AMC 8 · 2024 · #9

쉬운 모드 학년 4

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문제

마리아가 구슬을 모아둔 상자가 있다고 상상해봅시다. 상자 안의 구슬은 모두 빨간색, 초록색, 파란색 중 하나예요.

빨간 구슬의 개수는 초록 구슬의 개수의 절반입니다. 그리고 파란 구슬의 개수는 초록 구슬의 개수의 두 배입니다.

이제 세 가지 색깔의 구슬 개수를 모두 더해서 전체 구슬의 개수를 구해봅시다. 아래 보기 중에서 그 전체 개수가 될 수 있는 수는 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 마리아의 구슬은 모두 빨강, 초록, 파랑 중 하나입니다. 빨강의 개수는 초록의 절반이고, 파랑의 개수는 초록의 두 배입니다. 보기 $24, 25, 26, 27, 28$ 중에서 전체 구슬 개수가 될 수 있는 것을 고르세요.

주어진 것: 구슬 색은 빨강(R), 초록(G), 파랑(B) 세 가지뿐; $R = \tfrac{1}{2} G$ (빨강은 초록의 절반); $B = 2G$ (파랑은 초록의 두 배); 선택지: (A) 24, (B) 25, (C) 26, (D) 27, (E) 28

구하는 것: 보기 중에서 전체 구슬 개수 $T = R + G + B$ 가 될 수 있는 값

이해

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #3 가능성 지우기

$G$ 가 짝수여야 한다는 점을 깨닫고 나면 가장 작은 짝수 $G = 2$ 부터 차근차근 넣어 보는 **#6 추측하고 확인하기** 가 가장 자연스럽습니다. 몇 개만 만들어 보면 전체 개수가 $7, 14, 21, 28, \dots$ 로 7씩 늘어나는 **#5 패턴**이 보입니다. 객관식 문제이니 마지막에 **#3 가능성 지우기** 로 보기 다섯 개 중 7의 배수인 것만 남기면 답이 확정됩니다. 대수($x$ 변수)를 쓰지 않고도 ‘직접 만들어 보는’ 방식으로 풀 수 있어 더 직관적입니다.

실행 — 정답: E

#6 추측하고 확인하기 4.OA.A.1 단계 1

먼저 가장 단순한 경우부터 만들어 봅니다.
빨강이 초록의 ‘절반’이라는 말은 ‘초록을 둘로 똑같이 나눈 것 중 하나만큼이 빨강’이라는 뜻이고, 파랑이 초록의 ‘두 배’라는 말은 ‘초록을 두 번 모은 것이 파랑’이라는 뜻입니다.
빨강 개수가 정수가 되려면 초록은 둘로 똑같이 나뉘어야 하므로 **짝수**여야 합니다.
가장 작은 짝수 $G=2$ 로 시도해 봅시다.

$$G = 2 \;\Rightarrow\; R = \tfrac{1}{2}\cdot 2 = 1,\; B = 2\cdot 2 = 4$$

💡 ‘절반만큼’, ‘두 배만큼’ 은 곱셈으로 두 양을 비교하는 표현이며, 이는 4학년의 곱셈적 비교 단원에서 다룹니다.

#6 추측하고 확인하기 1.OA.A.2 단계 2

$G=2$ 일 때 세 색을 모두 더해 총 개수를 구합니다.
$R + G + B = 1 + 2 + 4 = 7$.
즉, 가장 작은 경우의 전체 개수는 7개입니다.

$$T = 1 + 2 + 4 = 7$$

💡 세 수를 모두 더해 한 묶음의 합을 구하는 일은 1학년의 ‘세 수의 덧셈’ 단원에서 배우는 기본 기술입니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 3

다음 짝수 $G=4, 6, 8$ 을 넣고 총 개수를 줄지어 적어 패턴을 찾습니다.
$G=4$ 면 $(R,G,B)=(2,4,8)$ 이라 합 $14$.
$G=6$ 이면 $(3,6,12)$ 이라 합 $21$.
$G=8$ 이면 $(4,8,16)$ 이라 합 $28$.
합이 $7, 14, 21, 28, \dots$ 로 **7씩 늘어나는 규칙**입니다.
즉 가능한 총 개수는 모두 **7의 배수**입니다.

$$T \in \{7,\, 14,\, 21,\, 28,\, 35,\, \dots\} = \{7k : k \ge 1\}$$

💡 주어진 규칙(짝수 $G$ 하나마다 합이 7씩 늘어남)을 따라 수 패턴을 만드는 것은 4학년의 ‘규칙에 따른 수 패턴 만들기’ 표준입니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 4

이제 보기 다섯 개 중 7의 배수만 남기면 됩니다.
4학년에서 배운 곱셈표로 7의 배수를 떠올리면 $7, 14, 21, 28, 35, \dots$.
보기와 하나씩 맞춰 봅니다: (A) 24, (B) 25, (C) 26, (D) 27 은 모두 7의 배수가 아니므로 제거.
(E) 28 만 $7 \times 4$ 로 7의 배수입니다.
마지막으로 $T=28$ 이면 위에서 본 대로 $(R,G,B)=(4,8,16)$ 이 모두 자연수로 맞아떨어지므로 정답입니다.

$$28 = 7 \times 4 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}\; 28$$

💡 어떤 수가 다른 수의 배수인지 판단해 보기를 거르는 일은 4학년의 ‘약수와 배수’ 표준에서 다룹니다.

[1] #6 4.OA.A.1 먼저 가장 단순한 경우부터 만들어 봅니다. 빨강이 초록의 ‘절반’이라는 말은 ‘초록을 둘로 똑같이 나눈 것 중 하나만큼이 빨강’이라는 뜻이고,

[2] #6 1.OA.A.2 $G=2$ 일 때 세 색을 모두 더해 총 개수를 구합니다. $R + G + B = 1 + 2 + 4 = 7$. 즉, 가장 작은 경우의 전체 개수

[3] #5 4.OA.C.5 다음 짝수 $G=4, 6, 8$ 을 넣고 총 개수를 줄지어 적어 패턴을 찾습니다. $G=4$ 면 $(R,G,B)=(2,4,8)$ 이라 합 $14

[4] #3 4.OA.B.4 이제 보기 다섯 개 중 7의 배수만 남기면 됩니다. 4학년에서 배운 곱셈표로 7의 배수를 떠올리면 $7, 14, 21, 28, 35, \dots

검토

합리성 확인: 답 $28$ 을 다시 원래 비율에 넣어 확인합니다. 초록 $8$, 빨강 $4$($= 8 \div 2$, 초록의 절반 ✓), 파랑 $16$($= 8 \times 2$, 초록의 두 배 ✓), 합 $4 + 8 + 16 = 28$ ✓. 세 개수가 모두 자연수이므로 조건을 모두 만족합니다. 또한 빨강 1, 초록 2, 파랑 4 한 묶음이 7개이고, 한 묶음을 $k$ 번 모았을 때만 전체 개수가 만들어지므로 7의 배수인 28 외에 24, 25, 26, 27 은 불가능합니다.

대안 접근: 도구 #13 (대수로 바꾸기) 로 풀 수도 있습니다. $G = 2x$ 라 두면 $R = x$, $B = 4x$ 이므로 $T = x + 2x + 4x = 7x$. 따라서 $T$ 는 반드시 7의 배수이고, 보기 중 28 만 해당합니다. 답은 같지만, 초등 단계에서는 작은 짝수부터 ‘만들어 보는’ #6 추측-확인 + #5 패턴 조합이 훨씬 직관적입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

1.OA.A.2 세 수의 합이 20 이하인 덧셈 문장제 풀기 (가장 작은 경우 $1 + 2 + 4 = 7$ 처럼 세 색 구슬 개수를 더해 총 개수를 구하는 데 사용.)
4.OA.A.1 곱셈식을 두 양의 비교로 해석하기 (‘초록의 절반만큼 빨강’, ‘초록의 두 배만큼 파랑’ 같은 곱셈적 비교 표현을 수치 관계로 옮기는 데 사용.)
4.OA.B.4 곱셈표를 이용해 약수와 배수를 찾고 소수·합성수를 판정하기 (보기 24, 25, 26, 27, 28 중 7의 배수인 것을 골라 정답을 확정하는 데 사용.)
4.OA.C.5 주어진 규칙에 따라 수나 도형 패턴 만들기 ($G = 2, 4, 6, 8$ 일 때 총 개수가 $7, 14, 21, 28$ 로 7씩 늘어나는 패턴을 만들어 ‘총 개수는 7의 배수’ 라는 결론을 끌어내는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 곱셈적 비교와 7의 배수만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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