AMC 8 · 2005 · #4

학년 5 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

perimeterarea-rectanglesmulti-digit-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: perimeterarea-rectangles

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

A square and a triangle have equal perimeters. The lengths of the three sides of the triangle are 6.1 cm, 8.2 cm and 9.7 cm. What is the area of the square in square centimeters?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정사각형과 삼각형의 둘레가 같습니다. 삼각형의 세 변의 길이는 $6.1$ cm, $8.2$ cm, $9.7$ cm 입니다. 정사각형의 넓이를 제곱센티미터 단위로 구하세요.

주어진 것: 삼각형의 세 변: $6.1$ cm, $8.2$ cm, $9.7$ cm; 정사각형과 삼각형의 둘레가 같다; 선택지: (A) $24$, (B) $25$, (C) $36$, (D) $48$, (E) $64$

구하는 것: 정사각형의 넓이 (cm$^2$)

이해

주어진 것: 삼각형의 세 변: $6.1$ cm, $8.2$ cm, $9.7$ cm; 정사각형과 삼각형의 둘레가 같다; 선택지: (A) $24$, (B) $25$, (C) $36$, (D) $48$, (E) $64$

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 나누기

보조 도구: #1 그림 그리기

짧은 문장 뒤에 세 가지 작업이 연결되어 있어서, 도구 #7(작은 문제로 나누기)을 쓰면 순서가 깔끔해집니다: (i) 삼각형의 세 변을 더해 공통 둘레를 구하고, (ii) 그 둘레를 $4$ 로 나눠 정사각형의 한 변을 구하고, (iii) 그 변을 제곱해 넓이를 구합니다. 도구 #1(그림 그리기)은 보조 역할이에요. 삼각형과 정사각형을 따로 그려 보면 "둘레가 같다" 가 두 도형을 이어주는 유일한 다리이고, 정사각형의 네 변이 같다는 점에서 $\div 4$ 가 자연스럽게 떠오릅니다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 나누기 5.NBT.B.7 단계 1

작은 문제 1: 삼각형의 세 변을 더해 둘레를 구합니다.

$$6.1 + 8.2 + 9.7 = 24 \text{ cm}$$

💡 소수 첫째 자리까지의 덧셈은 5학년 계산이에요. 소수점을 맞추고 자리별로 더하면 됩니다.

#7 작은 문제로 나누기 3.MD.D.8 단계 2

작은 문제 2: 정사각형의 둘레도 $24$ cm 입니다.
정사각형은 네 변이 같으므로 둘레를 $4$ 로 나누면 한 변이 나옵니다.

$$\text{한 변} = \dfrac{24}{4} = 6 \text{ cm}$$

💡 정사각형 둘레 공식 $P = 4s$ 는 3학년 내용이라 $s = P/4$. 둘레가 같다는 조건 덕분에 $24$ 가 삼각형에서 정사각형으로 그대로 넘어옵니다.

#7 작은 문제로 나누기 3.MD.C.7 단계 3

작은 문제 3: 한 변을 제곱해 넓이를 구합니다.

$$\text{넓이} = 6 \times 6 = 36 \text{ cm}^2 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 정사각형의 넓이는 한 변 $\times$ 한 변, 3학년 표준입니다. $6 \times 6$ 정사각형 안에는 단위 정사각형이 $36$ 개 들어갑니다.

[1] #7 5.NBT.B.7 작은 문제 1: 삼각형의 세 변을 더해 둘레를 구합니다.

[2] #7 3.MD.D.8 작은 문제 2: 정사각형의 둘레도 $24$ cm 입니다. 정사각형은 네 변이 같으므로 둘레를 $4$ 로 나누면 한 변이 나옵니다.

[3] #7 3.MD.C.7 작은 문제 3: 한 변을 제곱해 넓이를 구합니다.

검토

합리성 확인: 둘레부터 다시 확인합니다. $6.1 + 8.2 = 14.3$, $14.3 + 9.7 = 24$ 로 $24$ cm 가 맞습니다. 이어서 $24 \div 4 = 6$, $6^2 = 36$ 이므로 (C) 와 일치합니다. 다른 선택지는 간단히 걸러집니다: (A) $24$ 는 둘레 값이지 넓이가 아니고, (E) $64 = 8^2$ 이려면 한 변이 $8$ 이어야 하는데 그러면 둘레가 $32 \ne 24$ 이고, (D) $48$ 은 완전제곱수가 아니라서 정수 변 정사각형의 넓이가 될 수 없습니다.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기): 세 변에 $6.1$, $8.2$, $9.7$ 을 적은 삼각형을 그리고 한 바퀴 돌면서 길이를 더해 보면 $24$ cm 에 도착합니다. 옆에 정사각형을 그려 같은 방법으로 한 바퀴 돌면 네 변의 합이 $24$ 이므로 한 변은 $6$ cm. 그 정사각형 안을 단위 정사각형으로 나누면 $6 \times 6$ 격자, 총 $36$ 개가 보입니다. 같은 답 (C).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

5.NBT.B.7 백분의 자리까지의 소수를 더하고 빼고 곱하고 나누기 (소수 첫째 자리를 맞춰 $6.1 + 8.2 + 9.7 = 24$ 를 계산하는 데 사용.)
3.MD.D.8 다각형의 둘레와 관련된 실생활 및 수학 문제 해결하기 (정사각형의 둘레 공식 $P = 4s$ 로부터 한 변 $= 24/4 = 6$ cm 를 구하는 데 사용.)
3.MD.C.7 넓이를 곱셈과 덧셈 연산에 연결하기 (한 변이 $6$ cm 인 정사각형의 넓이를 $6 \times 6 = 36$ cm$^2$ 로 계산하는 데 사용.)

⭐ 두 도형이 둘레를 공유하면 그 한 값이 두 도형을 잇는 유일한 다리예요 — 삼각형 세 변을 더해 다리를 건넌 뒤, 정사각형은 $\div 4$ 와 "한 변의 제곱" 으로 가볍게 마무리됩니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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