Sensim Math Original · sm-7

SM Original 학년 2 geometry-2d

영감을 받은 문제: AMC 8 2024 #14

유형 Path Length Comparison & Shortest Path └ 세부 유형 Shortest Route in Weighted Network

systematic-enumerationmulti-digit-arithmeticspatial-visualization shortest-pathidentify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticmental-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트

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문제

세다블러프 여름 캠프의 보조 교사 하나는 본부 오두막 $H$ 에서 보관 중인 우편 꾸러미를 가장 멀리 떨어진 강가 오두막 $R$ 까지 배달해야 합니다. 산비탈에는 여섯 채의 오두막 — $H$ , 소나무 오두막 $P$ , 호수 오두막 $L$ , 자작나무 오두막 $B$ , 단풍 오두막 $M$ , 강가 오두막 $R$ — 이 있고, 하나는 내리막 방향으로만 걸을 수 있어 모든 산길이 아래에 적힌 화살표 방향으로만 이용 가능합니다. 각 산길의 길이(미터)는 다음과 같습니다.

$H \to P$ 산길: $4$ m
$H \to L$ 산길: $9$ m
$P \to L$ 산길: $4$ m
$P \to B$ 산길: $11$ m
$L \to B$ 산길: $6$ m
$L \to M$ 산길: $12$ m
$B \to M$ 산길: $5$ m
$B \to R$ 산길: $18$ m
$M \to R$ 산길: $7$ m

허용된 방향으로만 산길을 따라 걸을 때, 하나가 $H$ 에서 출발해 $R$ 까지 갈 수 있는 가장 짧은 거리는 몇 미터인지 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 여름 캠프 보조 교사 하나는 본부 오두막 $H$ 에서 강가 오두막 $R$ 까지 우편물을 가지고 가야 합니다. 산비탈에 놓인 여섯 오두막 $H, P, L, B, M, R$ 은 아홉 개의 일방통행(내리막) 산길로 연결되어 있고, 각 산길의 길이(미터)가 문제에 제시되어 있습니다. 우리는 허용된 방향으로만 산길을 이어 걸을 때 $H$ 에서 $R$ 까지의 최단 총 거리를 구해야 합니다.

주어진 것: 여섯 오두막: $H, P, L, B, M, R$; 아홉 개의 방향성 산길(미터): $H\to P = 4$, $H\to L = 9$, $P\to L = 4$, $P\to B = 11$, $L\to B = 6$, $L\to M = 12$, $B\to M = 5$, $B\to R = 18$, $M\to R = 7$; 각 산길은 표시된 방향(내리막)으로만 걸을 수 있다; 다섯 개의 선택지: (A) 24, (B) 25, (C) 26, (D) 27, (E) 28

구하는 것: 허용된 산길만 따라 $H$ 에서 $R$ 까지 갈 때의 최단 총 거리(미터)

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

산길이 만드는 작은 지도이므로 먼저 도구 #1로 오두막과 화살표를 그려, $H$ 에서 나가는 산길과 $R$ 로 들어오는 산길을 한눈에 봅니다. $H$ 에서 $R$ 까지 가는 모든 경로는 중간 오두막 $P, L, B, M$ 중 하나를 거치므로, 도구 #7을 써서 "$H$ 에서 각 중간 오두막까지의 최단 거리"라는 더 작은 문제들로 쪼개고, 안쪽에서 바깥쪽으로 한 층씩 답을 키워 갑니다. $R$ 로 들어오는 산길은 단 두 개뿐이므로 마지막 한 걸음에서는 도구 #2(빠짐없이 나열)로 두 가지를 모두 적고 더한 뒤 작은 쪽을 고릅니다. 마지막으로 도구 #3으로 다섯 선택지와 맞춰 봅니다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 K.G.A.1 단계 1

오두막과 화살표를 머릿속이나 종이에 그려 봅니다.
$H$ 에서 곧장 나가는 산길은 $H\to P = 4$ 와 $H\to L = 9$ 두 개뿐이고, $R$ 로 들어오는 산길은 $B\to R = 18$ 와 $M\to R = 7$ 두 개뿐입니다.
따라서 모든 가능한 경로는 $H\to P$ 또는 $H\to L$ 로 시작해 $B\to R$ 또는 $M\to R$ 로 끝나야 합니다.
이 관찰이 풀이 전체의 뼈대가 됩니다.

$$H \xrightarrow{4} P,\ H \xrightarrow{9} L,\quad B \xrightarrow{18} R,\ M \xrightarrow{7} R$$

💡 어떤 화살표가 어디서 시작해서 어디로 가는지 짚어 보는 것은 유치원 도형 단원의 "위·아래·옆" 위치 어휘와 같은 동작입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 2.NBT.B.5 단계 2

여정을 작은 조각으로 쪼갭니다.
먼저 $H$ 에서 가장 가까운 두 오두막 $P$ 와 $L$ 까지의 최단 거리를 구합니다.
$P$ 로 가는 산길은 하나뿐이므로 $d(P) = 4$.
$L$ 로 가는 길은 두 가지 — 곧장 $H\to L = 9$ 또는 $P$ 를 거쳐 $H\to P\to L = 4 + 4 = 8$ — 이고, $8 < 9$ 이므로 $d(L) = 8$ 입니다.

$$d(P) = 4.\quad d(L) = \min(9,\ 4 + 4) = \min(9, 8) = 8$$

💡 $4 + 4 = 8$ 을 더하고 $8$ 과 $9$ 를 비교하는 것은 100 이내의 능숙한 덧셈·비교라는 2학년 기본기와 같습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 2.OA.A.1 단계 3

한 층 더 바깥쪽으로 밀어 $B$ 와 $M$ 까지의 최단 거리를 구합니다.
$B$ 로 가는 길은 $P\to B = 11$ 와 $L\to B = 6$ 이고, 후보 총합은 $d(P) + 11 = 4 + 11 = 15$ 와 $d(L) + 6 = 8 + 6 = 14$ 이므로 $d(B) = 14$.
$M$ 으로 가는 길은 $L\to M = 12$ 와 $B\to M = 5$ 이고, 후보는 $d(L) + 12 = 8 + 12 = 20$ 와 $d(B) + 5 = 14 + 5 = 19$ 이므로 $d(M) = 19$.
각 오두막에서는 더 작은 누적합만 남겨 둡니다.

$$d(B) = \min(4+11,\ 8+6) = \min(15, 14) = 14.\quad d(M) = \min(8+12,\ 14+5) = \min(20, 19) = 19$$

💡 두 가지 누적합을 들고 다니면서 더 작은 쪽만 남기는 것은 100 이내의 두 단계 덧셈 문장제와 정확히 같은 2학년 문제 해결 동작입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 2.NBT.B.5 단계 4

$R$ 로 들어오는 마지막 한 걸음을 도구 #2로 빠짐없이 나열합니다.
$R$ 에 들어오는 산길은 두 개뿐이므로 두 가지를 모두 적습니다.
$B$ 를 거쳐 도착하면 $d(B) + 18 = 14 + 18 = 32$, $M$ 을 거쳐 도착하면 $d(M) + 7 = 19 + 7 = 26$ 입니다.
$32$ 와 $26$ 중 작은 쪽은 $26$ 이므로, $H$ 에서 $R$ 까지의 최단 거리는 $26$ m이고, 최적 경로는 $H \to P \to L \to B \to M \to R$ 입니다.

$$d(R) = \min(d(B)+18,\ d(M)+7) = \min(32, 26) = 26$$

💡 목적지로 들어오는 두 가지 길을 나열하고 두 자리 수 두 개($14+18$, $19+7$)를 더하는 것은 100 이내의 능숙한 2학년 덧셈입니다.

#3 가능성 지우기 1.NBT.B.3 단계 5

이제 $26$ 을 다섯 선택지 $24, 25, 26, 27, 28$ 와 맞춰 봅니다.
우리가 구한 값 $26$ 은 정확히 (C) 와 같습니다.
옆에 있는 $27$ 과 $28$ 은 실제로 존재하는 "거의 최적" 경로 총합 — 예를 들어 $H\to P\to L\to M\to R = 4+4+12+7 = 27$ 은 (D) 와 일치하고, $H\to L\to M\to R = 9+12+7 = 28$ 은 (E) 와 일치합니다 — 이지만 $26$ 보다 짧지는 않습니다.
더 작은 후보 $24$ 와 $25$ 는 최적 경로를 이루는 다섯 산길의 합($4+4+6+5+7=26$)보다도 작으므로 어떤 실제 경로로도 만들 수 없습니다.

$$d(R) = 26 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 몇 개의 두 자리 수를 비교해서 가장 작은 것을 고르는 일은 1학년 두 자리 수 비교 단원의 직접적인 활용입니다.

[1] #1 K.G.A.1 오두막과 화살표를 머릿속이나 종이에 그려 봅니다. $H$ 에서 곧장 나가는 산길은 $H\to P = 4$ 와 $H\to L = 9$ 두 개뿐이고

[2] #7 2.NBT.B.5 여정을 작은 조각으로 쪼갭니다. 먼저 $H$ 에서 가장 가까운 두 오두막 $P$ 와 $L$ 까지의 최단 거리를 구합니다. $P$ 로 가는 산길은

[3] #7 2.OA.A.1 한 층 더 바깥쪽으로 밀어 $B$ 와 $M$ 까지의 최단 거리를 구합니다. $B$ 로 가는 길은 $P\to B = 11$ 와 $L\to B =

[4] #2 2.NBT.B.5 $R$ 로 들어오는 마지막 한 걸음을 도구 #2로 빠짐없이 나열합니다. $R$ 에 들어오는 산길은 두 개뿐이므로 두 가지를 모두 적습니다. $B

[5] #3 1.NBT.B.3 이제 $26$ 을 다섯 선택지 $24, 25, 26, 27, 28$ 와 맞춰 봅니다. 우리가 구한 값 $26$ 은 정확히 (C) 와 같습니다.

검토

합리성 확인: 최적 경로 $H \to P \to L \to B \to M \to R$ 의 다섯 구간을 한 번에 다시 더해 보면 $4 + 4 + 6 + 5 + 7 = 26$ 으로, 층층이 누적해 얻은 값과 정확히 같습니다. 이 경로는 $H$ 에서 나가는 가장 짧은 산길($H\to P = 4$) 과 $R$ 로 들어오는 가장 짧은 산길($M\to R = 7$) 을 모두 사용하고, 중간의 세 구간 $4, 6, 5$ 도 각 오두막에서의 작은 선택지이므로 $26$ 이라는 값이 직관적으로도 자연스럽습니다. 그다음으로 짧은 두 총합 — (D) 의 $27 = 9+6+5+7$ 과 (E) 의 $28 = 9+12+7$ — 이 모두 선택지에 등장한다는 사실이 (C) 만이 유일한 최솟값임을 다시 확인해 줍니다.

대안 접근: 다른 방법으로는 도구 #2 하나만으로 $H$ 에서 $R$ 까지 가는 **모든** 단순 경로를 처음부터 다 적어 볼 수도 있습니다. 손으로 세어 보면 $H\!\to\! P\!\to\! L\!\to\! B\!\to\! M\!\to\! R$, $H\!\to\! P\!\to\! L\!\to\! B\!\to\! R$, $H\!\to\! P\!\to\! L\!\to\! M\!\to\! R$, $H\!\to\! P\!\to\! B\!\to\! M\!\to\! R$, $H\!\to\! P\!\to\! B\!\to\! R$, $H\!\to\! L\!\to\! B\!\to\! M\!\to\! R$, $H\!\to\! L\!\to\! B\!\to\! R$, $H\!\to\! L\!\to\! M\!\to\! R$ 로 모두 여덟 가지 경로가 있고, 각각의 총합을 비교해도 최솟값은 다시 $26$ 입니다. 다만 우리가 쓴 "작은 문제로 쪼개기" 방식은 $d(P), d(L), d(B), d(M)$ 의 부분합을 재사용하므로 덧셈 횟수가 훨씬 적습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 2)

K.G.A.1 위·아래·옆·앞 등으로 물체의 위치를 설명한다 (오두막 지도를 보고 $H$ 에서 나가는 산길과 $R$ 로 들어오는 산길을 식별하는 데 사용.)
1.NBT.B.3 두 자리 수 두 개를 부등호로 비교한다 (경로 후보 총합 $26, 27, 28$ 을 비교해 가장 작은 값을 골라 선택지에 맞추는 데 사용.)
2.NBT.B.5 100 이내의 덧셈과 뺄셈을 능숙하게 한다 ($4+4=8$, $14+18=32$, $19+7=26$ 같은 두 자리 수 덧셈으로 부분 거리들을 만들고 비교하는 데 사용.)
2.OA.A.1 100 이내의 덧셈·뺄셈으로 한 단계·두 단계 문장제를 푼다 (각 오두막에서 두 가지 누적합($4+11=15$ vs $8+6=14$, $8+12=20$ vs $14+5=19$) 중 더 작은 쪽을 남기며 두 단계로 거리를 쌓아 올리는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 2학년 때 배운 100 이내의 덧셈과 두 자리 수 비교만 알면 풀려요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 2)

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