AMC 8 · 2023 · #2

학년 4 geometry-2d

유형 Paper Fold-and-Cut Symmetry └ 세부 유형 Fold-Cut-Unfold Shape Identification

spatial-visualizationreflection-symmetrypaper-folding physical-representationreflection-unfolding ↑ 선수 지식: spatial-visualizationreflection-symmetry

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

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문제

아래 그림과 같이 정사각형 모양의 종이를 두 번 접어서 네 개의 똑같은 1/4 조각이 되도록 한 다음, 점선을 따라 자릅니다. 종이를 다시 펼치면 다음 그림 중 어느 것과 같아집니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(diagram) square with zig-zag notches along all four edges

(B)

(diagram) square with zig-zag notches along the top edge only

(C)

(diagram) square with an axis-aligned square hole in the center

(D)

(diagram) square with a single upward-pointing triangular hole in the center

(E)

(diagram) square with a small square rotated 45° (diamond) hole in the center

AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정사각형 종이를 가로·세로로 한 번씩 접어 1/4 크기의 작은 정사각형으로 만든 뒤, 그 위에 점선(작은 정사각형의 오른쪽 변 중점과 아래쪽 변 중점을 잇는 선)을 따라 잘라 작은 삼각형 모서리를 떼어냅니다. 종이를 다시 펼쳤을 때 어떤 모양이 나오는지 다섯 개의 그림 중에서 고르는 문제입니다.

주어진 것: 정사각형 종이를 두 번 접어 네 개의 같은 1/4 정사각형이 겹친 상태가 된다; 접힌 작은 정사각형의 오른쪽 변 중점과 아래쪽 변 중점을 잇는 직선을 따라 잘라 삼각형 모서리를 떼어낸다; 이 잘려나간 모서리는 원래 큰 정사각형의 정중앙에 해당한다; 선택지는 잘린 모양이 서로 다른 다섯 개의 그림 (A)~(E)

구하는 것: 종이를 모두 펼쳤을 때 가운데에 뚫리는 구멍의 모양과 그것이 어떤 선택지와 같은지

이해

계획

주요 도구: #10 직접 만져보기

보조 도구: #17 공간 상상하기, #3 가능성 지우기

종이를 접고 자르는 문제는 머리로만 그리기보다 **실제로 종이 한 장을 접어 잘라 보는 것**이 가장 빠르고 확실합니다(도구 #10). 작은 정사각형 종이에 대각선 컷을 한 번 내고 펼쳐 보면 답은 곧바로 손에 잡힙니다. 손이 없는 상황에서는 같은 절차를 머릿속에서 한 단계씩 따라가는 **공간 상상**(도구 #17)으로 대신합니다. 마지막으로 다섯 개의 보기 중 우리가 얻은 모양과 정확히 일치하지 않는 것을 지워 가며 답을 굳히는 **소거**(도구 #3)로 검산합니다.

실행 — 정답: E

#10 직접 만져보기 2.G.A.3 단계 1

먼저 작은 정사각형 종이 한 장을 준비해 문제와 똑같이 가로로 한 번, 세로로 한 번 접습니다.
그러면 종이가 네 겹으로 겹친 작은 정사각형이 됩니다.
두 번의 접기는 큰 정사각형의 가로 중심선·세로 중심선으로, 펼쳤을 때 자국이 대칭으로 비춰질 거울 역할을 합니다.

💡 정사각형을 똑같은 크기의 네 조각으로 나누는 것은 2학년에서 배우는 "같은 크기로 4등분" 개념 그대로입니다.

#10 직접 만져보기 K.G.B.6 단계 2

접힌 작은 정사각형에서 원래 종이의 "중앙"에 해당하는 모서리(겹친 면이 모두 만나는 안쪽 구석)를 찾습니다.
그 모서리에 인접한 두 변의 중점을 직선으로 이어 자르면, 종이가 네 겹이므로 한 번의 가위질로 동시에 네 개의 똑같은 작은 직각삼각형이 떨어져 나옵니다.

💡 겹친 종이를 한 번 자르면 똑같은 조각이 겹친 수만큼 떨어진다는 것은 유치원에서 도형을 모으고 나누어 보며 익히는 직관입니다.

#17 공간 상상하기 4.G.A.3 단계 3

이제 마지막에 접은 선(세로 중심선)을 따라 한 번 펼쳐 봅니다.
잘린 작은 직각삼각형 모서리가 이 세로 접힘선을 거울처럼 비추어, 위쪽 절반의 아래 변 중앙에 "위로 솟은 작은 삼각형 구멍" 하나가 만들어집니다.

💡 접힘선은 곧 대칭선이라는 4학년의 "대칭선" 개념을 그대로 사용한 것입니다.

#17 공간 상상하기 4.G.A.3 단계 4

두 번째 접힘선(가로 중심선)을 따라 한 번 더 펼칩니다.
위쪽 절반의 "아래쪽으로 뚫린 삼각형 구멍"이 가로 접힘선을 거울로 삼아 아래쪽 절반에 "위쪽으로 뚫린 똑같은 삼각형 구멍"을 만듭니다.
두 삼각형의 빗변(가장 긴 변)이 종이 한가운데에서 서로 맞닿습니다.

💡 두 번째 접힘선도 대칭선이므로, 같은 "접힘선=대칭선" 원리를 한 번 더 적용한 것입니다.

#17 공간 상상하기 K.G.A.2 단계 5

두 삼각형이 가운데에서 서로 붙으면 변과 꼭짓점이 어떻게 맞물리는지 확인합니다.
위쪽 삼각형의 빗변과 아래쪽 삼각형의 빗변이 가로 중심선에서 만나고, 각 삼각형의 직각 꼭짓점은 위·아래로 향합니다.
이 두 삼각형이 합쳐져 만든 도형은 네 변의 길이가 모두 같고 위·아래·좌·우로 대칭인 작은 정사각형이며, 그 정사각형은 보통 자세가 아니라 45°만큼 기울어진 "마름모(다이아몬드)" 모양으로 종이 정중앙에 자리잡습니다.

💡 정사각형은 돌려놓아도 여전히 정사각형이라는 "방향이 달라도 같은 도형"이라는 유치원 도형 표준 그대로입니다.

#3 가능성 지우기 4.G.A.3 단계 6

다섯 개의 선택지 그림과 차례로 맞춰 봅니다.
(A)는 가장자리 곳곳에 톱니 같은 흠이 있고, (B)는 위쪽 변에만 자국이 모여 있어 우리 결과인 "가운데 구멍 하나"와 맞지 않습니다.
(C)는 가운데에 보통 자세의 정사각형 구멍이 있어 45°가 기울지 않았고, (D)는 가운데에 위로 향한 "삼각형 하나"만 있어 우리가 얻은 두 삼각형의 결합과 다릅니다.
(E)만이 정확히 종이 한가운데에 45° 기울어진 작은 정사각형(마름모) 구멍을 가지므로 정답은 (E)입니다.

$$\Rightarrow \textbf{(E)}$$

💡 각 선택지가 가로·세로 두 대칭선을 모두 갖는지를 확인하면 (E)만이 우리 접기·자르기의 두 거울 대칭과 일치합니다.

[1] #10 2.G.A.3 먼저 작은 정사각형 종이 한 장을 준비해 문제와 똑같이 가로로 한 번, 세로로 한 번 접습니다. 그러면 종이가 네 겹으로 겹친 작은 정사각형이

[2] #10 K.G.B.6 접힌 작은 정사각형에서 원래 종이의 "중앙"에 해당하는 모서리(겹친 면이 모두 만나는 안쪽 구석)를 찾습니다. 그 모서리에 인접한 두 변의 중점

[3] #17 4.G.A.3 이제 마지막에 접은 선(세로 중심선)을 따라 한 번 펼쳐 봅니다. 잘린 작은 직각삼각형 모서리가 이 세로 접힘선을 거울처럼 비추어, 위쪽 절반의

[4] #17 4.G.A.3 두 번째 접힘선(가로 중심선)을 따라 한 번 더 펼칩니다. 위쪽 절반의 "아래쪽으로 뚫린 삼각형 구멍"이 가로 접힘선을 거울로 삼아 아래쪽 절반

[5] #17 K.G.A.2 두 삼각형이 가운데에서 서로 붙으면 변과 꼭짓점이 어떻게 맞물리는지 확인합니다. 위쪽 삼각형의 빗변과 아래쪽 삼각형의 빗변이 가로 중심선에서 만

[6] #3 4.G.A.3 다섯 개의 선택지 그림과 차례로 맞춰 봅니다. (A)는 가장자리 곳곳에 톱니 같은 흠이 있고, (B)는 위쪽 변에만 자국이 모여 있어 우리 결과

검토

합리성 확인: 크기와 위치 두 가지로 점검합니다. 첫째, 자른 삼각형은 작은 1/4 정사각형의 한 모서리에서 떨어진 "아주 작은" 조각이므로, 펼친 결과의 구멍도 종이 전체에 비해 작은 도형이어야 합니다 — (E)의 가운데 마름모는 작고 (A)처럼 가장자리 전체에 흠집이 가득한 모양이 아닙니다. 둘째, 자른 모서리가 원래 종이의 "중앙"이었으므로 구멍은 종이의 정중앙에 있어야 하고, 두 접힘선이 모두 대칭선이므로 좌우·상하 대칭이어야 합니다 — (E)는 이 두 조건을 모두 만족합니다.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기)도 잘 통합니다. 큰 정사각형을 가로·세로 중심선으로 4등분한 그림에서, 자른 작은 삼각형을 네 개의 1/4 영역마다 각 중심을 향해 대칭으로 복사해 그리면 가운데에 네 삼각형이 모여 45° 기울어진 정사각형(마름모)이 나타납니다. 종이가 없을 때 좋은 대안이지만, 실제로 만져 보는 #10 쪽이 가장 직관적입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

K.G.A.2 도형의 방향이나 크기에 관계없이 도형의 이름을 정확히 부른다 (두 삼각형이 합쳐 만든 도형이 45° 기울어져 있어도 여전히 "정사각형(마름모)"임을 알아보는 데 사용.)
K.G.B.6 단순한 도형을 합쳐 더 큰 도형을 만든다 (네 겹의 작은 직각삼각형이 가운데에서 모여 하나의 정사각형 구멍을 만드는 과정을 이해하는 데 사용.)
2.G.A.3 정사각형이나 직사각형을 두·세·네 개의 같은 조각으로 나눈다 (큰 정사각형을 두 번 접어 네 개의 같은 1/4 정사각형으로 나누는 단계에 사용.)
4.G.A.3 이차원 도형에서 대칭선을 인식한다 (두 접힘선이 가로·세로 대칭선이라는 사실을 이용해 잘린 자국을 거울 반사로 옮기고, 최종 모양이 두 대칭선을 모두 가지는지로 선택지를 검증하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "접힘선은 곧 대칭선"만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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