AMC 8 · 2005 · #4

쉬운 모드 학년 5

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문제

정사각형 하나와 삼각형 하나가 있다고 생각해봅시다. 두 도형의 둘레는 서로 같습니다.

삼각형의 세 변의 길이는 각각 $6.1$ cm, $8.2$ cm, $9.7$ cm입니다.

정사각형의 넓이는 몇 제곱센티미터일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정사각형과 삼각형의 둘레가 같습니다. 삼각형의 세 변의 길이는 $6.1$ cm, $8.2$ cm, $9.7$ cm 입니다. 정사각형의 넓이를 제곱센티미터 단위로 구하세요.

주어진 것: 삼각형의 세 변: $6.1$ cm, $8.2$ cm, $9.7$ cm; 정사각형과 삼각형의 둘레가 같다; 선택지: (A) $24$, (B) $25$, (C) $36$, (D) $48$, (E) $64$

구하는 것: 정사각형의 넓이 (cm$^2$)

이해

주어진 것: 삼각형의 세 변: $6.1$ cm, $8.2$ cm, $9.7$ cm; 정사각형과 삼각형의 둘레가 같다; 선택지: (A) $24$, (B) $25$, (C) $36$, (D) $48$, (E) $64$

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 나누기

보조 도구: #1 그림 그리기

짧은 문장 뒤에 세 가지 작업이 연결되어 있어서, 도구 #7(작은 문제로 나누기)을 쓰면 순서가 깔끔해집니다: (i) 삼각형의 세 변을 더해 공통 둘레를 구하고, (ii) 그 둘레를 $4$ 로 나눠 정사각형의 한 변을 구하고, (iii) 그 변을 제곱해 넓이를 구합니다. 도구 #1(그림 그리기)은 보조 역할이에요. 삼각형과 정사각형을 따로 그려 보면 "둘레가 같다" 가 두 도형을 이어주는 유일한 다리이고, 정사각형의 네 변이 같다는 점에서 $\div 4$ 가 자연스럽게 떠오릅니다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 나누기 5.NBT.B.7 단계 1

작은 문제 1: 삼각형의 세 변을 더해 둘레를 구합니다.

$$6.1 + 8.2 + 9.7 = 24 \text{ cm}$$

💡 소수 첫째 자리까지의 덧셈은 5학년 계산이에요. 소수점을 맞추고 자리별로 더하면 됩니다.

#7 작은 문제로 나누기 3.MD.D.8 단계 2

작은 문제 2: 정사각형의 둘레도 $24$ cm 입니다.
정사각형은 네 변이 같으므로 둘레를 $4$ 로 나누면 한 변이 나옵니다.

$$\text{한 변} = \dfrac{24}{4} = 6 \text{ cm}$$

💡 정사각형 둘레 공식 $P = 4s$ 는 3학년 내용이라 $s = P/4$. 둘레가 같다는 조건 덕분에 $24$ 가 삼각형에서 정사각형으로 그대로 넘어옵니다.

#7 작은 문제로 나누기 3.MD.C.7 단계 3

작은 문제 3: 한 변을 제곱해 넓이를 구합니다.

$$\text{넓이} = 6 \times 6 = 36 \text{ cm}^2 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 정사각형의 넓이는 한 변 $\times$ 한 변, 3학년 표준입니다. $6 \times 6$ 정사각형 안에는 단위 정사각형이 $36$ 개 들어갑니다.

[1] #7 5.NBT.B.7 작은 문제 1: 삼각형의 세 변을 더해 둘레를 구합니다.

[2] #7 3.MD.D.8 작은 문제 2: 정사각형의 둘레도 $24$ cm 입니다. 정사각형은 네 변이 같으므로 둘레를 $4$ 로 나누면 한 변이 나옵니다.

[3] #7 3.MD.C.7 작은 문제 3: 한 변을 제곱해 넓이를 구합니다.

검토

합리성 확인: 둘레부터 다시 확인합니다. $6.1 + 8.2 = 14.3$, $14.3 + 9.7 = 24$ 로 $24$ cm 가 맞습니다. 이어서 $24 \div 4 = 6$, $6^2 = 36$ 이므로 (C) 와 일치합니다. 다른 선택지는 간단히 걸러집니다: (A) $24$ 는 둘레 값이지 넓이가 아니고, (E) $64 = 8^2$ 이려면 한 변이 $8$ 이어야 하는데 그러면 둘레가 $32 \ne 24$ 이고, (D) $48$ 은 완전제곱수가 아니라서 정수 변 정사각형의 넓이가 될 수 없습니다.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기): 세 변에 $6.1$, $8.2$, $9.7$ 을 적은 삼각형을 그리고 한 바퀴 돌면서 길이를 더해 보면 $24$ cm 에 도착합니다. 옆에 정사각형을 그려 같은 방법으로 한 바퀴 돌면 네 변의 합이 $24$ 이므로 한 변은 $6$ cm. 그 정사각형 안을 단위 정사각형으로 나누면 $6 \times 6$ 격자, 총 $36$ 개가 보입니다. 같은 답 (C).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

5.NBT.B.7 백분의 자리까지의 소수를 더하고 빼고 곱하고 나누기 (소수 첫째 자리를 맞춰 $6.1 + 8.2 + 9.7 = 24$ 를 계산하는 데 사용.)
3.MD.D.8 다각형의 둘레와 관련된 실생활 및 수학 문제 해결하기 (정사각형의 둘레 공식 $P = 4s$ 로부터 한 변 $= 24/4 = 6$ cm 를 구하는 데 사용.)
3.MD.C.7 넓이를 곱셈과 덧셈 연산에 연결하기 (한 변이 $6$ cm 인 정사각형의 넓이를 $6 \times 6 = 36$ cm$^2$ 로 계산하는 데 사용.)

⭐ 두 도형이 둘레를 공유하면 그 한 값이 두 도형을 잇는 유일한 다리예요 — 삼각형 세 변을 더해 다리를 건넌 뒤, 정사각형은 $\div 4$ 와 "한 변의 제곱" 으로 가볍게 마무리됩니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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