AMC 8 · 2005 · #10

학년 4 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

rateratio-proportionfraction-arithmetic identify-subproblemsratio-proportion ↑ 선수 지식: ratefraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Joe had walked half way from home to school when he realized he was late. He ran the rest of the way to school. He ran 3 times as fast as he walked. Joe took 6 minutes to walk half way to school. How many minutes did it take Joe to get from home to school?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

7.3

(C)

7.7

(D)

(E)

8.3

AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: Joe 는 집에서 학교까지 가는 거리의 절반을 먼저 걸어가고, 나머지 절반은 뛰어갑니다. 뛰는 속력은 걷는 속력의 $3$ 배이고, 절반을 걷는 데 $6$ 분이 걸렸어요. 집에서 학교까지 가는 데 걸린 총 시간은 몇 분일까요?

주어진 것: 절반을 걷는 데 $6$ 분이 걸린다; 뛰는 속력 $= 3 \times$ 걷는 속력; 두 절반의 거리는 같다; 선택지: (A) $7$, (B) $7.3$, (C) $7.7$, (D) $8$, (E) $8.3$

구하는 것: 집에서 학교까지 가는 총 시간 (분)

이해

주어진 것: 절반을 걷는 데 $6$ 분이 걸린다; 뛰는 속력 $= 3 \times$ 걷는 속력; 두 절반의 거리는 같다; 선택지: (A) $7$, (B) $7.3$, (C) $7.7$, (D) $8$, (E) $8.3$

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #5 패턴 찾기

도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) 로 여정을 두 조각으로 나눕니다 — (a) 시간이 주어진 "걷는 절반" 과 (b) 시간을 구해야 하는 "뛰는 절반". 각 조각은 짧은 계산 한 번이고, 총 시간은 그 둘을 더하면 끝납니다. 뛰는 절반의 시간은 도구 #5 (패턴 찾기) 로 잡습니다 — 거리는 같고 속력만 $3$ 배라면 시간은 $\tfrac{1}{3}$ 이 된다는 "같은 거리·속력과 시간은 반비례" 패턴이에요. 이렇게 하면 도구 #13 (대수로 바꾸기) 까지 가지 않고도 4–5학년 산수만으로 풀립니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.A.3 단계 1

작은 문제 1: 걷는 시간을 적습니다.
문제에서 직접 알려줘요 — Joe 는 첫 절반을 $6$ 분에 걸었습니다.

$$t_{\text{걷기}} = 6 \text{ 분}$$

💡 문제의 절반은 이미 풀려 있어요. 이름만 붙이고 다음으로 넘어갑니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.A.2 단계 2

작은 문제 2: 뛰는 시간을 구합니다.
뛰는 절반은 걷는 절반과 거리가 같지만 Joe 가 $3$ 배 빠릅니다.
같은 거리를 $3$ 배 속력으로 가면 시간은 $\tfrac{1}{3}$ 이 됩니다 — 거리가 고정될 때 속력과 시간이 반비례한다는 패턴이에요.

$$t_{\text{뛰기}} = \dfrac{1}{3} \times t_{\text{걷기}} = \dfrac{1}{3} \times 6 = 2 \text{ 분}$$

💡 "$3$ 배 빠르게" 는 곱셈 비교입니다 — 같은 비율로 시간이 $\tfrac{1}{3}$ 로 줄어들어요.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 3

두 작은 문제의 시간을 더해 총 시간을 구하고 선택지와 맞춰 봅니다.

$$t_{\text{총}} = t_{\text{걷기}} + t_{\text{뛰기}} = 6 + 2 = 8 \text{ 분} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 쪼갠 답들을 마지막에 다시 합하는 것이 "쪼개기" 계획의 마지막 단계입니다.

[1] #7 3.OA.A.3 작은 문제 1: 걷는 시간을 적습니다. 문제에서 직접 알려줘요 — Joe 는 첫 절반을 $6$ 분에 걸었습니다.

[2] #5 4.OA.A.2 작은 문제 2: 뛰는 시간을 구합니다. 뛰는 절반은 걷는 절반과 거리가 같지만 Joe 가 $3$ 배 빠릅니다. 같은 거리를 $3$ 배 속력으로

[3] #7 4.OA.A.3 두 작은 문제의 시간을 더해 총 시간을 구하고 선택지와 맞춰 봅니다.

검토

합리성 확인: 구체적인 수로 점검해 봅시다. 절반 거리가 $6$ 블록이라면, $6$ 분에 $6$ 블록을 걸으니 분당 $1$ 블록입니다. $3$ 배 속력으로 뛰면 분당 $3$ 블록이고, 같은 $6$ 블록은 $6 \div 3 = 2$ 분이 걸려요. 총 $6 + 2 = 8$ 분. 크기 점검: 정답은 $6$ 분보다 커야 하고 ($6$ 분은 절반만 걸었을 때이므로), $12$ 분보다는 작아야 합니다 (전부 걸었으면 $12$ 분). $8$ 분은 그 사이에 잘 들어가요. 함정 선택지 $7.3$, $7.7$, $8.3$ 은 "$6 + \tfrac{6}{3}$" 을 소수로 잘못 계산한 모양이고, $7$ 은 둘째 절반을 $6$ 배 빠르게 뛰었을 때 나올 답입니다.

대안 접근: 도구 #8 (단위 살펴보기): $6$ 분에 절반 거리를 걸으면 걷는 속력은 $\tfrac{1 \text{ 절반거리}}{6 \text{ 분}}$. 뛰는 속력은 그 $3$ 배이므로 $\tfrac{3 \text{ 절반거리}}{6 \text{ 분}} = \tfrac{1 \text{ 절반거리}}{2 \text{ 분}}$. 둘째 절반을 가는 데 $2$ 분이 걸리고, 총합은 다시 $6 + 2 = 8$ 분, 답 (D) 와 일치합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.OA.A.3 $100$ 이내의 곱셈·나눗셈을 이용해 문장제 풀기 (문제에서 걷는 시간 $6$ 분을 그대로 읽어내고, 두 작은 문제의 시간을 세우는 기본 연산에 사용.)
4.OA.A.2 곱셈 비교가 포함된 문장제를 곱셈·나눗셈으로 풀기 ("$3$ 배 빠르게 뛴다" 를 "뛰는 시간은 걷는 시간의 $\tfrac{1}{3}$" 로 바꾸어 $t_{\text{뛰기}} = \tfrac{1}{3} \times 6 = 2$ 분을 얻는 데 사용.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 다단계 문장제 풀기 (걷는 시간과 뛰는 시간을 더해 $6 + 2 = 8$ 분을 구하는 데 사용.)

⭐ 여정을 걷는 절반과 뛰는 절반으로 쪼개세요. 뛰는 절반은 같은 거리를 $3$ 배 빠르게 가는 것이므로 시간은 $\tfrac{1}{3}$ — 이 반비례 한 가지 아이디어가 AMC 8 문제를 4학년 곱셈-비교 문제로 줄여 줍니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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