AMC 8 · 2005 · #10

쉬운 모드 학년 4

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문제

조이가 집에서 학교를 향해 걸어가고 있어요. 절반쯤 갔을 때 늦었다는 걸 깨닫고, 남은 길은 뛰어가기로 했습니다.

처음 절반을 걸어가는 데 $6$ 분이 걸렸어요. 그리고 조이가 뛰는 속도는 걷는 속도의 $3$ 배입니다.

조이가 집에서 학교까지 가는 데 모두 몇 분이 걸렸을까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

7.3

(C)

7.7

(D)

(E)

8.3

AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: Joe 는 집에서 학교까지 가는 거리의 절반을 먼저 걸어가고, 나머지 절반은 뛰어갑니다. 뛰는 속력은 걷는 속력의 $3$ 배이고, 절반을 걷는 데 $6$ 분이 걸렸어요. 집에서 학교까지 가는 데 걸린 총 시간은 몇 분일까요?

주어진 것: 절반을 걷는 데 $6$ 분이 걸린다; 뛰는 속력 $= 3 \times$ 걷는 속력; 두 절반의 거리는 같다; 선택지: (A) $7$, (B) $7.3$, (C) $7.7$, (D) $8$, (E) $8.3$

구하는 것: 집에서 학교까지 가는 총 시간 (분)

이해

주어진 것: 절반을 걷는 데 $6$ 분이 걸린다; 뛰는 속력 $= 3 \times$ 걷는 속력; 두 절반의 거리는 같다; 선택지: (A) $7$, (B) $7.3$, (C) $7.7$, (D) $8$, (E) $8.3$

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #5 패턴 찾기

도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) 로 여정을 두 조각으로 나눕니다 — (a) 시간이 주어진 "걷는 절반" 과 (b) 시간을 구해야 하는 "뛰는 절반". 각 조각은 짧은 계산 한 번이고, 총 시간은 그 둘을 더하면 끝납니다. 뛰는 절반의 시간은 도구 #5 (패턴 찾기) 로 잡습니다 — 거리는 같고 속력만 $3$ 배라면 시간은 $\tfrac{1}{3}$ 이 된다는 "같은 거리·속력과 시간은 반비례" 패턴이에요. 이렇게 하면 도구 #13 (대수로 바꾸기) 까지 가지 않고도 4–5학년 산수만으로 풀립니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.A.3 단계 1

작은 문제 1: 걷는 시간을 적습니다.
문제에서 직접 알려줘요 — Joe 는 첫 절반을 $6$ 분에 걸었습니다.

$$t_{\text{걷기}} = 6 \text{ 분}$$

💡 문제의 절반은 이미 풀려 있어요. 이름만 붙이고 다음으로 넘어갑니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.A.2 단계 2

작은 문제 2: 뛰는 시간을 구합니다.
뛰는 절반은 걷는 절반과 거리가 같지만 Joe 가 $3$ 배 빠릅니다.
같은 거리를 $3$ 배 속력으로 가면 시간은 $\tfrac{1}{3}$ 이 됩니다 — 거리가 고정될 때 속력과 시간이 반비례한다는 패턴이에요.

$$t_{\text{뛰기}} = \dfrac{1}{3} \times t_{\text{걷기}} = \dfrac{1}{3} \times 6 = 2 \text{ 분}$$

💡 "$3$ 배 빠르게" 는 곱셈 비교입니다 — 같은 비율로 시간이 $\tfrac{1}{3}$ 로 줄어들어요.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 3

두 작은 문제의 시간을 더해 총 시간을 구하고 선택지와 맞춰 봅니다.

$$t_{\text{총}} = t_{\text{걷기}} + t_{\text{뛰기}} = 6 + 2 = 8 \text{ 분} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 쪼갠 답들을 마지막에 다시 합하는 것이 "쪼개기" 계획의 마지막 단계입니다.

[1] #7 3.OA.A.3 작은 문제 1: 걷는 시간을 적습니다. 문제에서 직접 알려줘요 — Joe 는 첫 절반을 $6$ 분에 걸었습니다.

[2] #5 4.OA.A.2 작은 문제 2: 뛰는 시간을 구합니다. 뛰는 절반은 걷는 절반과 거리가 같지만 Joe 가 $3$ 배 빠릅니다. 같은 거리를 $3$ 배 속력으로

[3] #7 4.OA.A.3 두 작은 문제의 시간을 더해 총 시간을 구하고 선택지와 맞춰 봅니다.

검토

합리성 확인: 구체적인 수로 점검해 봅시다. 절반 거리가 $6$ 블록이라면, $6$ 분에 $6$ 블록을 걸으니 분당 $1$ 블록입니다. $3$ 배 속력으로 뛰면 분당 $3$ 블록이고, 같은 $6$ 블록은 $6 \div 3 = 2$ 분이 걸려요. 총 $6 + 2 = 8$ 분. 크기 점검: 정답은 $6$ 분보다 커야 하고 ($6$ 분은 절반만 걸었을 때이므로), $12$ 분보다는 작아야 합니다 (전부 걸었으면 $12$ 분). $8$ 분은 그 사이에 잘 들어가요. 함정 선택지 $7.3$, $7.7$, $8.3$ 은 "$6 + \tfrac{6}{3}$" 을 소수로 잘못 계산한 모양이고, $7$ 은 둘째 절반을 $6$ 배 빠르게 뛰었을 때 나올 답입니다.

대안 접근: 도구 #8 (단위 살펴보기): $6$ 분에 절반 거리를 걸으면 걷는 속력은 $\tfrac{1 \text{ 절반거리}}{6 \text{ 분}}$. 뛰는 속력은 그 $3$ 배이므로 $\tfrac{3 \text{ 절반거리}}{6 \text{ 분}} = \tfrac{1 \text{ 절반거리}}{2 \text{ 분}}$. 둘째 절반을 가는 데 $2$ 분이 걸리고, 총합은 다시 $6 + 2 = 8$ 분, 답 (D) 와 일치합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.OA.A.3 $100$ 이내의 곱셈·나눗셈을 이용해 문장제 풀기 (문제에서 걷는 시간 $6$ 분을 그대로 읽어내고, 두 작은 문제의 시간을 세우는 기본 연산에 사용.)
4.OA.A.2 곱셈 비교가 포함된 문장제를 곱셈·나눗셈으로 풀기 ("$3$ 배 빠르게 뛴다" 를 "뛰는 시간은 걷는 시간의 $\tfrac{1}{3}$" 로 바꾸어 $t_{\text{뛰기}} = \tfrac{1}{3} \times 6 = 2$ 분을 얻는 데 사용.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 다단계 문장제 풀기 (걷는 시간과 뛰는 시간을 더해 $6 + 2 = 8$ 분을 구하는 데 사용.)

⭐ 여정을 걷는 절반과 뛰는 절반으로 쪼개세요. 뛰는 절반은 같은 거리를 $3$ 배 빠르게 가는 것이므로 시간은 $\tfrac{1}{3}$ — 이 반비례 한 가지 아이디어가 AMC 8 문제를 4학년 곱셈-비교 문제로 줄여 줍니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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