AMC 8 · 2022 · #6

학년 3 arithmeticalgebra

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Direct Ratio Scale-Up

sequences-arithmeticequal-spacinglinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-one-varsequences-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

세 양의 정수가 수직선 위에 같은 간격으로 놓여 있습니다. 가운데 수는 $15$ 이고, 가장 큰 수는 가장 작은 수의 $4$ 배입니다. 이 세 수 중 가장 작은 수는 무엇입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 수직선 위에 세 양의 정수가 서로 같은 간격으로 놓여 있어요. 가운데 수는 $15$ 이고, 가장 큰 수는 가장 작은 수의 $4$ 배입니다. 가장 작은 수는 얼마일까요?

주어진 것: 세 양의 정수가 수직선 위에 같은 간격으로 놓여 있음; 가운데 수는 $15$; 가장 큰 수는 가장 작은 수의 $4$ 배; 선택지: (A) $4$, (B) $5$, (C) $6$, (D) $7$, (E) $8$

구하는 것: 세 수 중 가장 작은 수

이해

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #3 가능성 지우기

선택지가 $4, 5, 6, 7, 8$ 이라는 작은 자연수 다섯 개로 한정된 객관식 문제예요. 각 후보를 가장 작은 수 $x$ 로 잡고 $4x$ 를 계산한 뒤, $15$ 가 $x$ 와 $4x$ 의 정확히 가운데에 놓이는지(양쪽 간격이 같은지) 직접 확인해 보면 됩니다. 도구 #6(추측하고 확인하기) 로 후보를 하나씩 대입해 보고, 도구 #3(가능성 지우기) 로 조건에 맞지 않는 것을 지워 가면, 대수(도구 #13) 까지 가지 않아도 가장 어린 학년 수준의 곱셈·뺄셈만으로 답을 찾을 수 있어요.

실행 — 정답: C

#6 추측하고 확인하기 3.OA.D.8 단계 1

"같은 간격" 의 뜻을 먼저 정리합니다.
세 수를 작은 것부터 (작은 수, 가운데 수, 큰 수) 라고 하면, (가운데 $-$ 작은 수) 와 (큰 수 $-$ 가운데) 가 같아야 해요.
즉, 가운데 수는 작은 수와 큰 수의 정확한 한가운데에 있어야 합니다.

$$\text{가운데} - \text{작은 수} = \text{큰 수} - \text{가운데}$$

💡 "양쪽 간격이 같다" 는 한 줄 규칙만 잡으면, 나머지는 각 선택지에 대해 산수만 해 보면 됩니다.

#3 가능성 지우기 3.OA.A.3 단계 2

선택지 (A) $x = 4$ 부터 대입해 봅니다.
큰 수 $= 4 \times 4 = 16$.
작은 수 쪽 간격은 $15 - 4 = 11$, 큰 수 쪽 간격은 $16 - 15 = 1$ 로 다르므로 (A) 는 탈락.

$$15 - 4 = 11,\quad 16 - 15 = 1\;\;\text{(간격 다름)} \Rightarrow \text{(A) 탈락}$$

💡 $4 \times 4$ 곱셈과 뺄셈은 3학년에서 다루는 곱셈 문장제·연산 그대로입니다.

#3 가능성 지우기 3.OA.A.3 단계 3

(B) $x = 5$.
큰 수 $= 4 \times 5 = 20$.
간격은 $15 - 5 = 10$ 과 $20 - 15 = 5$ 로 다르므로 (B) 도 탈락.

$$15 - 5 = 10,\quad 20 - 15 = 5\;\;\text{(간격 다름)} \Rightarrow \text{(B) 탈락}$$

💡 같은 3학년 곱셈·뺄셈 검사를 다음 후보에 적용할 뿐입니다.

#6 추측하고 확인하기 3.OA.A.3 단계 4

(C) $x = 6$.
큰 수 $= 4 \times 6 = 24$.
간격은 $15 - 6 = 9$ 와 $24 - 15 = 9$ 로 같습니다 — 조건을 만족!

$$15 - 6 = 9,\quad 24 - 15 = 9\;\;\checkmark$$

💡 두 차이가 똑같이 나오는 순간 "같은 간격" 조건을 만족했음을 알 수 있어요.

#3 가능성 지우기 3.OA.D.8 단계 5

혹시 다른 후보도 맞나 확인합니다.
(D) $x = 7$ 이면 큰 수 $= 28$, 간격 $8$ 과 $13$ 으로 다름.
(E) $x = 8$ 이면 큰 수 $= 32$, 간격 $7$ 과 $17$ 로 다름.
살아남는 후보는 (C) 뿐이므로 답은 (C) $6$.

$$x = 7: 15-7=8,\;28-15=13;\;\; x = 8: 15-8=7,\;32-15=17 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}\; 6$$

💡 나머지 후보까지 지워 봐야 (C) 가 유일한 답이라는 게 확실해집니다.

[1] #6 3.OA.D.8 "같은 간격" 의 뜻을 먼저 정리합니다. 세 수를 작은 것부터 (작은 수, 가운데 수, 큰 수) 라고 하면, (가운데 $-$ 작은 수) 와 (큰

[2] #3 3.OA.A.3 선택지 (A) $x = 4$ 부터 대입해 봅니다. 큰 수 $= 4 \times 4 = 16$. 작은 수 쪽 간격은 $15 - 4 = 11$, 큰

[3] #3 3.OA.A.3 (B) $x = 5$. 큰 수 $= 4 \times 5 = 20$. 간격은 $15 - 5 = 10$ 과 $20 - 15 = 5$ 로 다르므로 (

[4] #6 3.OA.A.3 (C) $x = 6$. 큰 수 $= 4 \times 6 = 24$. 간격은 $15 - 6 = 9$ 와 $24 - 15 = 9$ 로 같습니다 —

[5] #3 3.OA.D.8 혹시 다른 후보도 맞나 확인합니다. (D) $x = 7$ 이면 큰 수 $= 28$, 간격 $8$ 과 $13$ 으로 다름. (E) $x = 8$

검토

합리성 확인: 세 수 $6, 15, 24$ 는 모두 양의 정수이고, 작은 수부터 차례대로 놓여 있으며, 가운데 수 $15$, 가장 큰 수 $24 = 4 \times 6$ 으로 가장 작은 수의 정확히 $4$ 배입니다. 양쪽 간격도 $15 - 6 = 9$, $24 - 15 = 9$ 로 같아요. 문제의 모든 조건이 맞고, $6$ 은 선택지 (C) 에 있으니 답이 자연스럽습니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) 으로 풀 수도 있어요. 작은 수를 $x$, 큰 수를 $4x$ 라 두고 "가운데 = 양 끝의 평균" 을 쓰면 $\dfrac{x + 4x}{2} = 15 \Rightarrow \dfrac{5x}{2} = 15 \Rightarrow x = 6$. 답은 같지만, 다섯 개의 작은 후보를 직접 대입하는 추측·확인 풀이보다 한 단계 더 추상적인 식 세우기가 필요합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

3.OA.A.3 100 이내의 곱셈·나눗셈 문장제 해결 (각 후보 $x$ 에 대해 가장 큰 수 $4 \times x$ 를 계산($4 \times 4, 4 \times 5, \dots, 4 \times 8$) — 모두 100 이내.)
3.OA.D.8 100 이내에서 사칙연산을 사용하는 두 단계 문장제 해결 (각 후보마다 두 번의 뺄셈으로 양쪽 간격을 구한 뒤, 두 간격이 같은지 비교하여 "같은 간격" 조건을 확인.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 3학년 때 배운 곱셈과 뺄셈만 알면, 선택지 다섯 개를 차례로 대입해서 양쪽 간격이 같은 답을 찾는 것만으로 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

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