Sensim Math Original · sm-12
SM Original 학년 3 counting문제
어느 현대 미술관의 전시실 16 개가 4×4 격자 모양으로 배치되어 있습니다. 야간 경비를 위해 감시 드론 두 대 알파와 베타가 각각 한 전시실 위에 떠 있습니다. 드론이 한 전시실 위에 있으면, 그 전시실에서 가로·세로·대각선으로 한 칸 떨어진 모든 전시실을 카메라로 감시합니다(따라서 안쪽 전시실에 있는 드론은 둘레의 8 칸을 모두 감시합니다).
야간 근무 배치가 유효하려면 두 드론은 서로 다른 전시실에 있어야 하고, 어느 드론도 다른 드론이 있는 전시실을 감시해서는 안 됩니다. 알파와 베타는 탑재 센서가 다르므로, 두 드론의 위치를 맞바꾸면 다른 배치로 셉니다.
유효한 (알파, 베타) 배치는 모두 몇 가지인지 구하시오.
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풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $4 \times 4$ 격자로 배치된 미술관 전시실 $16$ 칸 위에 서로 구별되는 감시 드론 알파와 베타를 한 칸씩 띄웁니다. 두 드론은 서로 다른 전시실에 있어야 하고, 어느 드론도 다른 드론이 있는 전시실을 가로·세로·대각선으로 한 칸 거리에서 감시해서는 안 됩니다. (알파-전시실, 베타-전시실)의 순서쌍이 몇 가지인지 구하는 문제입니다.
주어진 것: 격자: $4 \times 4 = 16$ 개의 전시실; 각 드론은 자기 전시실에서 한 칸 떨어진 모든 전시실(최대 $8$ 칸)을 감시함 — 체스 킹의 이동 방식과 같음; 알파와 베타는 센서가 달라 구별되므로, 두 드론의 자리를 바꾼 배치는 다른 경우로 셈; 두 드론은 서로 다른 전시실에 있고 서로의 자리를 감시하지 않아야 함; 선택지: (A) 128, (B) 144, (C) 152, (D) 156, (E) 168
구하는 것: 조건을 만족하는 (알파, 베타) 배치의 가짓수
이해
문제 재정리: $4 \times 4$ 격자로 배치된 미술관 전시실 $16$ 칸 위에 서로 구별되는 감시 드론 알파와 베타를 한 칸씩 띄웁니다. 두 드론은 서로 다른 전시실에 있어야 하고, 어느 드론도 다른 드론이 있는 전시실을 가로·세로·대각선으로 한 칸 거리에서 감시해서는 안 됩니다. (알파-전시실, 베타-전시실)의 순서쌍이 몇 가지인지 구하는 문제입니다.
주어진 것: 격자: $4 \times 4 = 16$ 개의 전시실; 각 드론은 자기 전시실에서 한 칸 떨어진 모든 전시실(최대 $8$ 칸)을 감시함 — 체스 킹의 이동 방식과 같음; 알파와 베타는 센서가 달라 구별되므로, 두 드론의 자리를 바꾼 배치는 다른 경우로 셈; 두 드론은 서로 다른 전시실에 있고 서로의 자리를 감시하지 않아야 함; 선택지: (A) 128, (B) 144, (C) 152, (D) 156, (E) 168
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기
$4 \times 4$라는 작은 그림 위에서 일어나는 일이므로, 우선 #1 **그림 그리기**로 격자를 그리고 16칸을 위치에 따라 색칠해 둡니다. 그러면 칸이 **모서리 칸·바깥 변 칸·안쪽 칸**의 세 종류로 자연스럽게 갈라지고, 종류마다 감시하는 칸 수가 달라집니다. 그래서 #7 **작은 문제로 쪼개기**로 "알파가 모서리에 있을 때 / 바깥 변에 있을 때 / 안쪽에 있을 때"라는 세 작은 문제로 나누어 풀고, 각 경우 안에서는 #2 **빠짐없이 나열하기** (곱의 법칙)로 베타가 들어갈 수 있는 칸 수를 셉니다. 마지막에 #3 **가능성 지우기**로 합한 값을 선택지와 맞춥니다. $4 \times 4$ 격자라 단순한 시각·세기 도구만으로 충분하고, 굳이 대수는 필요 없습니다.
실행 — 정답: D
K.G.A.1 단계 1 - 먼저 $4 \times 4$ 격자를 그리고 $16$ 칸을 위치에 따라 **세 종류**로 정리합니다.
- 네 귀퉁이는 **모서리 칸 $4$개**, 바깥 변에 있되 모서리가 아닌 칸은 **바깥 변 칸 $8$개**(변 하나당 $2$칸씩 $\times 4$ 변), 한가운데의 $2 \times 2$ 블록은 **안쪽 칸 $4$개**입니다.
- 합계 $4 + 8 + 4 = 16$ 로 모든 칸이 정확히 한 번씩 분류됩니다.
💡 칸을 "귀퉁이", "바깥 변", "안쪽" 같은 위치 말로 분류하는 것은 유치원의 위치 표현 단원에서 다루는 능력입니다.
K.G.A.1 단계 2 - 각 종류의 드론이 감시하는 칸 수를 그림으로 셉니다.
- **모서리 칸**의 드론은 격자 안 이웃이 오른쪽·아래·대각선의 $3$ 칸뿐입니다(두 변이 격자 밖이라 이웃이 줄어듦).
- **바깥 변 칸**의 드론은 같은 변 위 두 칸과 안쪽으로 들어간 세 칸, 총 $5$ 칸을 감시합니다.
- **안쪽 칸**의 드론은 둘레의 $8$ 칸을 모두 감시합니다.
- 세 숫자 $3, 5, 8$이 각 경우의 핵심 재료입니다.
💡 한 칸의 가로·세로·대각선 이웃 수를 세는 일은 유치원 단계의 이웃·위치 활동에 해당합니다.
3.OA.A.1 단계 3 - 큰 문제("전체 배치 수")를 **작은 문제 $3$개**로 쪼갭니다: ① 알파가 모서리에 있을 때, ② 바깥 변에 있을 때, ③ 안쪽에 있을 때.
- 각 경우 안에서 베타가 들어갈 수 있는 칸 수는 $16 - 1 - (\text{감시수})$ 입니다($1$은 알파 자신의 칸).
- 곱의 법칙으로 알파 자리 수와 베타 자리 수를 곱하면 그 경우의 가짓수가 됩니다.
- 세 종류의 알파 자리는 서로 겹치지 않으므로 마지막에 합의 법칙으로 더하면 됩니다.
💡 "$A$가지 선택, 각각마다 $B$가지 선택 → 총 $A \times B$가지"를 그룹의 곱으로 해석하는 것은 3학년 곱셈의 의미 단원의 핵심입니다.
3.OA.C.7 단계 4 - **경우 ①: 알파가 모서리 칸**.
- 알파 자리는 $4$가지.
- 알파는 자기 칸 $1$개 + 감시하는 $3$칸, 총 $4$칸을 베타에게서 막으므로 베타 자리 후보는 $16 - 4 = 12$칸.
- 이 경우의 가짓수는 $4 \times 12 = 48$.
💡 $4 \times 12 = 48$ 같은 곱셈은 3학년의 100 이내 곱셈 사실에 해당합니다.
3.OA.C.7 단계 5 - **경우 ②: 알파가 바깥 변 칸**.
- 알파 자리는 $8$가지.
- 알파는 자기 칸 $1$개 + 감시하는 $5$칸, 총 $6$칸을 막으므로 베타는 $16 - 6 = 10$칸 중에서 고를 수 있습니다.
- 이 경우의 가짓수는 $8 \times 10 = 80$.
💡 $8 \times 10 = 80$ 도 3학년 100 이내 곱셈의 기본 사실입니다.
3.OA.C.7 단계 6 - **경우 ③: 알파가 안쪽 칸**.
- 알파 자리는 $4$가지.
- 안쪽의 드론은 자기 칸 $1$개 + 감시하는 $8$칸, 총 $9$칸을 막으므로 베타 자리 후보는 $16 - 9 = 7$칸.
- 이 경우의 가짓수는 $4 \times 7 = 28$.
💡 $4 \times 7 = 28$ 역시 3학년 곱셈 사실 중 하나입니다.
3.NBT.A.2 단계 7 - 세 경우의 가짓수를 더해 전체 배치 수를 얻습니다: $48 + 80 + 28 = 156$.
- 모서리·바깥 변·안쪽은 알파가 들어갈 자리를 서로 겹치지 않게 나눈 것이므로 합의 법칙을 그대로 쓰면 됩니다.
💡 $48 + 80 + 28$ 같은 세 수의 덧셈은 3학년의 1000 이내 덧셈 단원에서 충분히 다룹니다.
2.NBT.A.4 단계 8 - 구한 값 $156$ 을 선택지와 맞춥니다.
- (A) $128$ 은 안쪽 경우를 깜빡 잊은 값($48 + 80$), (B) $144$ 와 (C) $152$ 는 한 경우의 베타 자리 수를 살짝 잘못 센 함정 값, (E) $168$ 은 안쪽 감시수를 $8$ 대신 $6$ 으로 잘못 센 함정 값입니다.
- 정확히 $156$ 은 **(D)** 입니다.
💡 세 자리 수 다섯 개 중에서 $156$ 과 같은 값을 찾는 일은 2학년의 세 자리 수 비교 기능에 해당합니다.
K.G.A.1 먼저 $4 \times 4$ 격자를 그리고 $16$ 칸을 위치에 따라 **세 종류**로 정리합니다. 네 귀퉁이는 **모서리 칸 $4$개**, 바 K.G.A.1 각 종류의 드론이 감시하는 칸 수를 그림으로 셉니다. **모서리 칸**의 드론은 격자 안 이웃이 오른쪽·아래·대각선의 $3$ 칸뿐입니다(두 변이 3.OA.A.1 큰 문제("전체 배치 수")를 **작은 문제 $3$개**로 쪼갭니다: ① 알파가 모서리에 있을 때, ② 바깥 변에 있을 때, ③ 안쪽에 있을 때 3.OA.C.7 **경우 ①: 알파가 모서리 칸**. 알파 자리는 $4$가지. 알파는 자기 칸 $1$개 + 감시하는 $3$칸, 총 $4$칸을 베타에게서 막으므로 3.OA.C.7 **경우 ②: 알파가 바깥 변 칸**. 알파 자리는 $8$가지. 알파는 자기 칸 $1$개 + 감시하는 $5$칸, 총 $6$칸을 막으므로 베타는 3.OA.C.7 **경우 ③: 알파가 안쪽 칸**. 알파 자리는 $4$가지. 안쪽의 드론은 자기 칸 $1$개 + 감시하는 $8$칸, 총 $9$칸을 막으므로 베타 3.NBT.A.2 세 경우의 가짓수를 더해 전체 배치 수를 얻습니다: $48 + 80 + 28 = 156$. 모서리·바깥 변·안쪽은 알파가 들어갈 자리를 서로 겹 2.NBT.A.4 구한 값 $156$ 을 선택지와 맞춥니다. (A) $128$ 은 안쪽 경우를 깜빡 잊은 값($48 + 80$), (B) $144$ 와 (C) $ 검토
합리성 확인: 여집합으로 검산해 봅니다. 두 드론이 서로 다른 칸에 있는 전체 (알파, 베타) 배치는 $16 \times 15 = 240$ 가지입니다. 다음으로 서로 이웃한(즉 한 드론이 다른 드론의 자리를 감시하는) 순서쌍의 수를 셉니다. 가로·세로로 이웃한 순서 없는 쌍은 $4 \cdot 3 + 4 \cdot 3 = 24$ 쌍, 대각선으로 이웃한 순서 없는 쌍은 $3 \cdot 3 \cdot 2 = 18$ 쌍, 합하면 $42$ 쌍이고 순서를 구별하면 $84$ 가 됩니다. 따라서 서로 감시하지 않는 배치는 $240 - 84 = 156$ — 경우 분석으로 얻은 답과 정확히 같습니다. 또 안쪽 칸의 기여($28$)가 가장 작다는 점도 "안쪽 드론은 감시하는 칸이 많아 베타 자리가 줄어든다"는 직관과 일치합니다.
대안 접근: 도구 #16 **관점 바꾸기(여집합)** 로도 풀 수 있습니다. 전체 $16 \times 15 = 240$ 가지에서 "서로 이웃한" 배치 $84$ 가지를 빼서 $240 - 84 = 156$ 을 바로 얻는 방식이 그것입니다(위 검산이 같은 계산입니다). 어린 학생에게는 "알파의 자리를 종류별로 나눠서 곱하고 더하기" 가 더 손에 잡혀서 본 풀이를 우선했습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)
K.G.A.1위·아래·옆·앞 등을 사용해 물체의 위치를 묘사한다 ($4 \times 4$ 격자의 $16$ 칸을 "모서리·바깥 변·안쪽" 으로 분류하고, 각 종류의 드론이 감시하는 이웃 칸 수를 그림으로 세는 데 사용.)2.NBT.A.4세 자리 수 두 개를 기호로 비교한다 (구한 값 $156$ 을 선택지 $128, 144, 152, 156, 168$ 과 비교해 (D) 임을 확인하는 데 사용.)3.OA.A.1곱셈을 "같은 그룹의 총 개수" 로 해석한다 ("알파의 자리 수 × 베타의 자리 수 = 그 경우의 배치 수" 라는 곱의 법칙을 그룹 곱으로 이해하는 데 사용.)3.OA.C.7100 이내의 곱셈·나눗셈을 능숙하게 한다 (각 경우의 가짓수 $4 \times 12 = 48$, $8 \times 10 = 80$, $4 \times 7 = 28$ 을 직접 계산하는 데 사용.)3.NBT.A.21000 이내의 덧셈과 뺄셈을 능숙하게 한다 (세 경우의 가짓수 $48 + 80 + 28 = 156$ 을 더하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 3학년 때 배운 곱셈과 "경우 나눠 더하기" 만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 3학년 때 배운 곱셈과 "경우 나눠 더하기" 만 알면 풀 수 있어요!
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