AMC 8 · 2022 · #24
학년 7 geometry-3d문제
아래 그림은 직사각형들과 직각삼각형들로 이루어진 다각형 ABCDEFGH입니다. 이 다각형을 오려 낸 뒤 점선을 따라 접으면 삼각기둥이 만들어집니다. AH=EF=8이고 GH=14일 때, 이 삼각기둥의 부피는 얼마입니까?
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AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 직사각형 몇 개와 직각삼각형 두 개로 이루어진 평면 다각형 $ABCDEFGH$ 는 어떤 삼각기둥의 전개도입니다. 점선을 따라 접으면 직각삼각형 $\triangle GJB$ 와 $\triangle FIC$ 가 서로 합동인 두 삼각형 밑면이 되고, 사이의 직사각형들은 옆면이 됩니다. $AH = EF = 8$, $GH = 14$ 일 때, 만들어지는 삼각기둥의 부피를 구하는 문제입니다.
주어진 것: 평면 도형 $ABCDEFGH$ 는 점선($JB$, $BG$, $CF$, $FI$)을 따라 접으면 삼각기둥이 된다; $\triangle GJB$ 와 $\triangle FIC$ 는 각각 $J$, $I$ 에서 직각을 이루는 직각삼각형이며, 접으면 두 합동인 삼각형 밑면이 된다; $AH = 8$ (옆면 직사각형의 한 변); $EF = 8$ (접으면 옆 모서리 $FG$ 와 만나 같은 모서리가 되는 변); $GH = 14$ (전개도의 아래쪽 전체 길이, $GJ$ 와 $JH$ 로 나뉨); 선택지: (A) $112$, (B) $128$, (C) $192$, (D) $240$, (E) $288$
구하는 것: 전개도를 접어서 만든 삼각기둥의 부피
이해
문제 재정리: 직사각형 몇 개와 직각삼각형 두 개로 이루어진 평면 다각형 $ABCDEFGH$ 는 어떤 삼각기둥의 전개도입니다. 점선을 따라 접으면 직각삼각형 $\triangle GJB$ 와 $\triangle FIC$ 가 서로 합동인 두 삼각형 밑면이 되고, 사이의 직사각형들은 옆면이 됩니다. $AH = EF = 8$, $GH = 14$ 일 때, 만들어지는 삼각기둥의 부피를 구하는 문제입니다.
주어진 것: 평면 도형 $ABCDEFGH$ 는 점선($JB$, $BG$, $CF$, $FI$)을 따라 접으면 삼각기둥이 된다; $\triangle GJB$ 와 $\triangle FIC$ 는 각각 $J$, $I$ 에서 직각을 이루는 직각삼각형이며, 접으면 두 합동인 삼각형 밑면이 된다; $AH = 8$ (옆면 직사각형의 한 변); $EF = 8$ (접으면 옆 모서리 $FG$ 와 만나 같은 모서리가 되는 변); $GH = 14$ (전개도의 아래쪽 전체 길이, $GJ$ 와 $JH$ 로 나뉨); 선택지: (A) $112$, (B) $128$, (C) $192$, (D) $240$, (E) $288$
계획
주요 도구: #17 공간 상상하기
보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기
"전개도를 접으면 어떤 입체가 되는가" 라는 전형적인 입체 시각화 문제이므로, 우선 도구 #17(공간 상상하기) 로 전개도를 머릿속에서 접어 봅니다. 두 직각삼각형 $\triangle GJB$, $\triangle FIC$ 가 위·아래 두 밑면이 되고, 세 직사각형이 옆면이 된다는 그림이 보이면, 도구 #1(그림 그리기) 로 각 변에 "기둥의 높이", "밑면의 한 변" 같은 새 이름표를 붙여 정리할 수 있습니다. 마지막으로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 "밑면의 넓이는 얼마인가?" 와 "기둥의 높이는 얼마인가?" 두 작은 문제를 따로 풀고, 부피 공식으로 합칩니다. 도구 #13(대수) 은 일부러 피합니다 — 일단 접는 모양만 보이면 길이 셈만 남는 기하 문제이기 때문입니다.
실행 — 정답: C
6.G.A.4 단계 1 - 전개도를 머릿속에서 접어 봅니다.
- 점선 $CF$ 와 $BG$ 가 접는 선이 되어 두 직각삼각형 $\triangle FIC$, $\triangle GJB$ 가 위로 일어서며 서로 마주 보는 두 밑면이 됩니다.
- 그 사이에 있던 세 직사각형은 옆면이 되어 빙 둘러 감기고, 결과적으로 밑면이 직각삼각형 $\triangle GJB$ ($\triangle FIC$ 와 합동) 인 삼각기둥이 만들어집니다.
💡 2차원 전개도가 어떤 3차원 입체로 접히는지 알아보는 것은 "전개도를 이용한 입체 표현" 이라는 6학년 표준입니다.
6.G.A.4 단계 2 - 기둥의 높이를 찾습니다.
- 두 밑면을 잇는 옆 모서리가 곧 기둥의 높이인데, 전개도에서는 $FG$ 와 $JH$ 가 그 옆 모서리에 해당합니다.
- 접으면 $EF$ 가 $FG$ 위로 포개져 같은 옆 모서리가 되므로 $FG = EF = 8$.
- 따라서 기둥의 높이는 $h = 8$ 입니다.
💡 전개도를 접었을 때 만나는 두 모서리의 길이가 같다는 사실은 "전개도 ↔ 입체" 6학년 관계 그대로입니다.
4.MD.A.3 단계 3 - 밑면 직각삼각형의 한 변을 구합니다.
- 옆면 직사각형 $ABJH$ 에서 $AH$ 와 $BJ$ 는 마주보는 변이므로 길이가 같습니다.
- $AH = 8$ 이니 $BJ = 8$ 이고, 접으면 $BJ$ 는 밑면 $\triangle GJB$ 의 한 직각변이 됩니다.
💡 직사각형에서 마주보는 두 변의 길이는 같다는 4학년 직사각형 기본 성질을, 라벨이 붙은 그림에서 바로 읽어 냅니다.
4.OA.A.3 단계 4 - 밑면 직각삼각형의 다른 한 변을 구합니다.
- 전개도의 아래쪽 전체 길이 $GH = 14$ 는 $GJ$ ($\triangle GJB$ 의 또 다른 직각변) 와 $JH$ 로 나뉩니다.
- 그런데 $JH$ 도 기둥의 옆 모서리이므로 $JH = h = 8$.
- 따라서 $GJ = GH - JH = 14 - 8 = 6$ 입니다.
💡 전체 길이($GH = 14$) 를 "이미 아는 부분($JH = 8$)" 과 "구하는 부분($GJ$)" 으로 쪼개 빼는 것은 4학년 다단계 문장제 동작입니다.
6.G.A.1 단계 5 - 밑면의 넓이를 구합니다.
- $\triangle GJB$ 는 직각변이 $BJ = 8$, $GJ = 6$ 인 직각삼각형이므로 넓이는 두 직각변 곱의 절반입니다.
💡 직각삼각형의 넓이를 "두 직각변의 곱 $\div\, 2$" 로 구하는 것은 6학년 "삼각형의 넓이" 표준입니다.
7.G.B.6 단계 6 밑면의 넓이에 기둥의 높이를 곱해 부피를 구하고, 선택지와 맞춰 봅니다.
💡 직사각기둥이 아닌 일반 기둥의 부피를 "밑면의 넓이 $\times$ 높이" 로 구하는 것은 정확히 7학년 "넓이·겉넓이·부피 문제 해결" 표준입니다.
6.G.A.4 전개도를 머릿속에서 접어 봅니다. 점선 $CF$ 와 $BG$ 가 접는 선이 되어 두 직각삼각형 $\triangle FIC$, $\triangle 6.G.A.4 기둥의 높이를 찾습니다. 두 밑면을 잇는 옆 모서리가 곧 기둥의 높이인데, 전개도에서는 $FG$ 와 $JH$ 가 그 옆 모서리에 해당합니다. 접 4.MD.A.3 밑면 직각삼각형의 한 변을 구합니다. 옆면 직사각형 $ABJH$ 에서 $AH$ 와 $BJ$ 는 마주보는 변이므로 길이가 같습니다. $AH = 8 4.OA.A.3 밑면 직각삼각형의 다른 한 변을 구합니다. 전개도의 아래쪽 전체 길이 $GH = 14$ 는 $GJ$ ($\triangle GJB$ 의 또 다른 6.G.A.1 밑면의 넓이를 구합니다. $\triangle GJB$ 는 직각변이 $BJ = 8$, $GJ = 6$ 인 직각삼각형이므로 넓이는 두 직각변 곱의 7.G.B.6 밑면의 넓이에 기둥의 높이를 곱해 부피를 구하고, 선택지와 맞춰 봅니다. 검토
합리성 확인: 결과의 크기와 단위를 확인해 봅니다. 밑면은 $6$-$8$-$10$ 직각삼각형으로 넓이가 $24$, 높이가 $8$ 이므로 부피 $24 \times 8 = 192$ 는 선택지 $128$ 과 $240$ 의 가운데에 깔끔하게 자리 잡습니다. 만약 실수로 $GJ$ 대신 전체 길이 $GH = 14$ 를 밑변으로 썼다면 $\tfrac{1}{2} \times 14 \times 8 \times 8 = 448$ 이 나와 선택지에 아예 없으므로, 옆 모서리 $JH = 8$ 과 밑변 $GJ = 6$ 을 제대로 분리했다는 점도 함께 확인됩니다. 부피 단위가 "길이의 세제곱" 이라는 점도 자연스럽습니다.
대안 접근: 도구 #10(직접 만져보기) 도 같은 답을 줍니다. 종이에 전개도를 그려 $AH = EF = 8$, $GH = 14$ 라고 적고, 점선 $JB$, $BG$, $CF$, $FI$ 를 따라 직접 접어 보면 $EF$ 가 $FG$ 와 포개져 "높이 $= 8$" 이 한눈에 보이고, $AH$ 의 맞은편 변이 $BJ = 8$, 남은 부분이 $GJ = 14 - 8 = 6$ 이라는 사실도 손으로 확인할 수 있습니다. 거기서 $V = \tfrac{1}{2} \times 6 \times 8 \times 8 = 192$ 로 답 (C) 가 다시 확인됩니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
4.MD.A.3실생활 문제에서 직사각형의 넓이·둘레 공식 적용 (옆면 직사각형 $ABJH$ 에서 마주보는 변이 같다는 성질로 $BJ = AH = 8$ 을 끌어내는 데 사용.)4.OA.A.3사칙연산을 이용한 다단계 문장제 해결 (이미 아는 옆 모서리 $JH = 8$ 을 전체 길이 $GH = 14$ 에서 빼서 밑변 $GJ = 6$ 을 구하는 데 사용.)6.G.A.1삼각형·특수 사각형·다각형의 넓이를 합성·분해로 구하기 (직각삼각형 밑면 $\triangle GJB$ 의 넓이를 $\tfrac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$ 로 계산.)6.G.A.4전개도를 이용한 3차원 도형 표현과 겉넓이 구하기 (다각형 $ABCDEFGH$ 가 삼각기둥의 전개도임을 인식하고, 접었을 때 만나는 모서리($EF$ 와 $FG$, 옆 모서리로서의 $JH$)를 짝짓는 데 사용.)7.G.B.6넓이·겉넓이·부피와 관련된 실생활 문제 해결 (직사각기둥이 아닌 삼각기둥의 부피 공식 $V = (\text{밑면의 넓이}) \times (\text{높이}) = 24 \times 8 = 192$ 를 적용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "밑면의 넓이 $\times$ 높이 $=$ 기둥의 부피" 와 전개도 접기 감각만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "밑면의 넓이 $\times$ 높이 $=$ 기둥의 부피" 와 전개도 접기 감각만 알면 풀 수 있어요!
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