AMC 8 · 2000 · #16

쉬운 모드 학년 4

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문제

Mateen에게는 직사각형 모양의 뒷마당이 있어요. 그는 이 뒷마당에서 정확히 $1$ 킬로미터, 즉 $1000$ 미터를 걸으려고 합니다.

그가 보니, 같은 $1000$ 미터를 채우는 방법이 두 가지가 있어요.

긴 변을 따라 끝에서 끝까지 걷는다면, 이 길이를 $25$ 번 걸으면 $1000$ 미터가 됩니다.
뒷마당 둘레를 따라 한 바퀴씩 도는 거리로는, 둘레를 $10$ 바퀴 돌면 $1000$ 미터가 됩니다.

Mateen의 뒷마당 넓이는 몇 제곱미터일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

200

(C)

400

(D)

500

(E)

1000

AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 마틴의 직사각형 뒷마당은 가로(길이)를 $25$ 번 걸으면 $1000$ m 가 되고, 둘레를 $10$ 번 걸어도 $1000$ m 가 됩니다. 뒷마당의 넓이를 제곱미터 단위로 구하세요.

주어진 것: 뒷마당은 가로 $L$, 세로 $W$ (단위: m) 인 직사각형; 가로를 $25$ 번 걸은 거리 = $1000$ m; 둘레를 $10$ 번 걸은 거리 = $1000$ m; 선택지: (A) $40$, (B) $200$, (C) $400$, (D) $500$, (E) $1000$

구하는 것: 뒷마당의 넓이 $A = L \times W$ (단위: m$^2$)

이해

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

문제의 두 문장이 각각 그대로 방정식이 됩니다. 그래서 도구 #13(대수로 바꾸기)이 자연스러워요. "가로 $25$ 번이 $1000$ m" 는 $25L = 1000$, "둘레 $10$ 번이 $1000$ m" 는 $10P = 1000$. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 작업을 순서대로 정리합니다. 먼저 $L$ 을 구하고, 그다음 $P$ 를 구하고, 둘레 공식으로 $W$ 를 되돌려 구한 뒤, 마지막에 넓이를 계산해요. 각 단계는 4학년 나눗셈 한 줄, 또는 식에 대입하는 한 줄짜리 작업입니다.

실행 — 정답: C

#13 대수로 바꾸기 4.OA.A.3 단계 1

두 문장을 식으로 옮깁니다.
가로를 $25$ 번 걸으면 $1000$ m 이므로 $25L = 1000$.
둘레를 $10$ 번 걸으면 $1000$ m 이므로 $10P = 1000$ ($P$ 는 둘레).

$$25L = 1000,\qquad 10P = 1000$$

💡 "거리 $d$ 를 $n$ 번 가면 총 $D$" 는 항상 $n \cdot d = D$ — 4학년 "같은 묶음의 합" 개념 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 2

첫 번째 작은 문제: 가로 $L$ 구하기.
$25L = 1000$ 의 양변을 $25$ 로 나눕니다.

$$L = \dfrac{1000}{25} = 40 \text{ m}$$

💡 $25 \times 40 = 1000$ 은 익숙한 식 — 25센트짜리 동전 $40$ 개가 $10$ 달러인 것과 같아요.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 3

두 번째 작은 문제: 둘레 $P$ 구하기.
$10P = 1000$ 의 양변을 $10$ 로 나눕니다.

$$P = \dfrac{1000}{10} = 100 \text{ m}$$

💡 $10$ 으로 나누면 자리수가 한 칸 줄어 $1000 \to 100$.

#13 대수로 바꾸기 4.MD.A.3 단계 4

세 번째 작은 문제: 둘레 공식 $P = 2L + 2W$ 에서 세로 $W$ 를 되돌립니다.
$P = 100$, $L = 40$ 을 대입해서 풀어요.

$$100 = 2(40) + 2W \;\Rightarrow\; 100 - 80 = 2W \;\Rightarrow\; W = \dfrac{20}{2} = 10 \text{ m}$$

💡 네 변짜리 둘레에서 가로 두 변($2 \times 40 = 80$)을 빼면 세로 두 변의 합이 $100 - 80 = 20$, 한 변은 $10$ 입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.MD.A.3 단계 5

네 번째 작은 문제: 넓이 $A = L \times W$ 를 $L = 40$, $W = 10$ 으로 계산합니다.

$$A = 40 \times 10 = 400 \text{ m}^2 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 직사각형 넓이는 가로 곱하기 세로 — 4학년 마지막 한 줄입니다.

[1] #13 4.OA.A.3 두 문장을 식으로 옮깁니다. 가로를 $25$ 번 걸으면 $1000$ m 이므로 $25L = 1000$. 둘레를 $10$ 번 걸으면 $1000$

[2] #7 4.OA.A.3 첫 번째 작은 문제: 가로 $L$ 구하기. $25L = 1000$ 의 양변을 $25$ 로 나눕니다.

[3] #7 4.OA.A.3 두 번째 작은 문제: 둘레 $P$ 구하기. $10P = 1000$ 의 양변을 $10$ 로 나눕니다.

[4] #13 4.MD.A.3 세 번째 작은 문제: 둘레 공식 $P = 2L + 2W$ 에서 세로 $W$ 를 되돌립니다. $P = 100$, $L = 40$ 을 대입해서 풀어

[5] #7 4.MD.A.3 네 번째 작은 문제: 넓이 $A = L \times W$ 를 $L = 40$, $W = 10$ 으로 계산합니다.

검토

합리성 확인: 두 변 길이를 원래 문장에 다시 대입해 점검합시다. $L = 40$ m 이므로 가로 $25$ 번은 $25 \times 40 = 1000$ m — 일치. 둘레 $P = 2(40) + 2(10) = 80 + 20 = 100$ m 이므로 둘레 $10$ 번은 $10 \times 100 = 1000$ m — 역시 일치. 넓이 $400$ m$^2$ 는 함정 (A) $40$ (가로만 답하고 세로를 곱하지 않은 경우)이나 (D) $500$, (E) $1000$ (넓이와 둘레·총거리를 섞은 경우)와 분명히 다릅니다. (C) $400$ 만이 $40 \times 10$ 과 맞는 유일한 답입니다.

대안 접근: 도구 #5(규칙 찾기)로 두 횟수의 관계만 보세요. 가로 $25$ 번이 둘레 $10$ 번과 같은 $1000$ m 이므로 $25L = 10P$, 즉 $P = 2.5 L$. 직사각형 공식 $P = 2L + 2W$ 와 합치면 $2W = 0.5L$, 즉 $W = L/4$. 그리고 $25L = 1000$ 에서 $L = 40$, $W = 10$, $A = 400$. 같은 답 (C) 가 횟수 비율 한 줄로 바로 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.A.3 사칙연산을 이용해 자연수 다단계 문장제 해결하기 (두 "걸은 거리" 문장을 $25L = 1000$, $10P = 1000$ 으로 옮긴 뒤 나눗셈으로 $L = 40$, $P = 100$ 을 얻는 데 사용.)
4.MD.A.3 실생활·수학 문제에서 직사각형의 넓이·둘레 공식 적용하기 (둘레 공식 $P = 2L + 2W$ 로 $P = 100$, $L = 40$ 에서 $W = 10$ 을 되돌리고, 넓이 공식 $A = L \times W$ 로 $A = 40 \times 10 = 400$ m$^2$ 을 구하는 데 사용.)

⭐ 문장제의 각 문장은 짧은 식 하나로 바뀝니다. 가로 → 둘레 → 세로 → 넓이 순으로 차근차근 풀면 답은 $40 \times 10 = 400$ m$^2$, (C) 입니다.

문제

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계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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