있습니다. 두 회전판을 동시에 돌려 두 자리 수 $N = 10 \times (\text{회전판 A}) + (\text{회전판 B})$ 를 만들 때, $N$ 이 완전제곱수가 될 확률을 구하세요.
주어진 것: 회전판 A 결과: $\{5, 6, 7, 8\}$, 각각 확률 $\tfrac{1}{4}$; 회전판 B 결과: $\{1, 2, 3, 4\}$, 각각 확률 $\tfrac{1}{4}$; $N = 10 \times A + B$ — 회전판 A 가 십의 자리, 회전판 B 가 일의 자리; 두 회전판은 서로 독립적으로 돌아간다; 선택지: (A) $\tfrac{1}{16}$, (B) $\tfrac{1}{8}$, (C) $\tfrac{1}{4}$, (D) $\tfrac{3}{8}$, (E) $\tfrac{1}{2}$
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #6 추측하고 확인하기, #1 그림 그리기
표본공간이 $4 \times 4 = 16$ 가지밖에 안 되니까 전부 적어 보는 게 가장 빠릅니다 — 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 가 딱입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 일을 두 조각 — (가) 전체 경우의 수 $16$ 구하기, (나) 그중 완전제곱수가 되는 경우 세기 — 로 나누면 깔끔합니다. (나) 는 두 자리 수를 모두 일일이 제곱해 보는 대신, 도구 #6(추측하고 확인하기) 로 범위 안에 있는 완전제곱수만 골라 봅니다 — $7^2 = 49$ 는 $51$ 보다 작고 $10^2 = 100$ 은 $84$ 보다 크니까, 후보는 $8^2 = 64$ 와 $9^2 = 81$ 뿐입니다. 마지막에 이 두 수의 자릿수가 정말 회전판으로 만들 수 있는지 확인하면 됩니다.
실행 — 정답: B
3.OA.A.1 단계 1 - 표본공간의 크기를 셉니다.
- 두 회전판은 각각 $4$ 가지 결과가 똑같은 확률로 나오고 서로 독립이므로, 순서쌍 $(A, B)$ 의 전체 경우의 수는 $4 \times 4 = 16$.
- 이 $16$ 가지는 모두 똑같이 일어날 확률을 가집니다.
💡 "회전판 A 의 $4$ 가지" 와 "회전판 B 의 $4$ 가지" 를 곱하는 것은 3학년의 "같은 크기 묶음의 곱셈" 그대로입니다.
1.NBT.B.2 단계 2 - $N$ 의 범위를 확인합니다.
- 십의 자리가 $5, 6, 7, 8$ 중 하나, 일의 자리가 $1, 2, 3, 4$ 중 하나이므로 $N$ 의 최솟값은 $51$, 최댓값은 $84$ 입니다.
- 따라서 $51$ 부터 $84$ 사이에 있는 완전제곱수만 찾으면 됩니다.
💡 두 자리 수를 "십의 자리 + 일의 자리" 로 읽는 것은 1학년 자릿값 그대로입니다.
3.OA.C.7 단계 3 - 이 범위 근처의 완전제곱수를 적어 후보를 찾습니다.
- $7^2 = 49$ 는 $51$ 보다 작고, $8^2 = 64$ 는 범위 안, $9^2 = 81$ 도 범위 안, $10^2 = 100$ 은 $84$ 보다 큽니다.
- 따라서 $N$ 이 될 수 있는 완전제곱수는 $64$ 와 $81$ 뿐입니다.
💡 $64 = 8 \times 8,\ 81 = 9 \times 9$ 를 떠올리는 것은 3학년 곱셈 구구를 그대로 쓰는 일입니다.
1.NBT.B.2 단계 4 - 두 후보가 실제로 회전판에서 나올 수 있는지 확인합니다.
- $N = 64$ 는 십의 자리 $6$ (회전판 A 에 있음) 과 일의 자리 $4$ (회전판 B 에 있음) 로, $(A, B) = (6, 4)$ 가 가능.
- $N = 81$ 은 십의 자리 $8$ (회전판 A) 과 일의 자리 $1$ (회전판 B) 로, $(A, B) = (8, 1)$ 가 가능.
- 따라서 유리한 경우는 정확히 $16$ 가지 중 $2$ 가지입니다.
💡 $64$ 를 "십의 자리에 $6$, 일의 자리에 $4$" 로 쪼개는 것도 같은 1학년 자릿값 동작입니다.
7.SP.C.7 단계 5 - 확률을 "유리한 경우 $\div$ 전체 경우" 로 구하고 분수를 약분합니다.
- $16$ 가지 중 $2$ 가지가 유리하므로 확률은 $\tfrac{2}{16}$.
- 분자와 분모를 $2$ 로 나누면 $\tfrac{1}{8}$ — 선택지 (B) 입니다.
💡 똑같이 일어날 확률을 가진 경우들에 대해 "유리한 경우 $\div$ 전체 경우" 로 확률을 정의하는 것은 7학년 확률 모형 그대로입니다.
3.OA.A.1 표본공간의 크기를 셉니다. 두 회전판은 각각 $4$ 가지 결과가 똑같은 확률로 나오고 서로 독립이므로, 순서쌍 $(A, B)$ 의 전체 경우의 1.NBT.B.2 $N$ 의 범위를 확인합니다. 십의 자리가 $5, 6, 7, 8$ 중 하나, 일의 자리가 $1, 2, 3, 4$ 중 하나이므로 $N$ 의 최솟값 3.OA.C.7 이 범위 근처의 완전제곱수를 적어 후보를 찾습니다. $7^2 = 49$ 는 $51$ 보다 작고, $8^2 = 64$ 는 범위 안, $9^2 = 1.NBT.B.2 두 후보가 실제로 회전판에서 나올 수 있는지 확인합니다. $N = 64$ 는 십의 자리 $6$ (회전판 A 에 있음) 과 일의 자리 $4$ (회 7.SP.C.7 확률을 "유리한 경우 $\div$ 전체 경우" 로 구하고 분수를 약분합니다. $16$ 가지 중 $2$ 가지가 유리하므로 확률은 $\tfrac{2 검토
합리성 확인: $16$ 가지 작은 표본공간 중 완전제곱수가 되는 경우는 $2$ 가지뿐 — 비율이 작은 게 자연스럽습니다. $\tfrac{1}{8} = 0.125$ 는 충분히 작은 값이라 (B) 와 맞아떨어집니다. (D) $\tfrac{3}{8}$, (E) $\tfrac{1}{2}$ 이려면 $16$ 가지 중 $6$ 가지나 $8$ 가지가 완전제곱수여야 하는데, 수가 커질수록 완전제곱수는 듬성듬성해지므로 $51$–$84$ 범위에 그렇게 많을 수가 없습니다. (A) $\tfrac{1}{16}$ 는 유리한 경우가 $1$ 가지여야 하므로 $64$ 나 $81$ 중 하나를 빠뜨린 답입니다.
대안 접근: 도구 #1(그림 그리기) 활용: 행은 $A = 5, 6, 7, 8$, 열은 $B = 1, 2, 3, 4$ 인 $4 \times 4$ 격자를 그리고, 각 칸에 $N = 10A + B$ 의 값을 직접 적습니다. 그 다음 완전제곱수에 동그라미를 칩니다. $A = 6,\ B = 4$ 칸의 $64$ 와 $A = 8,\ B = 1$ 칸의 $81$ — 정확히 두 칸에 동그라미가 쳐지므로 확률은 $\tfrac{2}{16} = \tfrac{1}{8}$. 격자가 있으면 중복으로 세거나 빠뜨리는 실수를 막을 수 있습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
1.NBT.B.2두 자리 수를 십의 자리와 일의 자리로 이해하기 ($N = 10A + B$ 를 "$A$ 가 십의 자리, $B$ 가 일의 자리" 로 읽어 $N$ 의 범위 $51$–$84$ 를 구하고, $64$ 와 $81$ 이 회전판에서 만들 수 있는 수인지 자릿값으로 확인하는 데 사용.)3.OA.A.1자연수의 곱을 묶음의 전체 개수로 해석하기 (독립적으로 돌아가는 두 회전판의 표본공간을 $4 \times 4 = 16$ 가지 순서쌍 $(A, B)$ 로 세는 데 사용.)3.OA.C.7$100$ 이내에서 능숙하게 곱하고 나누기 (범위 근처 완전제곱수를 확인하는 데 — $7^2 = 49,\ 8^2 = 64,\ 9^2 = 81,\ 10^2 = 100$ 의 3학년 곱셈 구구를 사용.)7.SP.C.7확률 모형을 만들어 사건의 확률 구하기 ($16$ 가지 등확률 결과에 대한 균등 확률 모형 위에서 "$N$ 이 완전제곱수" 일 확률을 $\dfrac{\text{유리한 경우}}{\text{전체 경우}} = \dfrac{2}{16} = \dfrac{1}{8}$ 로 정의하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 "유리한 경우 $\div$ 전체 경우" 확률 모형만 알면 풀 수 있어요 — 완전제곱수 찾는 부분은 3학년 곱셈 구구면 충분해요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 "유리한 경우 $\div$ 전체 경우" 확률 모형만 알면 풀 수 있어요 — 완전제곱수 찾는 부분은 3학년 곱셈 구구면 충분해요!
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