AMC 10 · 2019 · #17

학년 7 geometry-3d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

permutations-basiccombinations-basiccombinatorial-identitycasework caseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: permutations-basiccombinations-basic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

A child builds towers using identically shaped cubes of different colors. How many different towers with a height $8$ cubes can the child build with $2$ red cubes, $3$ blue cubes, and $4$ green cubes? (One cube will be left out.)

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

288

(C)

312

(D)

1,260

(E)

40,320

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어린이가 빨강 $2$, 파랑 $3$, 초록 $4$ — 총 $9$ 개의 정육면체 블록을 가지고 있습니다. 그중 $8$ 개를 쌓아 탑을 만듭니다 (한 개는 남음). 같은 색끼리는 구별되지 않을 때, 만들 수 있는 서로 다른 탑의 개수를 구하세요.

주어진 것: 빨강 $2$ 개, 파랑 $3$ 개, 초록 $4$ 개 — 합 $9$ 개; 탑 높이 $= 8$ 개 (정확히 $1$ 개가 남음); 같은 색 블록은 구별되지 않음 — 색 패턴만 중요; 선택지: (A) $24$, (B) $288$, (C) $312$, (D) $1{,}260$, (E) $40{,}320$

구하는 것: 높이 $8$ 인 서로 다른 색 배열의 개수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

도구 #7 (쪼개기): 남는 블록의 색을 기준으로 세 경우로 깔끔하게 분리 — 각 경우는 작은 다항계수 계산. 도구 #2 (나열): 각 경우 안에서 답은 $\frac{8!}{a!\,b!\,c!}$ 형태. 도구 #3 (지우기): 객관식이므로 한 경우만 계산해도 답의 크기를 가늠해 (D) 외 다른 선택지를 빠르게 배제 가능.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 1

남는 블록 색에 따라 분리.
경우 R (빨강 하나 남김): 빨강 $1$, 파랑 $3$, 초록 $4$ — $8$ 개를 배열.
$\frac{8!}{1!\,3!\,4!}$.

$$\dfrac{8!}{1!\,3!\,4!} = \dfrac{40320}{1 \cdot 6 \cdot 24} = \dfrac{40320}{144} = 280$$

💡 같은 색은 구별 불가 $\Rightarrow$ 각 색의 팩토리얼로 나눔.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 2

경우 B (파랑 하나 남김): 빨강 $2$, 파랑 $2$, 초록 $4$.
$\frac{8!}{2!\,2!\,4!}$.

$$\dfrac{8!}{2!\,2!\,4!} = \dfrac{40320}{2 \cdot 2 \cdot 24} = \dfrac{40320}{96} = 420$$

💡 같은 공식 — 색 개수만 바뀜.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 3

경우 G (초록 하나 남김): 빨강 $2$, 파랑 $3$, 초록 $3$.
$\frac{8!}{2!\,3!\,3!}$.

$$\dfrac{8!}{2!\,3!\,3!} = \dfrac{40320}{2 \cdot 6 \cdot 6} = \dfrac{40320}{72} = 560$$

💡 세 경우 모두 같은 다항계수 패턴.

#3 가능성 지우기 4.OA.A.3 단계 4

세 경우는 서로 배타적 (하나의 탑에서 어떤 색이 남는지는 색 개수 패턴으로 유일하게 결정) 이므로 합산: $280 + 420 + 560 = 1260$.
선택지 (D).

$$280 + 420 + 560 = 1260 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 서로소 경우는 단순 합. 한 경우만 봐도 (D) 가 합리적.

[1] #7 7.SP.C.8 남는 블록 색에 따라 분리. 경우 R (빨강 하나 남김): 빨강 $1$, 파랑 $3$, 초록 $4$ — $8$ 개를 배열. $\frac{8!}{

[2] #7 7.SP.C.8 경우 B (파랑 하나 남김): 빨강 $2$, 파랑 $2$, 초록 $4$. $\frac{8!}{2!\,2!\,4!}$.

[3] #7 7.SP.C.8 경우 G (초록 하나 남김): 빨강 $2$, 파랑 $3$, 초록 $3$. $\frac{8!}{2!\,3!\,3!}$.

[4] #3 4.OA.A.3 세 경우는 서로 배타적 (하나의 탑에서 어떤 색이 남는지는 색 개수 패턴으로 유일하게 결정) 이므로 합산: $280 + 420 + 560 = 1

검토

합리성 확인: 만약 $9$ 개가 모두 구별된다면 $9! = 362880$ 인데, 선택지보다 훨씬 큼. 같은 색을 묶으면 크게 줄어듦. 깔끔한 검증: $9$ 개를 모두 쌓고 맨 아래를 "남는 블록" 으로 정한다는 대응 (일대일) 으로 $\frac{9!}{2!\,3!\,4!} = \frac{362880}{288} = 1260$ — 같은 값. (E) $40320 = 8!$ 은 "모두 다르다" 함정; (A) $24$, (B) $288$ 은 너무 작아 단일 분모처럼 보이는 함정; (C) $312$ 는 한 경우값에 가까운 트랩.

대안 접근: 도구 #16 (관점 바꾸기 / 일대일 대응): 모든 $8$ 짜리 탑은 $9$ 개 배열에서 맨 아래에 남는 블록을 놓아 둔 형태로 유일하게 대응되므로, 답은 한 번에 $\frac{9!}{2!\,3!\,4!} = 1260$. 경우 분리 없이 다항계수 하나로 끝.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 여러 단계의 문장제 해결 (세 경우 합 $280 + 420 + 560$ 을 합쳐 최종 총합 산출.)
7.SP.C.8 정리된 목록·표·시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 (같은 색 반복이 있는 $8$ 개 항목 배열 수를 다항계수로 계산.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 7학년 때 배운 정리된 세기만 알면 풀 수 있어요 — 남는 블록 색으로 분리해 각 경우의 다항계수를 더하면 $280 + 420 + 560 = 1260$. 답은 $\textbf{(D)}$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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