AMC 8 · 1999 · #2
쉬운 모드 학년 4문제
시계가 10시 정각이라고 생각해봅시다.
분침은 위쪽 12를 똑바로 가리키고 있어요. 시침은 10을 가리키고 있어요.
이 두 바늘은 시계 가운데를 중심으로 두 개의 각을 만듭니다. 하나는 더 작고, 하나는 더 커요.
더 작은 쪽의 각도는 몇 도일까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 1999 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $12$ 시간제 시계가 정확히 $10$ 시 정각을 가리키고 있습니다. 시침은 $10$ 위에, 분침은 $12$ 위에 있을 때, 두 바늘이 이루는 두 각 중 더 작은 각의 크기는 몇 도일까요?
주어진 것: 시계 문자반: $360^\circ$ 원에 $12$ 개의 숫자가 같은 간격으로 놓여 있다; 시각: 정확히 $10$ 시 정각; $10{:}00$ 에 분침은 $12$ 위, 시침은 $10$ 위에 있다; 선택지: (A) $30$, (B) $45$, (C) $60$, (D) $75$, (E) $90$
구하는 것: 두 바늘이 이루는 두 각 중 더 작은 각의 크기(도)
이해
문제 재정리: $12$ 시간제 시계가 정확히 $10$ 시 정각을 가리키고 있습니다. 시침은 $10$ 위에, 분침은 $12$ 위에 있을 때, 두 바늘이 이루는 두 각 중 더 작은 각의 크기는 몇 도일까요?
주어진 것: 시계 문자반: $360^\circ$ 원에 $12$ 개의 숫자가 같은 간격으로 놓여 있다; 시각: 정확히 $10$ 시 정각; $10{:}00$ 에 분침은 $12$ 위, 시침은 $10$ 위에 있다; 선택지: (A) $30$, (B) $45$, (C) $60$, (D) $75$, (E) $90$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 나누기
문제에 주어진 시계 문자반이 이미 눈금이 매겨진 원형 다이어그램입니다. 도구 #1(그림 그리기)을 쓰면 두 바늘의 위치를 다이얼 위에 표시해 그 사이 간격을 바로 읽을 수 있어요. 도구 #7(작은 문제로 나누기)은 풀이를 두 개의 깔끔한 4학년 단계로 쪼개 줍니다. 먼저 이웃한 두 숫자 사이 한 칸의 각도를 구하고, 그다음 $10$ 과 $12$ 사이에 그 칸이 몇 개 들어가는지 셉니다. 곱하면 각도가 나오고, 다이어그램으로 그것이 "작은 쪽" 임을 확인합니다.
실행 — 정답: C
4.MD.C.5 단계 1 - 한 칸의 크기를 구합니다.
- 시계 문자반은 $360^\circ$ 원이 $12$ 개의 같은 부채꼴로 나뉘어 있으므로 한 칸의 각은 $360^\circ \div 12 = 30^\circ$ 입니다.
- 이것이 이웃한 두 숫자 사이의 각이에요.
💡 4학년 각 개념 그대로: 한 바퀴는 $360^\circ$, $12$ 등분이면 한 조각이 $30^\circ$ — 시계 문자반은 그 자체가 각도기입니다.
4.MD.C.7 단계 2 - 두 바늘 사이의 칸 수를 셉니다.
- $10{:}00$ 에 분침은 $12$ 위, 시침은 $10$ 위에 있어요.
- $10$ 에서 시계 방향으로 $12$ 까지 가면 $11$ 을 지나가므로 정확히 $2$ 칸($10 \to 11$ 과 $11 \to 12$)을 건너갑니다.
💡 다이얼 위에서 간격을 걷는다는 건 한 칸짜리 각을 차곡차곡 더하는 일 — 4학년 "각의 크기는 더해진다" 를 세기로 풀어낸 셈입니다.
4.MD.C.7 단계 3 - 칸 수에 한 칸 각도를 곱해 두 바늘 사이의 각을 구합니다.
- $30^\circ$ 짜리 두 칸은 $60^\circ$.
- 반대쪽 각은 $360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$ 이므로 $60^\circ$ 가 작은 쪽이 확실합니다.
💡 같은 크기 각을 거듭 더하는 건 곱셈 한 번. 다이어그램으로 어느 쪽이 "작은 각" 인지 바로 보이니 별도 확인이 필요 없어요.
4.MD.C.5 한 칸의 크기를 구합니다. 시계 문자반은 $360^\circ$ 원이 $12$ 개의 같은 부채꼴로 나뉘어 있으므로 한 칸의 각은 $360^\cir 4.MD.C.7 두 바늘 사이의 칸 수를 셉니다. $10{:}00$ 에 분침은 $12$ 위, 시침은 $10$ 위에 있어요. $10$ 에서 시계 방향으로 $12$ 4.MD.C.7 칸 수에 한 칸 각도를 곱해 두 바늘 사이의 각을 구합니다. $30^\circ$ 짜리 두 칸은 $60^\circ$. 반대쪽 각은 $360^\ci 검토
합리성 확인: 답이 그림과 잘 맞는지 봅시다. 두 바늘은 $10$ 과 $12$, 시계판에서 두 칸만 떨어진 사이 — 원의 작은 한 조각이고 반 바퀴 근처는 아닙니다. $90^\circ$ 라면 세 칸($12$ 와 $3$ 처럼), $30^\circ$ 라면 한 칸($12$ 와 $1$ 처럼) 떨어진 거리이므로 두 칸은 그 사이인 $60^\circ$ 가 맞고, 답 (C) 와 일치합니다. 반대쪽 우각은 $360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$ 로 훨씬 크니 $60^\circ$ 가 문제에서 요구한 "더 작은 각" 임도 확인됩니다.
대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 문제로 바꾸기): 시계를 머릿속에서 돌려 분침은 그대로 $12$ 에 두고 시침을 $10$ 대신 $2$ 에 두어 봅시다. $10$ 과 $2$ 는 모두 $12$ 에서 두 칸 떨어져 있으므로 대칭에 의해 그림이 똑같아요. $2$ 시 정각의 각은 한 바퀴의 $\tfrac{1}{6}$ ($12$ 칸 중 $2$ 칸 = $\tfrac{2}{12} = \tfrac{1}{6}$) 으로 잘 알려져 있고, $\tfrac{1}{6} \times 360^\circ = 60^\circ$ — 답 (C) 와 같습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
4.MD.C.5각이 두 반직선으로 이루어진 도형임을 알고, 각도의 개념을 이해하기 (시계 문자반을 $360^\circ$ 원이 $12$ 개의 같은 $30^\circ$ 부채꼴로 나뉜 것으로 읽어 이웃한 두 숫자 사이 각의 크기를 정하는 데 사용.)4.MD.C.7각의 크기가 더해질 수 있음을 이용해 미지의 각을 더하기·빼기로 구하기 ($30^\circ$ 짜리 두 칸을 더해(또는 $2 \times 30^\circ$ 로) $10$ 위의 시침과 $12$ 위의 분침 사이 $60^\circ$ 를 구하는 데 사용.)4.NBT.B.5최대 네 자리 자연수를 한 자리 자연수로 곱하기 ($360 \div 12 = 30$, $2 \times 30 = 60$ 의 계산으로 칸 그림을 각도 수치로 바꾸는 데 사용.)
⭐ 시계의 숫자 한 칸은 $30^\circ$ ($360^\circ$ 를 $12$ 등분), $10$ 은 $12$ 에서 두 칸 떨어져 있으므로 $10$ 시 정각의 작은 각은 $2 \times 30^\circ = 60^\circ$ 입니다.
⭐ 시계의 숫자 한 칸은 $30^\circ$ ($360^\circ$ 를 $12$ 등분), $10$ 은 $12$ 에서 두 칸 떨어져 있으므로 $10$ 시 정각의 작은 각은 $2 \times 30^\circ = 60^\circ$ 입니다.
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