AMC 8 · 2004 · #13
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에이미, 빌, 셀린은 세 친구이고, 셋의 나이는 모두 달라요.
이 세 명에 대해 다음과 같은 세 문장이 있습니다:
I. 빌이 가장 나이가 많다.
II. 에이미는 가장 나이가 많지 않다.
III. 셀린은 가장 어리지 않다.
이 세 문장 중에서 정확히 하나만 참이에요. 나머지 두 문장은 거짓입니다.
세 친구를 나이가 많은 순서대로 나열하세요.
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 에이미, 빌, 셀린의 나이는 모두 다릅니다. 세 문장 — (I) 빌이 가장 나이가 많다, (II) 에이미는 가장 나이가 많지 않다, (III) 셀린은 가장 어리지 않다 — 중에서 정확히 하나만 참이고 나머지 둘은 거짓입니다. 세 사람을 나이가 많은 순서대로 나열하세요.
주어진 것: 세 사람의 나이는 모두 다르다; 문장 I: 빌이 가장 나이가 많다; 문장 II: 에이미는 가장 나이가 많지 않다; 문장 III: 셀린은 가장 어리지 않다; 셋 중 정확히 하나만 참, 나머지 둘은 거짓이다; 선택지는 다섯 가지 나이 순서를 제시한다
구하는 것: 에이미, 빌, 셀린을 나이가 많은 순서대로 나열한 결과
이해
문제 재정리: 에이미, 빌, 셀린의 나이는 모두 다릅니다. 세 문장 — (I) 빌이 가장 나이가 많다, (II) 에이미는 가장 나이가 많지 않다, (III) 셀린은 가장 어리지 않다 — 중에서 정확히 하나만 참이고 나머지 둘은 거짓입니다. 세 사람을 나이가 많은 순서대로 나열하세요.
주어진 것: 세 사람의 나이는 모두 다르다; 문장 I: 빌이 가장 나이가 많다; 문장 II: 에이미는 가장 나이가 많지 않다; 문장 III: 셀린은 가장 어리지 않다; 셋 중 정확히 하나만 참, 나머지 둘은 거짓이다; 선택지는 다섯 가지 나이 순서를 제시한다
계획
주요 도구: #3 가능성 지우기
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기
참인 문장이 I, II, III 중 어느 것인지에 따라 가능한 경우가 딱 세 가지입니다. 도구 #3(가능성 지우기)으로 각 경우를 검토해 모순이 나오는 경우를 지웁니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 경우 분석을 깔끔하게 정리해 주죠 — 각 경우에서 "가장 나이가 많은 사람"과 "가장 어린 사람"이 누구인지 적어 두고 충돌이 없는지 확인합니다. 살아남는 경우가 정답입니다. 대수는 필요 없고, 신중한 비교만 있으면 됩니다.
실행 — 정답: E
K.MD.A.2 단계 1 - 경우 1: 문장 I("빌이 가장 나이가 많다")이 참이라고 가정합니다.
- 그러면 II와 III는 둘 다 거짓이어야 합니다.
- II("에이미는 가장 나이가 많지 않다")의 부정은 "에이미가 가장 나이가 많다"입니다.
- 하지만 문장 I은 이미 빌이 가장 나이가 많다고 합니다.
- 서로 다른 두 사람이 동시에 가장 나이가 많을 수는 없으므로, 이 경우는 불가능합니다.
💡 두 사람이 동시에 가장 나이가 많을 수 없다는 것은 "누가 더 나이가 많은가"를 비교하는 유치원 수준의 비교입니다.
K.MD.A.2 단계 2 - 경우 2: 문장 II("에이미는 가장 나이가 많지 않다")가 참이라고 가정합니다.
- 그러면 I과 III는 둘 다 거짓입니다.
- II가 참이므로: 에이미는 최고령이 아닙니다.
- I이 거짓이므로: 빌도 최고령이 아닙니다.
- 따라서 최고령은 셀린이어야 합니다.
- 그런데 III가 거짓이면 "셀린이 가장 어리다"는 뜻이 됩니다.
- 셀린이 최고령이면서 동시에 최연소일 수는 없으므로, 이 경우도 불가능합니다.
💡 역시 단순한 양자 비교 — 두 사람이 최고령에서 제외되면 남은 한 사람이 최고령이 됩니다.
K.MD.A.2 단계 3 - 경우 3: 문장 III("셀린은 가장 어리지 않다")가 참이라고 가정합니다.
- 그러면 I과 II는 둘 다 거짓입니다.
- I이 거짓이므로: 빌은 최고령이 아닙니다.
- II가 거짓이므로: 그 부정인 "에이미가 가장 나이가 많다"가 성립합니다.
- III가 참이므로: 셀린은 최연소가 아닙니다.
- 지금까지 알아낸 사실을 적어 둡니다.
💡 세 가지 사실을 나란히 적어 두는 것이 "빠짐없이 나열하기"의 핵심 — 결론을 내리기 전에 우선 정리합니다.
K.MD.A.2 단계 4 - 순서를 마무리합니다.
- 에이미가 최고령이므로 남은 자리(중간과 최연소)는 빌과 셀린의 몫입니다.
- 셀린은 최연소가 아니므로 빌이 최연소가 되어야 하고, 그러면 셀린은 중간 자리에 들어갑니다.
- 나이가 많은 순서대로: 에이미, 셀린, 빌.
💡 몇 가지 "더 나이가 많다" 정보로 세 사람을 나이 순서로 줄 세우는 것은 유치원 수준의 비교·정렬 능력 그대로입니다.
K.MD.A.2 경우 1: 문장 I("빌이 가장 나이가 많다")이 참이라고 가정합니다. 그러면 II와 III는 둘 다 거짓이어야 합니다. II("에이미는 가장 K.MD.A.2 경우 2: 문장 II("에이미는 가장 나이가 많지 않다")가 참이라고 가정합니다. 그러면 I과 III는 둘 다 거짓입니다. II가 참이므로: 에 K.MD.A.2 경우 3: 문장 III("셀린은 가장 어리지 않다")가 참이라고 가정합니다. 그러면 I과 II는 둘 다 거짓입니다. I이 거짓이므로: 빌은 최고 K.MD.A.2 순서를 마무리합니다. 에이미가 최고령이므로 남은 자리(중간과 최연소)는 빌과 셀린의 몫입니다. 셀린은 최연소가 아니므로 빌이 최연소가 되어야 하 검토
합리성 확인: 살아남은 순서 에이미 > 셀린 > 빌을 세 문장과 모두 대조해 봅니다. (I) 빌이 최고령? 에이미가 최고령이므로 거짓. (II) 에이미가 최고령이 아니다? 에이미가 최고령이므로 거짓. (III) 셀린이 최연소가 아니다? 최연소는 빌이므로 참. 정확히 하나만 참이고 둘은 거짓 — 문제 조건과 일치합니다. 경우 1과 2에서 분명한 모순이 나왔으므로 (E)가 유일한 답입니다.
대안 접근: 도구 #3을 선택지에 바로 적용해 봅니다. 각 순서를 보고 I, II, III 중 몇 개가 참이 되는지 셉니다. (A) 빌, 에이미, 셀린 — I 참, II 참, III 거짓: 둘 참, 탈락. (B) 에이미, 빌, 셀린 — I 거짓, II 거짓, III 거짓: 영 개, 탈락. (C) 셀린, 에이미, 빌 — I 거짓, II 참, III 참: 둘 참, 탈락. (D) 셀린, 빌, 에이미 — I 거짓, II 참, III 참: 둘 참, 탈락. (E) 에이미, 셀린, 빌 — I 거짓, II 거짓, III 참: 정확히 하나. 따라서 답은 (E).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 0)
K.MD.A.2공통 측정 속성을 가진 두 물체를 직접 비교하기 (나이를 둘씩 비교("최고령," "최연소," "최고령이 아니다")하고, 제약 조건이 각자의 위치를 결정해 주면 세 사람을 나이 순서대로 정렬하는 데 사용.)
⭐ 세 경우, 두 개는 모순, 하나만 살아남는다 — 이 AMC 8 문제는 유치원 수준의 "누가 더 나이가 많은가" 비교 능력만으로 풀려요.
⭐ 세 경우, 두 개는 모순, 하나만 살아남는다 — 이 AMC 8 문제는 유치원 수준의 "누가 더 나이가 많은가" 비교 능력만으로 풀려요.
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