AMC 10 · 2020 · #3
학년 7 algebra문제
Assuming a=3, b=4, and c=5, what is the value in simplest form of the following expression?
5−ca−3⋅3−ab−4⋅4−bc−5
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AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 분모가 모두 $0$ 이 아니라는 조건 아래에서, $\dfrac{a-3}{5-c} \cdot \dfrac{b-4}{3-a} \cdot \dfrac{c-5}{4-b}$ 의 간단한 형태를 구하세요.
주어진 것: 세 분수의 곱; 분자: $a-3$, $b-4$, $c-5$; 분모: $5-c$, $3-a$, $4-b$; $a \neq 3$, $b \neq 4$, $c \neq 5$ (분모가 $0$ 이 되지 않음); 선택지: (A) $-1$, (B) $1$, (C) $\frac{abc}{60}$, (D) $\frac{1}{abc} - \frac{1}{60}$, (E) $\frac{1}{60} - \frac{1}{abc}$
구하는 것: 곱의 간단한 형태
이해
문제 재정리: 분모가 모두 $0$ 이 아니라는 조건 아래에서, $\dfrac{a-3}{5-c} \cdot \dfrac{b-4}{3-a} \cdot \dfrac{c-5}{4-b}$ 의 간단한 형태를 구하세요.
주어진 것: 세 분수의 곱; 분자: $a-3$, $b-4$, $c-5$; 분모: $5-c$, $3-a$, $4-b$; $a \neq 3$, $b \neq 4$, $c \neq 5$ (분모가 $0$ 이 되지 않음); 선택지: (A) $-1$, (B) $1$, (C) $\frac{abc}{60}$, (D) $\frac{1}{abc} - \frac{1}{60}$, (E) $\frac{1}{60} - \frac{1}{abc}$
계획
주요 도구: #5 패턴 찾기
보조 도구: #15 다르게 정리하기, #6 추측하고 확인하기, #3 가능성 지우기
도구 #5(패턴 찾기): 모든 분자 $(a-3), (b-4), (c-5)$ 가 어떤 분모 $-(3-a), -(4-b), -(5-c)$ 의 부호 반대. 이 반복 구조 하나가 문제 전체. 도구 #15(다르게 정리하기) — 분수들의 짝을 다시 묶어 분자가 자기 자신의 부호 반대 위에 오게 정리: $\frac{a-3}{3-a} \cdot \frac{b-4}{4-b} \cdot \frac{c-5}{5-c}$. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 더 빠른 안전길 — 쉬운 수 ($a=b=c=0$) 를 넣어 직접 계산. 도구 #3(가능성 지우기)으로 확정 — 결과가 $a, b, c$ 와 무관한 상수여야 하므로 (C), (D), (E) 는 모두 탈락.
실행 — 정답: A
6.NS.C.5 단계 1 - 패턴 발견: 각 분자는 어떤 분모의 부호 반대.
- $(a - 3) = -(3 - a)$, $(b - 4) = -(4 - b)$, $(c - 5) = -(5 - c)$.
💡 뺄셈의 순서를 바꾸면 부호가 뒤집힘 — 6학년 "양수·음수(반대 수)" 이해.
3.OA.B.5 단계 2 - 분자를 자기 자신의 부호 반대 위로 오도록 곱셈 순서를 다시 묶기.
- 곱셈은 순서를 바꿔도 되므로 $(a-3)$ 은 $(3-a)$ 와, $(b-4)$ 는 $(4-b)$ 와, $(c-5)$ 는 $(5-c)$ 와 짝짓기.
💡 곱셈의 교환법칙으로 짝을 바꿔 패턴이 보이게 정리.
7.NS.A.2 단계 3 - 다시 짝지은 각 분수는 $\frac{\text{어떤 식}}{-\text{같은 식}} = -1$.
- 셋을 곱하면 $(-1)(-1)(-1) = -1$.
💡 음수 세 개를 곱하면 음수 — 7학년 "부호가 있는 수의 곱셈" 규칙.
7.NS.A.2 단계 4 - 구체적 수로 확인.
- $a = 0, b = 0, c = 0$ (모두 $3, 4, 5$ 와 달라 유효) 을 넣으면 곱이 $\frac{-3}{5} \cdot \frac{-4}{3} \cdot \frac{-5}{4} = \frac{(-3)(-4)(-5)}{5 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{-60}{60} = -1$.
💡 $0$ 을 대입하면 계산이 작아져서 간단히 검증 가능.
6.EE.A.4 단계 5 - 변수가 들어간 선택지 제거.
- (C), (D), (E) 는 $abc$ 를 포함하지만 우리 결과는 모든 유효한 입력에 대해 상수 $-1$.
- 따라서 이 셋은 제외.
- (A) $-1$ 과 (B) $+1$ 중 부호 확인으로 (A) 확정.
💡 한 개의 구체적 입력으로 일치 여부를 확인 — 상수와 변수식이 모든 입력에서 같을 수는 없음.
6.NS.C.5 패턴 발견: 각 분자는 어떤 분모의 부호 반대. $(a - 3) = -(3 - a)$, $(b - 4) = -(4 - b)$, $(c - 5) 3.OA.B.5 분자를 자기 자신의 부호 반대 위로 오도록 곱셈 순서를 다시 묶기. 곱셈은 순서를 바꿔도 되므로 $(a-3)$ 은 $(3-a)$ 와, $(b-4 7.NS.A.2 다시 짝지은 각 분수는 $\frac{\text{어떤 식}}{-\text{같은 식}} = -1$. 셋을 곱하면 $(-1)(-1)(-1) = -1$ 7.NS.A.2 구체적 수로 확인. $a = 0, b = 0, c = 0$ (모두 $3, 4, 5$ 와 달라 유효) 을 넣으면 곱이 $\frac{-3}{5} \ 6.EE.A.4 변수가 들어간 선택지 제거. (C), (D), (E) 는 $abc$ 를 포함하지만 우리 결과는 모든 유효한 입력에 대해 상수 $-1$. 따라서 검토
합리성 확인: 다른 세 수로 한 번 더 확인. $a = 1, b = 1, c = 1$: 곱 $= \frac{-2}{4} \cdot \frac{-3}{2} \cdot \frac{-4}{3} = \frac{(-2)(-3)(-4)}{4 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{-24}{24} = -1$. 같은 답 — (A) 가 일관됨.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인)만으로도 1분 안에 끝낼 수 있는 길이에요. AMC 객관식에서는 적당한 수를 대입해 보는 게 종종 대수적 변형보다 빠릅니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
3.OA.B.5곱셈·나눗셈의 성질을 전략으로 활용 (곱셈의 교환법칙으로 세 분수 $\frac{a-3}{3-a}, \frac{b-4}{4-b}, \frac{c-5}{5-c}$ 의 짝을 다시 정리.)6.NS.C.5양수·음수가 양을 나타내는 방식을 이해 ($(a-3)$ 와 $(3-a)$ 가 서로 반대 부호임을 인식 — 뺄셈 순서를 바꾸면 부호가 뒤집힘.)6.EE.A.4두 식이 같음을 식별 (한 개의 구체적 입력만으로도 $a, b, c$ 에 의존하는 선택지를 즉시 제외.)7.NS.A.2유리수의 곱셈·나눗셈으로 확장 ($(-1)(-1)(-1) = -1$ 계산과 부호가 있는 분수 검증.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 7학년 "부호 있는 수의 곱셈" 만 알면 풀 수 있어요 — 각 분자가 한 분모의 부호 반대라 짝마다 $-1$, 셋을 곱하면 답은 $-1$ 이에요!
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 7학년 "부호 있는 수의 곱셈" 만 알면 풀 수 있어요 — 각 분자가 한 분모의 부호 반대라 짝마다 $-1$, 셋을 곱하면 답은 $-1$ 이에요!
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