AMC 10 · 2021 · #8

학년 5 geometry-2d

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Coordinate Spiral Position

pattern-recognitionperfect-squaresspatial-visualizationsystematic-enumeration pattern-recognitioneasier-related-problem ↑ 선수 지식: perfect-squarespattern-recognition

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

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문제

Mr. Zhou places all the integers from $1$ to $225$ into a $15$ by $15$ grid. He places $1$ in the middle square (eighth row and eighth column) and places other numbers one by one clockwise, as shown in part in the diagram below. What is the sum of the greatest number and the least number that appear in the second row from the top?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

~367

(B)

~368

(C)

~369

(D)

~379

(E)

~380

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: Zhou 선생님이 $15 \times 15$ 격자의 한가운데 칸($8$ 행 $8$ 열)에 $1$ 을 쓰고, $2, 3, \dots, 225$ 를 시계 방향 나선으로 바깥으로 한 칸씩 채웁니다. 위에서 두 번째 줄에 나타나는 가장 큰 수와 가장 작은 수의 합을 구하세요.

주어진 것: $15 \times 15$ 격자에 $1$ 부터 $225 = 15^2$ 까지 빠짐없이 채움; $1$ 은 한가운데 ($8$ 행 $8$ 열); 나선은 시계 방향 — 그림 예: $1$ 동쪽으로 $2$, 남쪽으로 $3$, 서쪽으로 $4, 5$, 북쪽으로 $6, 7$, 동쪽으로 $8, 9, 10$ ...; 선택지: (A) $367$, (B) $368$, (C) $369$, (D) $379$, (E) $380$

구하는 것: 위에서 두 번째 줄(2행)의 최댓값과 최솟값의 합

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

도구 #9(더 쉬운 문제로): 주어진 $7 \times 7$ 부분 그림이 이미 작은 버전 — 이로부터 나선 규칙을 배우고 $15 \times 15$ 로 확장. 도구 #5(패턴 찾기): $k$ 링의 오른쪽 위 모서리는 홀수 제곱 $(2k-1)^2$, 각 링은 $8k$ 칸 (동$1$+남$(2k-1)$+서$2k$+북$2k$+동$2k$). 도구 #1(그림 그리기): 바깥 두 링($7$ 링, $8$ 링)만 스케치해 $2$ 행 위치 파악. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): $2$ 행을 '$8$ 링에 속하는 양 끝 두 칸' 과 '$7$ 링 윗변에 속하는 가운데 $13$ 칸' 으로 분리해 각각 최대/최소를 찾음.

실행 — 정답: A

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 1

그림에서 나선 모서리 패턴이 보임: $1 = 1^2$ (중심), $9 = 3^2$ ($3 \times 3$ 링 오른쪽 위), $25 = 5^2$ ($5 \times 5$ 링 오른쪽 위).
일반화: $k$ 링의 오른쪽 위 모서리 $= (2k-1)^2$.
확인: $7^2=49,\ 9^2=81,\ 11^2=121,\ 13^2=169,\ 15^2=225$.

$$k\text{번째 링 오른쪽 위} = (2k-1)^2$$

💡 4학년 수 패턴 — 홀수 제곱 $1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225$ 가 모서리에 정렬.

#1 그림 그리기 4.OA.C.5 단계 2

$7 \times 7$ 그림으로 한 링에서 다음 링으로 가는 이동 순서를 학습.
모서리 $9$ 에서 $25$ 까지: $10$ 동, $11, 12, 13$ 남, $14, 15, 16, 17$ 서, $18, 19, 20, 21$ 북, $22, 23, 24, 25$ 동.
일반화: $(2k-1)^2$ 에서 $(2k+1)^2$ 까지 동$1$, 남$(2k-1)$, 서$2k$, 북$2k$, 동$2k$ — 합계 $8k$ 칸 (새 링의 둘레).

$$(2k+1)^2 - (2k-1)^2 = 8k \;\checkmark$$

💡 4학년 패턴 규칙 — 각 링 둘레 $8k$ 가 이동 칸 수와 일치.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.OA.B.3 단계 3

$15 \times 15$ 의 바깥 두 링으로 줌인.
$7$ 번째 링은 $13 \times 13$ 외곽 — 그 오른쪽 위 모서리 $169 = 13^2$ 는 $2$ 행 $14$ 열에 위치.
역추적: $169$ 에서 끝나는 동쪽 이동은 $2$ 행 $3$ 열의 $158$ 에서 시작 ($169 - 158 = 11$ 보 동쪽 = $14 - 3$ 열차이 일치).
따라서 $2$ 행의 $3$ 열~$14$ 열에는 $158, 159, \dots, 169$ 가 순서대로 놓임.

$$\text{2행 3열~14열} \;\to\; 158, 159, \dots, 169$$

💡 5학년 수 패턴 — 동쪽 한 칸마다 값이 $1$ 씩 증가.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.NBT.A.2 단계 4

그 직전 북쪽 이동($7$ 링 왼쪽 변)이 $2$ 행 $2$ 열에서 끝남.
그 이동은 $13$ 행 $2$ 열의 $146$ 에서 시작, $11$ 보 북진하여 $146 + 11 = 157$ 에서 끝남.
그래서 $2$ 행 $2$ 열 $= 157$.
종합: $2$ 행의 $7$ 링 내부($2$~$14$ 열) 값은 $157, 158, \dots, 169$.

$$\text{2행 2열} = 157;\ \text{2행 2~14열} \;\to\; 157, 158, \dots, 169$$

💡 3학년 차례대로 세기 — 나선 한 보마다 값 $+1$.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.NBT.A.2 단계 5

이제 $8$ 링($15 \times 15$ 외곽).
$169$ 직후의 $170$ 은 동쪽 한 보 이동하여 $2$ 행 $15$ 열.
이후 남쪽 이동으로 $171, \dots, 183$ 이 $3$~$15$ 행 $15$ 열에 채워짐.
그리고 바닥(서)·왼쪽(북) 변까지 채운 뒤 북쪽 이동이 $1$ 행 $1$ 열에서 $211$ 로 끝남.
따라서 $2$ 행 $1$ 열은 $211$ 의 한 보 전 $= 210$.

$$\text{2행 15열} = 170;\quad \text{2행 1열} = 210$$

💡 3학년 이어 세기 — $8$ 링은 $64$ 칸($170$~$225$)을 네 변에 정확히 배치.

#3 가능성 지우기 3.NBT.A.2 단계 6

$2$ 행 전체: $1$ 열~$15$ 열 $\to$ $210, 157, 158, 159, \dots, 169, 170$.
최댓값 $210$, 최솟값 $157$.
합: $210 + 157 = 367$.

$$\max + \min = 210 + 157 = 367 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 3학년 $1000$ 이내 덧셈 — $210 + 157 = 367$, 선택지 (A) 일치.

[1] #5 4.OA.C.5 그림에서 나선 모서리 패턴이 보임: $1 = 1^2$ (중심), $9 = 3^2$ ($3 \times 3$ 링 오른쪽 위), $25 = 5^2$

[2] #1 4.OA.C.5 $7 \times 7$ 그림으로 한 링에서 다음 링으로 가는 이동 순서를 학습. 모서리 $9$ 에서 $25$ 까지: $10$ 동, $11, 12

[3] #7 5.OA.B.3 $15 \times 15$ 의 바깥 두 링으로 줌인. $7$ 번째 링은 $13 \times 13$ 외곽 — 그 오른쪽 위 모서리 $169 = 1

[4] #7 3.NBT.A.2 그 직전 북쪽 이동($7$ 링 왼쪽 변)이 $2$ 행 $2$ 열에서 끝남. 그 이동은 $13$ 행 $2$ 열의 $146$ 에서 시작, $11$

[5] #7 3.NBT.A.2 이제 $8$ 링($15 \times 15$ 외곽). $169$ 직후의 $170$ 은 동쪽 한 보 이동하여 $2$ 행 $15$ 열. 이후 남쪽 이

[6] #3 3.NBT.A.2 $2$ 행 전체: $1$ 열~$15$ 열 $\to$ $210, 157, 158, 159, \dots, 169, 170$. 최댓값 $210$, 최

검토

합리성 확인: 합리성: $2$ 행 모든 값은 $\{157, 158, \dots, 170\} \cup \{210\}$ 안 — 모두 $1$~$225$ 범위. 극값 $\min = 157$, $\max = 210$, 합 $367$ 은 $300$~$450$ 의 합리적 구간. 선택지 중 오직 (A) $367$ 만 '중간 띠 값 + 외곽 링 값' 의 깔끔한 정수 분해와 일치.

대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기) + 도구 #6(추측하고 확인하기): $2$ 행을 칸별로 직접 적기. $169$($2$ 행 $14$ 열)에서 출발해 서쪽으로 한 칸씩 $1$ 씩 감소($168, 167, \dots, 157$ 까지)하여 $2$ 행 $2$ 열에 도달 — 최솟값 $157$. 바깥 링: $2$ 행 $15$ 열 $= 170$, $2$ 행 $1$ 열 $= 210$ — 최댓값 $210$. 합 $367$. 동일한 답.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수 또는 도형 패턴 생성하기 (나선의 링 모서리 패턴 $(2k-1)^2$ 와 링 둘레 $8k$ 규칙 발견.)
5.OA.B.3 두 규칙으로 두 수치 패턴 생성하고 관계 파악하기 ($169$ 에서 끝나는 동쪽 이동에서 열 위치와 값의 대응 추적.)
3.NBT.A.2 $1000$ 이내 능숙한 덧셈·뺄셈 ($146 + 11 = 157$, $158 + 11 = 169$, $210 + 157 = 367$ 등 모든 합산.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 5학년 수 패턴만 알면 풀 수 있어요 — 나선 모서리는 홀수 제곱 $(2k-1)^2$ 라서 $7$ 링이 $2$ 행 $14$ 열의 $169$ 에서 끝나고, 윗변은 $157$ 부터 $169$ 까지, 바깥 $8$ 링이 $1$ 열에 $210$, $15$ 열에 $170$ 을 둠. 최댓값+최솟값 $= 210 + 157 = 367$, 답 (A).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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