AMC 8 · 1999 · #7

쉬운 모드 학년 4

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문제

긴 고속도로에 번호가 붙은 출구들이 있다고 생각해봅시다.

이 고속도로의 3번 출구는 40 마일 지점에 있어요. 10번 출구는 160 마일 지점에 있어요.

이 두 출구 사이에 휴게소가 하나 있어요. 휴게소의 위치는 3번 출구에서 10번 출구 쪽으로 정확히 $\frac{3}{4}$ 만큼 간 곳이에요.

휴게소는 몇 마일 지점에 있을까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

100

(C)

110

(D)

120

(E)

130

AMC 8 1999 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 고속도로의 $3$ 번 출구는 마일포스트(milepost) $40$ 에, $10$ 번 출구는 마일포스트 $160$ 에 있습니다. 휴게소는 $3$ 번 출구에서 $10$ 번 출구 방향으로 전체 거리의 $\tfrac{3}{4}$ 지점에 있다고 합니다. 휴게소의 마일포스트는 얼마일까요?

주어진 것: $3$ 번 출구는 마일포스트 $40$; $10$ 번 출구는 마일포스트 $160$; 휴게소는 $3$ 번 출구에서 $10$ 번 출구로 가는 거리의 $\tfrac{3}{4}$ 지점; 선택지: (A) $90$, (B) $100$, (C) $110$, (D) $120$, (E) $130$

구하는 것: 휴게소의 마일포스트 값

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 나누기

보조 도구: #1 그림 그리기

질문은 하나지만 안에 작은 작업 세 개가 숨어 있어요. 도구 #7(작은 문제로 나누기)의 신호입니다: (i) 두 출구 사이의 전체 거리를 구하고, (ii) 그 거리의 $\tfrac{3}{4}$ 을 계산하고, (iii) 결과를 출발 마일포스트에 더합니다. 도구 #1(그림 그리기)이 이를 받쳐 줍니다 — $40$ 부터 $160$ 까지 수직선을 간단히 그려 보면 "$\tfrac{3}{4}$ 지점" 이 말이 아닌 눈금으로 보이고, $160$ 의 $\tfrac{3}{4}$ 을 잘못 계산하는 흔한 실수도 막을 수 있습니다.

실행 — 정답: E

#7 작은 문제로 나누기 4.OA.A.3 단계 1

작은 문제 1: 두 마일포스트의 차이로 두 출구 사이의 거리를 구합니다.

$$160 - 40 = 120 \text{ 마일}$$

💡 수직선 위 두 점 사이의 거리는 두 값의 차이입니다 — 4학년 여러 단계 문제 풀이의 첫 손길이에요.

#7 작은 문제로 나누기 4.NF.B.4 단계 2

작은 문제 2: $120$ 마일의 $\tfrac{3}{4}$ 를 구합니다.
분수에 자연수를 곱하는 것은 $3 \times \tfrac{120}{4}$ 과 같습니다.

$$\dfrac{3}{4} \times 120 = 3 \times \dfrac{120}{4} = 3 \times 30 = 90 \text{ 마일}$$

💡 4학년 "전체의 분수": 분모로 나눈 뒤 분자를 곱합니다.

#7 작은 문제로 나누기 4.OA.A.3 단계 3

작은 문제 3: $3$ 번 출구의 마일포스트에서 출발해 고속도로를 따라 $90$ 마일 더 갑니다.
더해서 휴게소의 마일포스트를 구합니다.

$$40 + 90 = 130 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 마일포스트는 진행 방향으로 커지므로, 출발 마일포스트에 거리만큼 더하면 도착 마일포스트가 됩니다.

[1] #7 4.OA.A.3 작은 문제 1: 두 마일포스트의 차이로 두 출구 사이의 거리를 구합니다.

[2] #7 4.NF.B.4 작은 문제 2: $120$ 마일의 $\tfrac{3}{4}$ 를 구합니다. 분수에 자연수를 곱하는 것은 $3 \times \tfrac{120}{

[3] #7 4.OA.A.3 작은 문제 3: $3$ 번 출구의 마일포스트에서 출발해 고속도로를 따라 $90$ 마일 더 갑니다. 더해서 휴게소의 마일포스트를 구합니다.

검토

합리성 확인: 위치를 확인해 봅시다. $40$ 에서 $160$ 까지의 $\tfrac{3}{4}$ 지점은 $40$ 보다는 $160$ 에 훨씬 가까워야 합니다. 답 $130$ 은 $3$ 번 출구에서 $90$ 마일 떨어졌고 $10$ 번 출구까지는 $30$ 마일만 남아 있는데, $90 : 30 = 3 : 1$ — "세 부분 갔고 한 부분 남았다" 라는 "$\tfrac{3}{4}$ 지점" 의 뜻과 정확히 맞습니다. 중간 지점은 $\tfrac{40+160}{2} = 100$ 이므로 휴게소는 $100$ 과 $160$ 사이에 있어야 합니다. 이 한 가지로 (A) $90$, (B) $100$, (C) $110$ 이 한 번에 걸러지고, (D) $120$ 도 "세 부분 : 한 부분" 비율을 만족하지 않아 탈락합니다.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기): $40$ 부터 $160$ 까지 수직선을 그리고 $120$ 마일의 간격을 네 등분 하면 각 칸이 $30$ 마일씩, 눈금이 $40, 70, 100, 130, 160$ 에 자리잡습니다. "$\tfrac{3}{4}$ 지점" 은 $40$ 다음으로 세 번째 눈금, 즉 $130$ — 분수 곱셈 없이 같은 간격 세 번만 세도 답 (E) 가 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 여러 단계 자연수 문장제 해결하기 (뺄셈(거리 구하기) → 곱셈(거리의 분수 만큼) → 덧셈(출발 마일포스트에 더하기) 의 세 작은 문제를 이어 푸는 데 사용.)
4.NF.B.4 곱셈에 대한 이해를 확장해 분수에 자연수를 곱하기 ($\tfrac{3}{4} \times 120 = 90$ 을 "$4$ 로 나누고 $3$ 을 곱한다" 로 계산해 $120$ 마일의 $\tfrac{3}{4}$ 을 구하는 데 사용.)

⭐ "$A$ 에서 $B$ 까지의 분수 지점" 은 항상 $B - A$ 의 분수만큼이고, 그 값을 다시 $A$ 에 더합니다. 빼고, 분수를 취하고, 다시 더하기 — 4학년 단계 셋이면 이 AMC 8 문제는 끝납니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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