AMC 8 · 2001 · #16

쉬운 모드 학년 4

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문제

정사각형 모양의 종이 한 장이 있다고 생각해봅시다. 한 변의 길이는 4인치예요.

먼저, 이 종이를 세로 방향으로 반으로 접어요. 왼쪽 가장자리와 오른쪽 가장자리가 딱 맞닿게 접는 거예요. 그러면 두 겹으로 된 직사각형이 만들어집니다.

그 다음, 접힌 선과 평행한 방향으로 직선을 따라 한 번 잘라요. 접힌 직사각형의 가로를 정확히 반으로 나누도록 자릅니다. 종이는 두 겹이므로 한 번에 두 겹이 같이 잘려요.

이제 모든 종이를 펼치면, 직사각형이 세 개 생겨요. 큰 직사각형 하나, 그리고 크기가 같은 작은 직사각형 두 개입니다.

작은 직사각형 한 개의 둘레와 큰 직사각형의 둘레의 비는 얼마일까요?

그림

4×4 정사각형을 세로로 반 접고, 접힌 가운데를 한 번 자른 뒤 펼치면 가운데에 큰 직사각형(2×4)이 있고 양쪽에 작은 직사각형(1×4)이 두 개 생깁니다.

1단계: 접힌 종이

두 겹
접힌
쪽

열린 쪽

2 인치

4 인치

자르기

펼치기
2단계: 펼친 모습

1×4
(작음)

2×4
(큼)

1×4
(작음)

자르기

자르기

4 인치

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{1}{3}$

(B)

$\dfrac{1}{2}$

(C)

$\dfrac{3}{4}$

(D)

$\dfrac{4}{5}$

(E)

$\dfrac{5}{6}$

AMC 8 2001 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 변의 길이가 $4$ 인치인 정사각형 종이를 세로 방향으로 반 접습니다. 접힌 종이의 두 겹을 한 번에, 접힌 선과 평행한 한 번의 세로 자르기로 반으로 자릅니다. 펼치면 큰 직사각형 $1$ 개와 작은 직사각형 $2$ 개, 모두 $3$ 개의 직사각형이 생깁니다. 작은 직사각형 하나의 둘레와 큰 직사각형의 둘레의 비를 구하세요.

주어진 것: 처음 종이는 한 변이 $4$ 인치인 정사각형; 첫 번째 동작: 세로 방향으로 반 접기 (접힌 선이 위아래로 지나감); 두 번째 동작: 접힌 선과 평행하게 두 겹을 한 번에 반으로 자르기; 펼친 결과는 "큰" 직사각형 $1$ 개와 "작은" 직사각형 $2$ 개; 선택지: (A) $\dfrac{1}{3}$, (B) $\dfrac{1}{2}$, (C) $\dfrac{3}{4}$, (D) $\dfrac{4}{5}$, (E) $\dfrac{5}{6}$

구하는 것: $\dfrac{\text{작은 직사각형 하나의 둘레}}{\text{큰 직사각형의 둘레}}$

이해

계획

주요 도구: #10 실물로 따라하기

보조 도구: #1 그림 그리기

문제 전체가 종이에 가해지는 동작 — 접기, 자르기, 펼치기 — 의 연속입니다. 도구 #10(실물로 따라하기)이 가장 정직한 접근입니다. 직사각형 종이 한 장을 잡고 두 동작을 그대로 해 보면 결과 도형의 치수가 바로 읽힙니다. 종이가 없다면 도구 #1(그림 그리기)로 라벨을 단 스케치로 대신할 수 있습니다. 핵심 통찰은 접힌 선을 포함한 잘린 조각은 펼쳤을 때 너비가 두 배가 되어 한 장으로 이어지지만, 바깥 가장자리 둘로 이루어진 조각은 둘을 잡아 줄 접힌 선이 없어 두 장으로 분리된다는 점입니다. 도구 #13(대수)은 일부러 쓰지 않습니다 — 치수만 읽으면 둘레 공식은 3학년 한 줄짜리 계산이기 때문입니다.

실행 — 정답: E

#10 실물로 따라하기 4.MD.A.3 단계 1

세로로 접은 뒤의 종이 상태를 추적합니다.
$4 \times 4$ 정사각형을 세로선을 기준으로 반 접으면 가로는 절반, 세로는 그대로 유지됩니다.
결과는 가로 $2$ 인치, 세로 $4$ 인치의 두 겹 직사각형이고, 접힌 선은 $4$ 인치 변 중 한쪽을 따라 지나갑니다.

$$\text{접은 뒤: 가로 } 2 \text{ 인치} \times \text{세로 } 4 \text{ 인치, 두 겹}$$

💡 한 방향으로 가는 선을 따라 반 접으면 그 선에 수직인 길이가 절반이 되고, 평행한 길이는 그대로 유지됩니다. 가로 $4$ 가 $2$ 로 줄어든 까닭입니다.

#10 실물로 따라하기 4.MD.A.3 단계 2

세로 자르기를 합니다.
자르는 선이 접힌 선과 평행하므로 세로 방향이고, 가로 $2$ 인치를 절반으로 가릅니다.
두 겹을 한 번에 통과하므로 두 겹짜리 좁은 조각 두 개가 만들어집니다.
각각 가로 $1$ 인치, 세로 $4$ 인치.
한 조각은 접힌 선(안쪽 가장자리)을 포함하고, 다른 조각은 서로 연결된 적이 없는 두 바깥 가장자리로 이루어집니다.

$$\text{두 겹짜리 } 1 \text{ 인치} \times 4 \text{ 인치 조각 두 개}$$

💡 $2$ 인치 가로를 한가운데서 자르면 $1$ 인치 폭의 두 조각이 나옵니다. 어느 쪽이 접힌 선을 포함하는지가 다음 단계의 열쇠입니다.

#1 그림 그리기 4.MD.A.3 단계 3

각 조각을 펼칩니다.
접힌 선을 포함한 조각은 펼치면 너비가 $1$ 에서 $2$ 인치로 두 배가 되며 한 장의 큰 직사각형 $2 \times 4$ 가 됩니다.
다른 조각은 두 겹을 이어 줄 접힌 선이 없어 들어 올리는 순간 서로 같은 작은 직사각형 두 장 ($1 \times 4$) 으로 분리됩니다.

$$\text{큰: } 2 \times 4 \quad\text{작은: } 1 \times 4 \text{ (두 개)}$$

💡 펼친 뒤 두 겹을 한 장으로 이어 주는 것은 오직 접힌 선뿐입니다. 바깥 가장자리 조각은 잡아 줄 것이 없으니 두 장으로 흩어집니다.

#1 그림 그리기 3.MD.D.8 단계 4

작은 직사각형 ($1 \times 4$) 과 큰 직사각형 ($2 \times 4$) 에 둘레 공식을 적용합니다.

$$P_{\text{작}} = 2(1+4) = 10 \qquad P_{\text{큰}} = 2(2+4) = 12$$

💡 둘레 $= 2 \times (\text{가로} + \text{세로})$ — 3학년의 표준 직사각형 공식입니다.

#1 그림 그리기 4.NF.A.1 단계 5

구하는 비를 만들고, 분자·분모를 공약수 $2$ 로 나누어 약분합니다.

$$\dfrac{P_{\text{작}}}{P_{\text{큰}}} = \dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6} \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 $\tfrac{10}{12}$ 와 $\tfrac{5}{6}$ 은 같은 값의 분수입니다 — 분자·분모를 $2$ 로 나누면 됩니다.

[1] #10 4.MD.A.3 세로로 접은 뒤의 종이 상태를 추적합니다. $4 \times 4$ 정사각형을 세로선을 기준으로 반 접으면 가로는 절반, 세로는 그대로 유지됩니다

[2] #10 4.MD.A.3 세로 자르기를 합니다. 자르는 선이 접힌 선과 평행하므로 세로 방향이고, 가로 $2$ 인치를 절반으로 가릅니다. 두 겹을 한 번에 통과하므로 두

[3] #1 4.MD.A.3 각 조각을 펼칩니다. 접힌 선을 포함한 조각은 펼치면 너비가 $1$ 에서 $2$ 인치로 두 배가 되며 한 장의 큰 직사각형 $2 \times 4

[4] #1 3.MD.D.8 작은 직사각형 ($1 \times 4$) 과 큰 직사각형 ($2 \times 4$) 에 둘레 공식을 적용합니다.

[5] #1 4.NF.A.1 구하는 비를 만들고, 분자·분모를 공약수 $2$ 로 나누어 약분합니다.

검토

합리성 확인: 넓이로 점검합니다. 세 조각을 모두 합치면 원래 정사각형 $4 \times 4 = 16$ 제곱인치와 같아야 합니다. 큰 조각 $2 \times 4 = 8$, 작은 조각 두 개 각 $1 \times 4 = 4$, 합 $8 + 4 + 4 = 16$ — 일치합니다. 비 $\tfrac{5}{6}$ 도 크기 점검을 통과합니다. 작은 직사각형이 큰 직사각형보다 좁으니 둘레가 조금 더 작아야 하고, $\tfrac{5}{6}$ 은 $1$ 보다는 작지만 차이가 크지 않아 자연스럽습니다. 함정 선택지도 흔한 실수와 맞습니다 — (B) $\tfrac{1}{2}$ 는 둘레가 아닌 가로의 비 $1{:}2$ 를 본 경우, (A) $\tfrac{1}{3}$ 은 작은 조각 하나와 세 조각 전체를 비교한 경우, (C) $\tfrac{3}{4}$ 는 펼쳤을 때 접힌 선 조각의 너비가 두 배가 되는 것을 놓친 경우입니다.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기) 단독: 모눈종이에 $4 \times 4$ 정사각형을 그리고, 접힌 선 $x=2$ 와 자르기 선의 "펼친 위치" 두 곳 $x=1$, $x=3$ 을 함께 그립니다 (접힌 상태에서 한 번 자른 선이 펼치면 두 곳에 나타납니다). 그러면 세 조각이 곧바로 드러납니다 — 가운데에 $2 \times 4$ 한 조각 ($1 \le x \le 3$), 양옆에 $1 \times 4$ 두 조각 ($0 \le x \le 1$ 과 $3 \le x \le 4$). 둘레 $10$ 과 $12$ 를 구해 $\tfrac{10}{12} = \tfrac{5}{6}$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.MD.D.8 다각형의 둘레를 이용한 실생활·수학 문제 해결 (작은 직사각형 ($1 \times 4 \Rightarrow 10$) 과 큰 직사각형 ($2 \times 4 \Rightarrow 12$) 에 $P = 2(\text{가로} + \text{세로})$ 를 적용하는 데 사용.)
4.MD.A.3 직사각형의 넓이·둘레 공식을 실생활·수학 문제에 적용하기 (접기 ($4 \times 4 \to 2 \times 4$ 두 겹) 와 자르기 ($2 \times 4 \to 1 \times 4$ 두 겹 두 개) 단계마다 직사각형의 가로·세로를 추적하는 데 사용.)
4.NF.A.1 분수 $a/b$ 와 $(n \times a)/(n \times b)$ 가 같은 값임을 설명하기 (분자·분모를 공약수 $2$ 로 나누어 $\dfrac{10}{12}$ 를 $\dfrac{5}{6}$ 으로 약분하는 데 사용.)

⭐ 직접 접고 자른다고 상상해 보세요. 접힌 선을 가진 조각은 펼치면 $2 \times 4$ 큰 직사각형이 되고, 바깥 가장자리 조각은 $1 \times 4$ 작은 직사각형 두 장으로 분리됩니다. 둘레 $10$ 과 $12$ 의 비는 $\tfrac{5}{6}$, 답은 (E).

문제

그림

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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