AMC 8 · 2014 · #9
쉬운 모드 학년 8문제
꼭짓점이 A, B, C인 삼각형을 떠올려봅시다.
변 AC 위의 어딘가에 점 D를 찍습니다. 그리고 B와 D를 잇는 선을 그어요. 이때 BD와 DC의 길이가 같도록 합니다. 그래서 작은 삼각형 BDC는 두 변의 길이가 같은 모양이 돼요.
작은 삼각형의 C 쪽 각의 크기는 70∘입니다.
D의 반대편 쪽 각, 즉 ∠ADB의 크기는 얼마일까요?
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AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $\triangle ABC$ 에서 점 $D$ 는 변 $\overline{AC}$ 위에 있고, $BD = DC$ 이며 $\angle BCD = 70^\circ$ 입니다. $\angle ADB$ 의 크기를 도(°) 단위로 구하세요.
주어진 것: $D$ 는 $\triangle ABC$ 의 변 $\overline{AC}$ 위의 점; $BD = DC$ ($\triangle BDC$ 의 두 변이 같음); $\angle BCD = 70^\circ$; 선택지: (A) $100$, (B) $120$, (C) $135$, (D) $140$, (E) $150$ (단위: 도)
구하는 것: $\angle ADB$ 의 크기(도)
이해
문제 재정리: $\triangle ABC$ 에서 점 $D$ 는 변 $\overline{AC}$ 위에 있고, $BD = DC$ 이며 $\angle BCD = 70^\circ$ 입니다. $\angle ADB$ 의 크기를 도(°) 단위로 구하세요.
주어진 것: $D$ 는 $\triangle ABC$ 의 변 $\overline{AC}$ 위의 점; $BD = DC$ ($\triangle BDC$ 의 두 변이 같음); $\angle BCD = 70^\circ$; 선택지: (A) $100$, (B) $120$, (C) $135$, (D) $140$, (E) $150$ (단위: 도)
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
순수 기하 문제이므로 도구 #1(그림 그리기) 이 출발점입니다 — $\triangle ABC$ 를 그리고 $\overline{AC}$ 위에 $D$ 를 찍은 뒤, $\overline{BD}$ 를 그리고 $BD$ 와 $DC$ 에 같은 길이 표시를 해 두면 $\triangle BDC$ 가 이등변삼각형이라는 구조가 한눈에 보입니다. 그림이 준비되면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 각 찾기를 두 단계로 나눕니다 — (a) 이등변삼각형 $\triangle BDC$ 안에서 $\angle BDC$ 를 먼저 구하고, (b) $\angle ADB$ 와 $\angle BDC$ 가 $D$ 에서 일직선을 이룬다는 사실로 $\angle ADB$ 를 구합니다. 각 단계가 모두 한 줄짜리 각 계산입니다.
실행 — 정답: D
5.G.B.4 단계 1 - 그림에서 $\triangle BDC$ 는 $BD = DC$ 이므로 $\overline{BC}$ 를 밑변으로 하는 이등변삼각형입니다.
- 같은 두 변의 맞은편에 있는 두 밑각의 크기는 같아야 합니다.
- $BD$ 의 맞은편 각은 $\angle BCD$, $DC$ 의 맞은편 각은 $\angle DBC$ 이므로 $\angle DBC = \angle BCD = 70^\circ$ 가 됩니다.
💡 같은 변 표시를 보고 $\triangle BDC$ 를 이등변삼각형으로 분류하는 것은 5학년 "성질에 따라 2차원 도형 분류하기" 그대로입니다.
8.G.A.5 단계 2 - 어떤 삼각형이든 세 내각의 합은 $180^\circ$ 입니다.
- $\triangle BDC$ 에서 두 각의 크기($70^\circ$ 씩)가 이미 정해졌으니, 두 각의 합을 $180^\circ$ 에서 빼면 나머지 각 $\angle BDC$ 가 나옵니다.
💡 "삼각형의 세 내각의 합 $= 180^\circ$" 라는 사실은 8학년에서 비형식적으로 정당화하는 각의 합 정리입니다.
7.G.B.5 단계 3 - $D$ 가 $\overline{AC}$ 위에 있으므로 $\overrightarrow{DA}$ 와 $\overrightarrow{DC}$ 는 반대 방향이고, 둘이 합쳐 일직선을 이룹니다.
- $\angle ADB$ 와 $\angle BDC$ 는 그 일직선이 $\overline{DB}$ 를 기준으로 양쪽에 만드는 두 조각이라 보각 관계 — 두 각의 합이 $180^\circ$ 입니다.
💡 일직선 위 인접한 두 각이 보각을 이룬다는 것은 7학년 "보각·여각·맞꼭지각·인접각" 단원의 핵심 사실입니다.
5.G.B.4 그림에서 $\triangle BDC$ 는 $BD = DC$ 이므로 $\overline{BC}$ 를 밑변으로 하는 이등변삼각형입니다. 같은 두 변 8.G.A.5 어떤 삼각형이든 세 내각의 합은 $180^\circ$ 입니다. $\triangle BDC$ 에서 두 각의 크기($70^\circ$ 씩)가 이미 7.G.B.5 $D$ 가 $\overline{AC}$ 위에 있으므로 $\overrightarrow{DA}$ 와 $\overrightarrow{DC}$ 는 반대 검토
합리성 확인: 각의 덧셈으로 바로 확인됩니다 — $\angle ADB + \angle BDC = 140^\circ + 40^\circ = 180^\circ$ 로, $D$ 에서 일직선 $\overline{AC}$ 의 합과 일치합니다. 또 $140^\circ$ 는 둔각인데, 그림에서 $\overline{DB}$ 가 $\overline{DC}$ 에서 $A$ 쪽으로 살짝 기울어진 모습이므로 $A$ 쪽 각이 분명히 더 큰 조각이라는 직관과 맞습니다. $\triangle BDC$ 의 두 밑각이 각각 $70^\circ$ 이고 $70^\circ + 70^\circ + 40^\circ = 180^\circ$ 로 그림 속 모든 각이 빠짐없이 맞아떨어집니다.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 과 외각 정리(exterior-angle theorem) 의 한 줄 풀이 — $\angle ADB$ 는 $\triangle BDC$ 의 꼭짓점 $D$ 에서의 외각이고, 외각 정리에 의해 그 크기는 이웃하지 않은 두 내각의 합과 같습니다 — $\angle ADB = \angle DBC + \angle BCD = 70^\circ + 70^\circ = 140^\circ$. 같은 답이 한 줄에 나오고, 다른 선택지는 모두 바로 탈락합니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
5.G.B.4성질에 따라 2차원 도형 분류하기 ($BD = DC$ 라는 같은 변 조건으로 $\triangle BDC$ 를 이등변삼각형으로 분류해, 밑각 $\angle DBC$ 와 $\angle BCD$ 가 같아야 함을 끌어내는 데 사용.)8.G.A.5비형식적 논증으로 삼각형 세 내각의 합에 관한 사실 설명 ($\triangle BDC$ 안에서 세 내각의 합이 $180^\circ$ 라는 사실로 $\angle BDC = 180^\circ - 70^\circ - 70^\circ = 40^\circ$ 를 계산.)7.G.B.5보각·여각·맞꼭지각·인접각의 성질로 미지의 각 구하기 ($\angle ADB$ 와 $\angle BDC$ 가 $\overline{AC}$ 위 일직선에서 보각 관계임을 인식해 $\angle ADB + \angle BDC = 180^\circ$ 를 적용.)4.MD.C.7각의 크기는 더할 수 있다는 성질로 덧셈·뺄셈 문제 해결 ($70^\circ + 70^\circ$ 을 더하고 $180^\circ$ 에서 빼는 각의 덧·뺄셈으로 $\angle BDC$ 와 $\angle ADB$ 의 크기를 산출.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 8학년에서 배우는 "삼각형 세 내각의 합 = $180^\circ$" 와 7학년의 "일직선 위 두 각의 합 = $180^\circ$" 두 가지 사실만 알면 풀 수 있어요.
⭐ 이 AMC 8 문제는 8학년에서 배우는 "삼각형 세 내각의 합 = $180^\circ$" 와 7학년의 "일직선 위 두 각의 합 = $180^\circ$" 두 가지 사실만 알면 풀 수 있어요.
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