AMC 8 · 2005 · #1
쉬운 모드 학년 3문제
코니가 어떤 수를 생각하고 있습니다. 코니는 그 수에 2를 곱해서 60을 얻었어요.
그런데 코니는 실수를 했습니다. 사실은 그 수를 2로 나누었어야 했어요.
코니가 얻었어야 할 올바른 답은 무엇일까요?
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AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 코니가 어떤 수에 $2$ 를 곱해서 $60$ 을 얻었습니다. 그런데 사실은 그 수를 $2$ 로 나눴어야 했습니다. 올바른 답은 얼마일까요?
주어진 것: 코니의 잘못된 계산: (어떤 수) $\times 2 = 60$; 코니가 했어야 할 계산: (어떤 수) $\div 2$; 선택지: (A) $7.5$, (B) $15$, (C) $30$, (D) $120$, (E) $240$
구하는 것: 올바른 답 — 어떤 수를 $2$ 로 나눈 결과
이해
문제 재정리: 코니가 어떤 수에 $2$ 를 곱해서 $60$ 을 얻었습니다. 그런데 사실은 그 수를 $2$ 로 나눴어야 했습니다. 올바른 답은 얼마일까요?
주어진 것: 코니의 잘못된 계산: (어떤 수) $\times 2 = 60$; 코니가 했어야 할 계산: (어떤 수) $\div 2$; 선택지: (A) $7.5$, (B) $15$, (C) $30$, (D) $120$, (E) $240$
계획
주요 도구: #8 거꾸로 풀기
보조 도구: #3 방정식 세우기
어떤 수가 무엇인지는 모르지만, 그 수에 $2$ 를 곱한 결과는 알고 있어요. 도구 #8(거꾸로 풀기) 의 핵심은 "잘못된 단계를 되돌려서 원래 수를 복구한 뒤, 올바른 단계를 적용한다" 입니다. 도구 #3(방정식 세우기) 도 같은 길을 알려줍니다: $2 \times n = 60$ 을 세우고 $n$ 을 구한 다음 $n \div 2$ 를 계산하면 됩니다. 두 도구 모두 "틀린 단계를 되돌리고, 맞는 단계를 밟는다" 라는 같은 계획을 가리킵니다.
실행 — 정답: B
3.OA.A.4 단계 1 - 잘못된 계산을 식으로 씁니다.
- 어떤 수를 $n$ 이라고 합시다.
- 코니는 $n$ 에 $2$ 를 곱해 $60$ 을 얻었습니다.
💡 3학년에서는 이걸 "빈칸 곱셈" 으로 봅니다: $2 \times \square = 60$.
3.OA.B.6 단계 2 - $n$ 을 되찾기 위해 거꾸로 갑니다.
- $2$ 를 곱하는 것의 역연산은 $2$ 로 나누는 것이므로, 양변을 $2$ 로 나눕니다.
💡 나눗셈은 곱셈을 되돌립니다. 두 배로 만들어 $60$ 이 됐다면, 원래 수는 $60$ 의 절반입니다.
3.OA.A.2 단계 3 - 이제 코니가 했어야 할 계산을 합니다.
- 어떤 수 $n = 30$ 을 $2$ 로 나눕니다.
💡 $30$ 을 $2$ 묶음으로 똑같이 나누면 한 묶음에 $15$ 씩 들어갑니다.
3.OA.A.4 잘못된 계산을 식으로 씁니다. 어떤 수를 $n$ 이라고 합시다. 코니는 $n$ 에 $2$ 를 곱해 $60$ 을 얻었습니다. 3.OA.B.6 $n$ 을 되찾기 위해 거꾸로 갑니다. $2$ 를 곱하는 것의 역연산은 $2$ 로 나누는 것이므로, 양변을 $2$ 로 나눕니다. 3.OA.A.2 이제 코니가 했어야 할 계산을 합니다. 어떤 수 $n = 30$ 을 $2$ 로 나눕니다. 검토
합리성 확인: 흐름을 확인해 봅시다: $30 \times 2 = 60$ (코니의 잘못된 결과와 일치) 이고 $30 \div 2 = 15$ (올바른 답). 잘못된 답 $60$ 은 올바른 답의 $4$ 배여야 합니다. $2$ 로 나누는 대신 $2$ 를 곱했으므로 결과는 $4$ 배 커지기 때문이죠 — 실제로 $60 = 4 \times 15$. 선택지 (C) $30$ 은 함정입니다(그건 어떤 수일 뿐, 답이 아님). (D) $120$ 은 한 번 더 두 배, (E) $240$ 은 네 배로 모두 반대 방향입니다.
대안 접근: 도구 #10(비슷한 문제 이용하기): 올바른 답은 $n$ 을 $2$ 로 나눈 값이고, 코니의 $60$ 은 $n$ 에 $2$ 를 곱한 값입니다. "$\times 2$" 에서 "$\div 2$" 로 바꾸면 결과는 $\tfrac{1/2}{2} = \tfrac{1}{4}$ 배가 되므로, 올바른 답은 $60 \div 4$ 입니다. $60 \div 4 = 15$ 로 바로 (B). $n$ 을 따로 구하지 않아도 됩니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)
3.OA.A.2자연수의 자연수 나눗셈의 몫을 해석하기 ($30 \div 2 = 15$ 를 "$30$ 을 $2$ 묶음으로 똑같이 나누면 한 묶음에 $15$" 로 읽는 데 사용.)3.OA.A.4곱셈 또는 나눗셈 식에서 미지수 자연수 구하기 (잘못된 계산을 $2 \times n = 60$ 으로 적어 $n$ 을 미지수로 두는 데 사용.)3.OA.B.6나눗셈을 미지의 인수를 구하는 문제로 이해하기 (곱셈을 되돌려 $n = 60 \div 2 = 30$ 으로 어떤 수를 복구하는 데 사용.)
⭐ 누군가 잘못된 연산을 했다면, 그 연산을 먼저 되돌려서 숨은 수를 찾고 그다음에 올바른 연산을 하세요. 여기서는 $\times 2$ 를 되돌려 $30$ 을 찾고, 올바른 $\div 2$ 를 적용해 $15$ 를 얻습니다.
⭐ 누군가 잘못된 연산을 했다면, 그 연산을 먼저 되돌려서 숨은 수를 찾고 그다음에 올바른 연산을 하세요. 여기서는 $\times 2$ 를 되돌려 $30$ 을 찾고, 올바른 $\div 2$ 를 적용해 $15$ 를 얻습니다.
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