AMC 8 · 2023 · #17

• 직접 모형을 만듭니다.
• 두꺼운 종이에 $Q, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ 의 위치를 그대로 옮겨 전개도를 한 장으로 잘라낸 뒤, 안쪽 모서리를 따라 접어 모든 번호 면이 책상에서 들리도록 합니다.
• 면 $Q$ 가 전개도에서 이미 가진 두 이웃 — 왼쪽의 면 $6$, 아래쪽의 면 $7$ — 은 그대로 붙어 있고, $Q$ 의 오른쪽 모서리 하나만 아직 자유로워 있다는 점에 주목합니다.
• 문제가 묻는 것은 바로 이 자유 모서리에 붙는 면입니다.

💡 평면 전개도로 입체를 만드는 것은 6학년 "전개도로 3차원 도형을 나타내기" 의 핵심 기술입니다.

• 전개도의 둘레에 있는 면을 모두 적습니다.
• 전개도 바깥을 한 바퀴 돌며 자유 모서리(아직 어디에도 붙어 있지 않은 바깥쪽 모서리) 가 있는 면을 모두 나열하면 $Q, 6, 4, 1, 2, 3, 5, 7$ 입니다.
• 종이가 정팔면체로 닫힐 때 이 바깥 모서리들은 서로 짝지어 붙어야 하므로, 면 $Q$ 의 자유 모서리는 이 목록 중 정확히 한 면의 자유 모서리와 만나야 합니다.

💡 평면 도형의 바깥 모서리를 모두 적어 두는 것은 1학년 "평면·입체 도형을 조립하기" 와 같은 방식의 정리입니다.

• 다른 자리에 이미 묶인 면들을 지워 나갑니다.
• 면 $Q$ 가 속한 "뚜껑" 을 살펴봅시다.
• 전개도에서 면 $Q \to 6 \to 4 \to 1$ 은 모두 한 공통 꼭짓점($Q$ 뚜껑의 꼭대기 점) 에서 만나고, 이 뚜껑을 둘러싼 네 개의 자유 모서리는 접으면 서로 지퍼처럼 닫혀야 합니다 — 즉 $Q$ 의 자유 모서리는 $1$ 의 자유 모서리와 만나야 합니다.
• 면 $2, 3, 5$ 는 정팔면체의 **반대쪽** 뚜껑에 속해 $Q$ 와는 멀리 떨어진 꼭짓점에서만 닿을 뿐, 모서리를 공유하지 않으므로 후보에서 제외됩니다.
• 면 $4$ 도 같은 뚜껑에 있지만 $4$ 의 자유 모서리는 $Q$ 가 아니라 $6$ 의 자유 모서리와 짝이 되므로 역시 제외입니다.
• 그러면 남는 것은 면 $1$ 하나입니다.

💡 다른 자리에 이미 묶인 면을 빼는 것은 6학년 "3차원 도형의 전개도" 개념을 그대로 활용한 가지치기입니다.

• 실제로 접어(또는 머릿속에서 접어) 확인합니다.
• 뚜껑 $Q$-$6$-$4$-$1$ 의 네 개 자유 모서리가 책상에서 들려 올라가면서 서로를 향해 휘어져 정팔면체의 위쪽 꼭짓점에서 한 점으로 만납니다.
• 3차원 그림의 시점에서 면 $6$ 은 $Q$ 의 왼쪽에, 면 $4$ 는 $Q$ 와 모서리가 아닌 한 꼭짓점만 공유하는 위치에, 그리고 면 $1$ 은 $Q$ 의 오른쪽에 자연스럽게 자리잡습니다.
• 평면 위에서 떨어져 있던 네 꼭짓점 $Q, 6, 4, 1$ 이 한 점에서 만나는 것은 문제에서 명시한 "각 꼭짓점에 $4$ 개의 면이 모인다" 는 정팔면체의 성질과 정확히 일치합니다.

💡 평면의 네 꼭짓점이 한 점에서 만나는 것을 따라가 보는 것은 유치원 "입체 도형을 비교·분석하기" 의 자연스러운 확장입니다.

• 남은 후보를 선택지와 맞춥니다.
• $Q$ 의 오른쪽에 붙는 면은 $1$ 번이므로, 답은 (A) 입니다.

💡 짧은 후보 목록에서 일치하는 하나를 골라 답으로 적는 것은 유치원 수준의 세기·짝맞추기입니다.