AMC 8 · 2025 · #24
학년 7 geometry-2dnumber-theory문제
사다리꼴 ABCD에서 각 B와 각 C의 크기는 모두 60∘이고, AB=DC입니다. 네 변의 길이가 모두 양의 정수이고, ABCD의 둘레의 길이는 30 단위입니다. 이 조건들을 모두 만족하는 서로 합동이 아닌 사다리꼴은 몇 개입니까?
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AMC 8 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 사다리꼴 $ABCD$ 에서 밑각 $\angle B$ 와 $\angle C$ 가 모두 $60^\circ$ 이고 두 다리(평행하지 않은 변)의 길이가 같아($AB = DC$) 이 사다리꼴은 등변사다리꼴이며, 평행한 두 밑변은 $AD$ 와 $BC$ 입니다. 네 변의 길이가 모두 양의 정수이고 둘레가 $30$ 일 때, 이 조건을 모두 만족하는 서로 합동이 아닌 사다리꼴은 몇 개일까요?
주어진 것: 사다리꼴 $ABCD$ 에서 $\angle B = \angle C = 60^\circ$; 두 다리의 길이가 같다: $AB = DC$ (등변사다리꼴); 네 변의 길이가 모두 양의 정수; 둘레 $= AB + BC + CD + DA = 30$; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $4$
구하는 것: 조건을 모두 만족하는 서로 합동이 아닌 사다리꼴의 개수 (즉, 서로 다른 변의 길이 묶음의 개수)
이해
문제 재정리: 사다리꼴 $ABCD$ 에서 밑각 $\angle B$ 와 $\angle C$ 가 모두 $60^\circ$ 이고 두 다리(평행하지 않은 변)의 길이가 같아($AB = DC$) 이 사다리꼴은 등변사다리꼴이며, 평행한 두 밑변은 $AD$ 와 $BC$ 입니다. 네 변의 길이가 모두 양의 정수이고 둘레가 $30$ 일 때, 이 조건을 모두 만족하는 서로 합동이 아닌 사다리꼴은 몇 개일까요?
주어진 것: 사다리꼴 $ABCD$ 에서 $\angle B = \angle C = 60^\circ$; 두 다리의 길이가 같다: $AB = DC$ (등변사다리꼴); 네 변의 길이가 모두 양의 정수; 둘레 $= AB + BC + CD + DA = 30$; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $4$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #7 작은 문제로 쪼개기
주어진 그림에서 한 발 더 나가야 합니다 — 도구 #1(그림 그리기) 로 $A$ 와 $D$ 에서 밑변 $BC$ 로 수선을 내려 보면, 가운데 직사각형 하나와 양옆에 합동인 $30$–$60$–$90$ 직각삼각형 두 개가 생깁니다. 이게 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 의 핵심 분해입니다. $30$–$60$–$90$ 비율 때문에 각 다리의 "비어져 나온 부분" 이 정확히 다리 길이의 절반이 되어, $BC = AD + AB$ 라는 깔끔한 관계가 나옵니다. 여기에 둘레 $= 30$ 을 합치면 미지수 두 개짜리 식 하나만 남으므로, 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 가능한 다리 길이를 작은 수부터 차례로 훑어 답을 셀 수 있습니다 — 무거운 대수 없이도 끝납니다.
실행 — 정답: E
4.G.A.2 단계 1 - 변에 이름을 붙입니다.
- 짧은 밑변 $AD = a$, 긴 밑변 $BC = b$, 같은 길이의 두 다리 $AB = DC = x$ 라 하고 모두 양의 정수라고 합시다.
- $A$ 와 $D$ 에서 $BC$ 로 내린 수선의 발을 각각 $E$, $F$ 라 하면, 가운데 $AEFD$ 는 직사각형이고($EF = a$), 양옆의 $\triangle ABE$ 와 $\triangle DCF$ 는 밑각이 $60^\circ$ 인 합동 직각삼각형이 됩니다.
💡 평행한 두 밑변을 찾고 같은 길이의 다리를 짝지어 사다리꼴을 분류하는 것은 4학년 "평행선·수직선으로 도형 분류" 그대로입니다.
7.G.B.5 단계 2 - $\triangle ABE$ 안에서 $30$–$60$–$90$ 비율을 씁니다.
- $B$ 의 각이 $60^\circ$, $E$ 의 각이 $90^\circ$ 이므로 $A$ 쪽 각은 $30^\circ$ 입니다.
- 빗변이 $x$ 인 $30$–$60$–$90$ 직각삼각형에서 $30^\circ$ 의 대변은 $\tfrac{x}{2}$, 즉 $BE = \tfrac{x}{2}$ 입니다.
- 같은 이유로 $CF = \tfrac{x}{2}$.
💡 직각삼각형의 두 예각이 서로 보각 관계($30^\circ$ 와 $60^\circ$)임을 읽어내는 것은 7학년 각 관계 표준입니다.
4.MD.C.7 단계 3 - $b$ 를 $a$ 와 $x$ 로 나타냅니다.
- 긴 밑변은 $BC = BE + EF + FC = \tfrac{x}{2} + a + \tfrac{x}{2} = a + x$ 로 쪼개지므로, 세 변 사이의 관계는 단순히 $b = a + x$ 입니다.
💡 $BC$ 의 세 토막을 더해서 전체 길이를 구하는 것은 4학년 "각·선분 측정값은 더해진다" 는 발상입니다.
6.EE.B.6 단계 4 - 둘레 조건으로 식 하나를 만듭니다.
- 둘레는 $AD + BC + AB + DC = a + b + 2x = 30$ 이므로, 앞 단계에서 얻은 $b = a + x$ 를 대입하면 $a + (a + x) + 2x = 30$, 즉 $2a + 3x = 30$ 입니다.
💡 "둘레 $= 30$" 이라는 말을 문자 두 개짜리 한 식으로 옮기는 것이 6학년 "문자식 만들기" 입니다.
6.EE.B.7 단계 5 - 양의 정수 해를 빠짐없이 나열합니다.
- $2a = 30 - 3x$ 에서 $30 - 3x$ 가 양수이면서 짝수여야 합니다.
- 양수 조건에서 $x \le 9$, 짝수 조건에서 $3x$ 가 짝수, 즉 $x$ 가 짝수여야 합니다.
- 따라서 $x \in \{2, 4, 6, 8\}$.
- 차례로 적용하면 $x=2 \Rightarrow a = 12,\ b = 14$; $x=4 \Rightarrow a = 9,\ b = 13$; $x=6 \Rightarrow a = 6,\ b = 12$; $x=8 \Rightarrow a = 3,\ b = 11$.
- 네 경우 모두 $a \ge 1$ 이고 $b > a$ 라 직사각형이나 삼각형으로 무너지지 않는 진짜 사다리꼴입니다.
💡 $2a + 3x = 30$ 의 양의 정수 해를 $x$ 를 작은 값부터 훑으며 찾는 것은 6학년 "한 변수 방정식 풀이" 에 홀짝 판정을 더한 작업입니다.
6.EE.B.7 단계 6 - 서로 합동이 아닌 사다리꼴의 개수를 셉니다.
- 위 표의 각 줄은 서로 다른 변의 길이 묶음을 가지므로, 네 사다리꼴은 둘씩 비교해도 모두 합동이 아닙니다.
- 개수는 $4$, 답은 (E).
💡 빠짐없이 나열한 표의 서로 다른 $(x, a, b)$ 한 줄이 곧 사다리꼴 하나이므로, 줄 수를 세면 답입니다.
4.G.A.2 변에 이름을 붙입니다. 짧은 밑변 $AD = a$, 긴 밑변 $BC = b$, 같은 길이의 두 다리 $AB = DC = x$ 라 하고 모두 양의 7.G.B.5 $\triangle ABE$ 안에서 $30$–$60$–$90$ 비율을 씁니다. $B$ 의 각이 $60^\circ$, $E$ 의 각이 $90^\c 4.MD.C.7 $b$ 를 $a$ 와 $x$ 로 나타냅니다. 긴 밑변은 $BC = BE + EF + FC = \tfrac{x}{2} + a + \tfrac{x} 6.EE.B.6 둘레 조건으로 식 하나를 만듭니다. 둘레는 $AD + BC + AB + DC = a + b + 2x = 30$ 이므로, 앞 단계에서 얻은 $b 6.EE.B.7 양의 정수 해를 빠짐없이 나열합니다. $2a = 30 - 3x$ 에서 $30 - 3x$ 가 양수이면서 짝수여야 합니다. 양수 조건에서 $x \l 6.EE.B.7 서로 합동이 아닌 사다리꼴의 개수를 셉니다. 위 표의 각 줄은 서로 다른 변의 길이 묶음을 가지므로, 네 사다리꼴은 둘씩 비교해도 모두 합동이 검토
합리성 확인: 다리 $x$ 는 짝수이면서 $10$ 보다 작아야 하므로 $x \in \{2,4,6,8\}$ 의 작은 유한집합이라, 답 $4$ 는 자연스러운 상한과 일치합니다. 양 극단을 확인해 보면, $x=2$ 일 때는 낮고 옆으로 긴 사다리꼴($2,2,12,14$), $x=8$ 일 때는 높고 좁은 사다리꼴($8,8,3,11$) 입니다. 두 경우 모두 $b = a + x > a$ 라 $BC$ 가 여전히 더 긴 밑변으로 유지되고, $a=0$ 인 삼각형이나 $a=b$ 인 직사각형으로 무너지는 경우가 없습니다. 따라서 개수 $4$ 가 맞고 답은 (E) 입니다.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 로 $x$ 에 직접 값을 대입해 봅시다. $x = 1, 2, 3, \dots, 9$ 를 차례로 넣어 $a = (30 - 3x)/2$ 를 계산하고, 정수가 아니거나 양수가 아닌 경우를 버립니다. 살아남는 값은 $x = 2, 4, 6, 8$ 뿐이라 같은 사다리꼴 네 개가 나옵니다 — 대수 계산을 덜 쓰면서도 같은 답에 도달합니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
4.G.A.2평행선·수직선의 유무로 이차원 도형 분류 ($ABCD$ 를 평행한 두 밑변 $AD$, $BC$ 와 같은 길이의 다리 $AB = DC$ 를 가진 등변사다리꼴로 식별하는 데 사용.)4.MD.C.7각의 크기는 더해진다는 성질을 이용한 덧셈·뺄셈 문제 해결 ($BC$ 를 세 토막 $BE + EF + FC = \tfrac{x}{2} + a + \tfrac{x}{2}$ 로 더해 긴 밑변을 $b = a + x$ 로 표현하는 데 사용.)6.EE.B.6문자로 수를 나타내고 식을 세워 문제 해결 ($a$, $b$, $x$ 로 변의 길이를 두고 둘레 조건을 한 식 $2a + 3x = 30$ 으로 옮기는 데 사용.)6.EE.B.7$px = q$ 꼴 방정식을 세우고 풀어 실생활 문제 해결 ($2a + 3x = 30$ 에서 $a$ 를 $x$ 로 푼 뒤 양의 정수 해를 모두 찾는 데 사용.)7.G.B.5보각·여각·맞꼭지각·이웃한 각의 성질 이용 ($\triangle ABE$ 의 $30^\circ$–$60^\circ$–$90^\circ$ 각 관계로 다리의 돌출 길이 $BE = \tfrac{x}{2}$ 를 구하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 $30$–$60$–$90$ 각 관계와 6학년 때 배운 "가능한 정수 답 빠짐없이 나열하기" 만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 $30$–$60$–$90$ 각 관계와 6학년 때 배운 "가능한 정수 답 빠짐없이 나열하기" 만 알면 풀 수 있어요!
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