AMC 8 · 1999 · #6
쉬운 모드 학년 1문제
다섯 친구 Bo, Coe, Flo, Jo, Moe가 있어요. 각자 가진 돈의 액수가 모두 달라요.
알려진 사실은 다음과 같아요:
- Jo는 Flo보다 돈이 적어요. Bo도 Flo보다 돈이 적어요.
- Bo는 Moe보다 돈이 많아요. Coe도 Moe보다 돈이 많아요.
- Jo는 Moe보다는 돈이 많지만, Bo보다는 돈이 적어요.
이 다섯 명 중에서 돈이 가장 적은 사람은 누구일까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 1999 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 다섯 사람 — Bo, Coe, Flo, Jo, Moe — 가 서로 다른 금액의 돈을 가지고 있습니다. 몇 사람씩 짝지어 비교하는 "$\sim$ 보다 많다 / 적다" 단서가 주어집니다. 가장 적게 가진 사람은 누구일까요?
주어진 것: 다섯 사람 모두 금액이 다름: Bo, Coe, Flo, Jo, Moe; 단서 1: Jo와 Bo 모두 Flo보다 적게 가짐, 즉 $J < F$ 이고 $B < F$; 단서 2: Bo와 Coe 모두 Moe보다 많이 가짐, 즉 $B > M$ 이고 $C > M$; 단서 3: Jo는 Moe보다 많고 Bo보다 적음, 즉 $M < J < B$; 선택지: (A) Bo, (B) Coe, (C) Flo, (D) Jo, (E) Moe
구하는 것: 다섯 사람 중 돈이 가장 적은 사람
이해
문제 재정리: 다섯 사람 — Bo, Coe, Flo, Jo, Moe — 가 서로 다른 금액의 돈을 가지고 있습니다. 몇 사람씩 짝지어 비교하는 "$\sim$ 보다 많다 / 적다" 단서가 주어집니다. 가장 적게 가진 사람은 누구일까요?
주어진 것: 다섯 사람 모두 금액이 다름: Bo, Coe, Flo, Jo, Moe; 단서 1: Jo와 Bo 모두 Flo보다 적게 가짐, 즉 $J < F$ 이고 $B < F$; 단서 2: Bo와 Coe 모두 Moe보다 많이 가짐, 즉 $B > M$ 이고 $C > M$; 단서 3: Jo는 Moe보다 많고 Bo보다 적음, 즉 $M < J < B$; 선택지: (A) Bo, (B) Coe, (C) Flo, (D) Jo, (E) Moe
계획
주요 도구: #3 가능성 지우기
보조 도구: #1 그림 그리기
후보가 다섯 명뿐이므로 가장 빠른 길은 도구 #3(가능성 지우기)입니다. 각 후보를 무너뜨리는 단서를 하나씩 찾아 지워 가면 됩니다. 네 명이 지워지는 순간 남은 한 명이 정답입니다. 도구 #1(그림 그리기)은 보조 역할이에요. 단서들을 모아 하나의 사슬 $M < J < B < F$ (그리고 옆에 $M < C$)로 쌓으면 순서가 한눈에 보여 빠뜨릴 일이 없습니다.
실행 — 정답: E
1.NBT.B.3 단계 1 - 각 단서를 $<$ 또는 $>$ 식으로 옮깁니다.
- 이름 첫 글자 $B, C, F, J, M$ 을 씁니다.
- 단서 1 $\Rightarrow$ $J < F$ 와 $B < F$.
- 단서 2 $\Rightarrow$ $B > M$ 와 $C > M$.
- 단서 3 $\Rightarrow$ $M < J$ 와 $J < B$.
💡 1학년에서 양을 비교할 때 쓰는 $<$ 와 $>$ 기호. 문제의 단서는 모두 그 비교를 기호로 바꿔 쓴 것입니다.
K.MD.A.2 단계 2 - Bo를 지웁니다.
- $B > M$ 에서 Bo는 Moe보다 많으므로 가장 적을 수 없습니다.
💡 유치원의 둘 비교: Bo가 Moe보다 많으면 Bo는 가장 적은 무리에 들 수 없습니다.
K.MD.A.2 단계 3 - Coe를 지웁니다.
- $C > M$ 에서 Coe도 Moe보다 많으므로 가장 적을 수 없습니다.
💡 같은 둘 비교 논리: Coe가 Moe를 이긴다는 한 줄 단서면 Coe를 제외할 수 있습니다.
K.MD.A.2 단계 4 - Jo를 지웁니다.
- $M < J$ 에서 Jo는 Moe보다 많으므로 가장 적을 수 없습니다.
💡 또 한 번의 직접 비교: Jo $>$ Moe 이므로 Jo는 가장 적은 사람이 아닙니다.
1.MD.A.1 단계 5 - Flo는 추이성으로 지웁니다.
- $J > M$ 을 알고 있고 단서 1 에서 $F > J$ 입니다.
- 이어 붙이면 $F > J > M$ 이므로 $F > M$ 입니다.
- Flo도 Moe보다 많으므로 가장 적을 수 없습니다.
💡 1학년의 "세 물체 순서 정하기" 가 바로 이 동작입니다. Flo와 Moe를 직접 비교하지 않아도 사슬로 결론이 나옵니다.
1.MD.A.1 단계 6 - Bo, Coe, Jo, Flo 가 모두 지워졌으니 남은 사람은 Moe.
- 사슬을 정렬해 보면 더 분명합니다: $M < J < B < F$, 옆으로 $M < C$ — Moe는 모든 사슬의 바닥에 있습니다.
💡 다섯 이름을 수직선 위에 정렬해 보면 Moe가 바닥에 있다는 사실이 그림으로 보입니다 — 1학년의 "작은 순서대로" 와 같은 추이적 정렬입니다.
1.NBT.B.3 각 단서를 $<$ 또는 $>$ 식으로 옮깁니다. 이름 첫 글자 $B, C, F, J, M$ 을 씁니다. 단서 1 $\Rightarrow$ $J K.MD.A.2 Bo를 지웁니다. $B > M$ 에서 Bo는 Moe보다 많으므로 가장 적을 수 없습니다. K.MD.A.2 Coe를 지웁니다. $C > M$ 에서 Coe도 Moe보다 많으므로 가장 적을 수 없습니다. K.MD.A.2 Jo를 지웁니다. $M < J$ 에서 Jo는 Moe보다 많으므로 가장 적을 수 없습니다. 1.MD.A.1 Flo는 추이성으로 지웁니다. $J > M$ 을 알고 있고 단서 1 에서 $F > J$ 입니다. 이어 붙이면 $F > J > M$ 이므로 $F 1.MD.A.1 Bo, Coe, Jo, Flo 가 모두 지워졌으니 남은 사람은 Moe. 사슬을 정렬해 보면 더 분명합니다: $M < J < B < F$, 옆으로 검토
합리성 확인: $M < J < B < F$ 와 $M < C$ 를 만족하는 구체적인 값을 넣어 확인해 봅시다 — 예: $M = 1, J = 2, B = 3, F = 4, C = 5$ (모두 다르고 모든 단서 만족). 가장 작은 값은 $1$, Moe 가 갖고 있습니다. 다른 배정 $M = 10, J = 20, B = 30, F = 40, C = 100$ 으로 바꿔도 가장 작은 사람은 여전히 Moe. 단서를 모두 만족하는 어떤 경우에도 Moe 가 바닥이므로 답 (E) 는 흔들리지 않습니다.
대안 접근: 도구 #1(그림 그리기)만으로도 풀립니다. 위로 갈수록 돈이 많아지는 "돈 사다리"를 세로로 그립니다. 먼저 Moe 를 맨 아래에 놓고 단서를 하나씩 적용합니다 — $J > M$ 이면 Jo 는 Moe 위, $J < B$ 이면 Bo 는 Jo 위, $B < F$ 이면 Flo 는 Bo 위, $C > M$ 이면 Coe 는 Moe 위 어딘가에 (정확한 위치는 중요하지 않아요). 모든 이름이 Moe 위에 놓이므로 바닥은 Moe — 답 (E).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 1)
K.MD.A.2공통 측정 속성을 가진 두 물체를 직접 비교하기 (한 단서씩 ($B > M$, $C > M$, $J > M$ 등) 두 사람의 직접 비교로 읽고 "가장 적은" 후보에서 그 사람을 지우는 데 사용.)1.NBT.B.3두 자릿수 두 개를 기호로 비교하기 (영어 단서를 모두 $<$ 와 $>$ 기호로 옮겨 비교를 정렬하고 사슬로 잇는 데 사용.)1.MD.A.1세 물체를 길이로 정렬하고 길이를 간접적으로 비교하기 (Flo-Moe 직접 단서가 없어도 $F > J$ 와 $J > M$ 을 이어 $F > M$ 을 끌어내고, 다섯 이름을 $M < J < B < F$ 로 정렬하는 데 사용.)
⭐ 어떤 단서가 누군가 Moe보다 돈이 많다고 알려 주면 그 사람은 절대 가장 적을 수 없어요 — Bo, Coe, Jo, Flo 가 모두 이 규칙에 걸려 지워지고 Moe 만 남습니다. 필요한 건 1학년의 "사슬 규칙으로 가장 적은 것부터 정렬하기" 한 가지뿐이에요.
⭐ 어떤 단서가 누군가 Moe보다 돈이 많다고 알려 주면 그 사람은 절대 가장 적을 수 없어요 — Bo, Coe, Jo, Flo 가 모두 이 규칙에 걸려 지워지고 Moe 만 남습니다. 필요한 건 1학년의 "사슬 규칙으로 가장 적은 것부터 정렬하기" 한 가지뿐이에요.
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