AMC 10 · 2021 · #8
쉬운 모드 학년 5문제
15행 15열짜리 빈 격자판을 떠올려봅시다.
Mr. Zhou는 칸 하나에 한 숫자씩 1,2,3,…,225를 적어 넣습니다. 가장 먼저 정중앙 칸(8행 8열)에 1을 적어요. 다음 칸인 오른쪽에 2, 그 아래에 3을 적고, 이렇게 시계 방향으로 빙글빙글 돌며 바깥쪽으로 나선을 그려 나갑니다. 아래 그림이 나선의 시작 부분이에요.
격자에서 위쪽부터 두 번째 줄을 봅시다.
이 줄에 들어있는 수 중에서 가장 큰 수와 가장 작은 수의 합은 얼마일까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: Zhou 선생님이 $15 \times 15$ 격자의 한가운데 칸($8$ 행 $8$ 열)에 $1$ 을 쓰고, $2, 3, \dots, 225$ 를 시계 방향 나선으로 바깥으로 한 칸씩 채웁니다. 위에서 두 번째 줄에 나타나는 가장 큰 수와 가장 작은 수의 합을 구하세요.
주어진 것: $15 \times 15$ 격자에 $1$ 부터 $225 = 15^2$ 까지 빠짐없이 채움; $1$ 은 한가운데 ($8$ 행 $8$ 열); 나선은 시계 방향 — 그림 예: $1$ 동쪽으로 $2$, 남쪽으로 $3$, 서쪽으로 $4, 5$, 북쪽으로 $6, 7$, 동쪽으로 $8, 9, 10$ ...; 선택지: (A) $367$, (B) $368$, (C) $369$, (D) $379$, (E) $380$
구하는 것: 위에서 두 번째 줄(2행)의 최댓값과 최솟값의 합
이해
문제 재정리: Zhou 선생님이 $15 \times 15$ 격자의 한가운데 칸($8$ 행 $8$ 열)에 $1$ 을 쓰고, $2, 3, \dots, 225$ 를 시계 방향 나선으로 바깥으로 한 칸씩 채웁니다. 위에서 두 번째 줄에 나타나는 가장 큰 수와 가장 작은 수의 합을 구하세요.
주어진 것: $15 \times 15$ 격자에 $1$ 부터 $225 = 15^2$ 까지 빠짐없이 채움; $1$ 은 한가운데 ($8$ 행 $8$ 열); 나선은 시계 방향 — 그림 예: $1$ 동쪽으로 $2$, 남쪽으로 $3$, 서쪽으로 $4, 5$, 북쪽으로 $6, 7$, 동쪽으로 $8, 9, 10$ ...; 선택지: (A) $367$, (B) $368$, (C) $369$, (D) $379$, (E) $380$
계획
주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기
보조 도구: #5 패턴 찾기, #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기
도구 #9(더 쉬운 문제로): 주어진 $7 \times 7$ 부분 그림이 이미 작은 버전 — 이로부터 나선 규칙을 배우고 $15 \times 15$ 로 확장. 도구 #5(패턴 찾기): $k$ 링의 오른쪽 위 모서리는 홀수 제곱 $(2k-1)^2$, 각 링은 $8k$ 칸 (동$1$+남$(2k-1)$+서$2k$+북$2k$+동$2k$). 도구 #1(그림 그리기): 바깥 두 링($7$ 링, $8$ 링)만 스케치해 $2$ 행 위치 파악. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): $2$ 행을 '$8$ 링에 속하는 양 끝 두 칸' 과 '$7$ 링 윗변에 속하는 가운데 $13$ 칸' 으로 분리해 각각 최대/최소를 찾음.
실행 — 정답: A
4.OA.C.5 단계 1 - 그림에서 나선 모서리 패턴이 보임: $1 = 1^2$ (중심), $9 = 3^2$ ($3 \times 3$ 링 오른쪽 위), $25 = 5^2$ ($5 \times 5$ 링 오른쪽 위).
- 일반화: $k$ 링의 오른쪽 위 모서리 $= (2k-1)^2$.
- 확인: $7^2=49,\ 9^2=81,\ 11^2=121,\ 13^2=169,\ 15^2=225$.
💡 4학년 수 패턴 — 홀수 제곱 $1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225$ 가 모서리에 정렬.
4.OA.C.5 단계 2 - $7 \times 7$ 그림으로 한 링에서 다음 링으로 가는 이동 순서를 학습.
- 모서리 $9$ 에서 $25$ 까지: $10$ 동, $11, 12, 13$ 남, $14, 15, 16, 17$ 서, $18, 19, 20, 21$ 북, $22, 23, 24, 25$ 동.
- 일반화: $(2k-1)^2$ 에서 $(2k+1)^2$ 까지 동$1$, 남$(2k-1)$, 서$2k$, 북$2k$, 동$2k$ — 합계 $8k$ 칸 (새 링의 둘레).
💡 4학년 패턴 규칙 — 각 링 둘레 $8k$ 가 이동 칸 수와 일치.
5.OA.B.3 단계 3 - $15 \times 15$ 의 바깥 두 링으로 줌인.
- $7$ 번째 링은 $13 \times 13$ 외곽 — 그 오른쪽 위 모서리 $169 = 13^2$ 는 $2$ 행 $14$ 열에 위치.
- 역추적: $169$ 에서 끝나는 동쪽 이동은 $2$ 행 $3$ 열의 $158$ 에서 시작 ($169 - 158 = 11$ 보 동쪽 = $14 - 3$ 열차이 일치).
- 따라서 $2$ 행의 $3$ 열~$14$ 열에는 $158, 159, \dots, 169$ 가 순서대로 놓임.
💡 5학년 수 패턴 — 동쪽 한 칸마다 값이 $1$ 씩 증가.
3.NBT.A.2 단계 4 - 그 직전 북쪽 이동($7$ 링 왼쪽 변)이 $2$ 행 $2$ 열에서 끝남.
- 그 이동은 $13$ 행 $2$ 열의 $146$ 에서 시작, $11$ 보 북진하여 $146 + 11 = 157$ 에서 끝남.
- 그래서 $2$ 행 $2$ 열 $= 157$.
- 종합: $2$ 행의 $7$ 링 내부($2$~$14$ 열) 값은 $157, 158, \dots, 169$.
💡 3학년 차례대로 세기 — 나선 한 보마다 값 $+1$.
3.NBT.A.2 단계 5 - 이제 $8$ 링($15 \times 15$ 외곽).
- $169$ 직후의 $170$ 은 동쪽 한 보 이동하여 $2$ 행 $15$ 열.
- 이후 남쪽 이동으로 $171, \dots, 183$ 이 $3$~$15$ 행 $15$ 열에 채워짐.
- 그리고 바닥(서)·왼쪽(북) 변까지 채운 뒤 북쪽 이동이 $1$ 행 $1$ 열에서 $211$ 로 끝남.
- 따라서 $2$ 행 $1$ 열은 $211$ 의 한 보 전 $= 210$.
💡 3학년 이어 세기 — $8$ 링은 $64$ 칸($170$~$225$)을 네 변에 정확히 배치.
3.NBT.A.2 단계 6 - $2$ 행 전체: $1$ 열~$15$ 열 $\to$ $210, 157, 158, 159, \dots, 169, 170$.
- 최댓값 $210$, 최솟값 $157$.
- 합: $210 + 157 = 367$.
💡 3학년 $1000$ 이내 덧셈 — $210 + 157 = 367$, 선택지 (A) 일치.
4.OA.C.5 그림에서 나선 모서리 패턴이 보임: $1 = 1^2$ (중심), $9 = 3^2$ ($3 \times 3$ 링 오른쪽 위), $25 = 5^2$ 4.OA.C.5 $7 \times 7$ 그림으로 한 링에서 다음 링으로 가는 이동 순서를 학습. 모서리 $9$ 에서 $25$ 까지: $10$ 동, $11, 12 5.OA.B.3 $15 \times 15$ 의 바깥 두 링으로 줌인. $7$ 번째 링은 $13 \times 13$ 외곽 — 그 오른쪽 위 모서리 $169 = 1 3.NBT.A.2 그 직전 북쪽 이동($7$ 링 왼쪽 변)이 $2$ 행 $2$ 열에서 끝남. 그 이동은 $13$ 행 $2$ 열의 $146$ 에서 시작, $11$ 3.NBT.A.2 이제 $8$ 링($15 \times 15$ 외곽). $169$ 직후의 $170$ 은 동쪽 한 보 이동하여 $2$ 행 $15$ 열. 이후 남쪽 이 3.NBT.A.2 $2$ 행 전체: $1$ 열~$15$ 열 $\to$ $210, 157, 158, 159, \dots, 169, 170$. 최댓값 $210$, 최 검토
합리성 확인: 합리성: $2$ 행 모든 값은 $\{157, 158, \dots, 170\} \cup \{210\}$ 안 — 모두 $1$~$225$ 범위. 극값 $\min = 157$, $\max = 210$, 합 $367$ 은 $300$~$450$ 의 합리적 구간. 선택지 중 오직 (A) $367$ 만 '중간 띠 값 + 외곽 링 값' 의 깔끔한 정수 분해와 일치.
대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기) + 도구 #6(추측하고 확인하기): $2$ 행을 칸별로 직접 적기. $169$($2$ 행 $14$ 열)에서 출발해 서쪽으로 한 칸씩 $1$ 씩 감소($168, 167, \dots, 157$ 까지)하여 $2$ 행 $2$ 열에 도달 — 최솟값 $157$. 바깥 링: $2$ 행 $15$ 열 $= 170$, $2$ 행 $1$ 열 $= 210$ — 최댓값 $210$. 합 $367$. 동일한 답.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
4.OA.C.5주어진 규칙을 따르는 수 또는 도형 패턴 생성하기 (나선의 링 모서리 패턴 $(2k-1)^2$ 와 링 둘레 $8k$ 규칙 발견.)5.OA.B.3두 규칙으로 두 수치 패턴 생성하고 관계 파악하기 ($169$ 에서 끝나는 동쪽 이동에서 열 위치와 값의 대응 추적.)3.NBT.A.2$1000$ 이내 능숙한 덧셈·뺄셈 ($146 + 11 = 157$, $158 + 11 = 169$, $210 + 157 = 367$ 등 모든 합산.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 5학년 수 패턴만 알면 풀 수 있어요 — 나선 모서리는 홀수 제곱 $(2k-1)^2$ 라서 $7$ 링이 $2$ 행 $14$ 열의 $169$ 에서 끝나고, 윗변은 $157$ 부터 $169$ 까지, 바깥 $8$ 링이 $1$ 열에 $210$, $15$ 열에 $170$ 을 둠. 최댓값+최솟값 $= 210 + 157 = 367$, 답 (A).
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 5학년 수 패턴만 알면 풀 수 있어요 — 나선 모서리는 홀수 제곱 $(2k-1)^2$ 라서 $7$ 링이 $2$ 행 $14$ 열의 $169$ 에서 끝나고, 윗변은 $157$ 부터 $169$ 까지, 바깥 $8$ 링이 $1$ 열에 $210$, $15$ 열에 $170$ 을 둠. 최댓값+최솟값 $= 210 + 157 = 367$, 답 (A).
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