AMC 10 · 2020 · #14
학년 7 arithmetic문제
Real numbers x and y satisfy x+y=4 and x⋅y=−2. What is the value of
x+y2x3+x2y3+y?
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AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 실수 $x, y$ 가 $x + y = 4$ 와 $xy = -2$ 를 만족합니다. $x + \dfrac{x^3}{y^2} + \dfrac{y^3}{x^2} + y$ 의 값을 구하세요.
주어진 것: $x + y = 4$; $xy = -2$; 구하는 식: $E = x + \dfrac{x^3}{y^2} + \dfrac{y^3}{x^2} + y$; 선택지: $360,\; 400,\; 420,\; 440,\; 480$
구하는 것: $E$ 의 값
이해
문제 재정리: 실수 $x, y$ 가 $x + y = 4$ 와 $xy = -2$ 를 만족합니다. $x + \dfrac{x^3}{y^2} + \dfrac{y^3}{x^2} + y$ 의 값을 구하세요.
주어진 것: $x + y = 4$; $xy = -2$; 구하는 식: $E = x + \dfrac{x^3}{y^2} + \dfrac{y^3}{x^2} + y$; 선택지: $360,\; 400,\; 420,\; 440,\; 480$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기
도구 #7(쪼개기): 네 항을 그대로 더하지 말고 짝짓기. $\big(x + \dfrac{y^3}{x^2}\big) + \big(\dfrac{x^3}{y^2} + y\big) = \dfrac{x^3 + y^3}{x^2} + \dfrac{x^3 + y^3}{y^2}$, 공통 인수 $x^3 + y^3$ 으로 묶어 $E = (x^3 + y^3)\big(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2}\big) = \dfrac{(x^3 + y^3)(x^2 + y^2)}{x^2 y^2}$. 도구 #13(대수): $x + y = 4, xy = -2$ 만으로 $x^2 + y^2, x^3 + y^3, x^2 y^2$ 를 구함. 도구 #3(가능성 지우기): 최종 값을 다섯 선택지와 매칭.
실행 — 정답: D
7.EE.A.1 단계 1 - 네 항을 분모 기준으로 짝짓기.
- $x$ 를 $\dfrac{y^3}{x^2}$ 와 (둘 다 $x^2$ 분모로 쓸 수 있음), $y$ 를 $\dfrac{x^3}{y^2}$ 와 묶기.
- $E = x + y + \dfrac{x^3}{y^2} + \dfrac{y^3}{x^2} = \dfrac{x^3 + y^3}{x^2} + \dfrac{x^3 + y^3}{y^2}$.
💡 7학년 식 변형: $x = \dfrac{x^3}{x^2}$ 로 고쳐 쓰면 각 항이 같은 분모 꼴.
7.EE.A.1 단계 2 공통 인수 $x^3 + y^3$ 을 묶고, 두 분수를 $x^2 y^2$ 위에서 합치기: $E = (x^3 + y^3) \left( \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} \right) = (x^3 + y^3) \cdot \dfrac{x^2 + y^2}{x^2 y^2}$.
💡 7학년 식 변형: 공통 인수를 먼저 묶고, 그 뒤에 공통분모로 합치기.
7.EE.A.2 단계 3 - $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ 에서 $x^2 + y^2$ 를 분리.
- $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 4^2 - 2(-2) = 16 + 4 = 20$.
💡 7학년 항등식: $(x+y)^2$ 을 펴고 $x^2 + y^2$ 만 남기기.
7.EE.A.2 단계 4 - $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2 y + 3 x y^2 + y^3 = (x^3 + y^3) + 3xy(x+y)$ 에서 $x^3 + y^3$ 분리.
- $x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = 4^3 - 3(-2)(4) = 64 + 24 = 88$.
💡 7학년 항등식: 세제곱을 펴고 교차항을 빼기.
6.EE.A.1 단계 5 $x^2 y^2 = (xy)^2 = (-2)^2 = 4$.
💡 6학년 지수: 곱을 제곱하는 건 각각을 제곱해서 곱하는 것.
6.EE.A.2 단계 6 박스 친 공식에 대입: $E = \dfrac{(88)(20)}{4} = \dfrac{1760}{4} = 440$.
💡 6학년 식 계산: 세 부품 값을 하나의 공식에 대입.
4.NBT.A.2 단계 7 - $440$ 을 선택지와 매칭: (D).
- 다른 값들은 $x^2 + y^2$ 인수를 빠뜨리거나($88$ 만 — 너무 작음) $x^3 + y^3$ 부호를 헷갈렸을 때($x^3 + y^3 = 40$ 이면 $200$) 나오는 값.
💡 4학년 비교: $440$ 과 같은 선택지는 하나뿐.
7.EE.A.1 네 항을 분모 기준으로 짝짓기. $x$ 를 $\dfrac{y^3}{x^2}$ 와 (둘 다 $x^2$ 분모로 쓸 수 있음), $y$ 를 $\dfr 7.EE.A.1 공통 인수 $x^3 + y^3$ 을 묶고, 두 분수를 $x^2 y^2$ 위에서 합치기: $E = (x^3 + y^3) \left( \dfrac{ 7.EE.A.2 $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ 에서 $x^2 + y^2$ 를 분리. $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 7.EE.A.2 $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2 y + 3 x y^2 + y^3 = (x^3 + y^3) + 3xy(x+y)$ 에서 $x^3 + y^3$ 6.EE.A.1 $x^2 y^2 = (xy)^2 = (-2)^2 = 4$. 6.EE.A.2 박스 친 공식에 대입: $E = \dfrac{(88)(20)}{4} = \dfrac{1760}{4} = 440$. 4.NBT.A.2 $440$ 을 선택지와 매칭: (D). 다른 값들은 $x^2 + y^2$ 인수를 빠뜨리거나($88$ 만 — 너무 작음) $x^3 + y^3$ 부 검토
합리성 확인: $x + y = 4, xy = -2$ 이면 $x, y$ 는 $t^2 - 4t - 2 = 0$ 의 두 근, 즉 $x = 2 + \sqrt{6}, y = 2 - \sqrt{6}$. 그러면 $x \approx 4.449, y \approx -0.449$ 이고 $\dfrac{x^3}{y^2} \approx \dfrac{88.0}{0.202} \approx 436$, $\dfrac{y^3}{x^2} \approx \dfrac{-0.091}{19.79} \approx -0.005$. 거기에 $x + y = 4$ 를 더하면 $E \approx 440$. ✓ 일치.
대안 접근: 도구 #6(추측·확인) — 뉴턴 멱합. $P_n = x^n + y^n$ 으로 놓으면 $x, y$ 는 $t^2 = 4t + 2$ 의 근이므로 $P_n = 4 P_{n-1} + 2 P_{n-2}$. $P_1 = 4, P_2 = 20$ 에서 $P_3 = 4 \cdot 20 + 2 \cdot 4 = 88, P_4 = 4 \cdot 88 + 2 \cdot 20 = 392, P_5 = 4 \cdot 392 + 2 \cdot 88 = 1744$. 그리고 $E = (x + y) + \dfrac{x^5 + y^5}{x^2 y^2} = 4 + \dfrac{1744}{4} = 440$. 같은 답 (D).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
4.NBT.A.2여러 자리 자연수를 읽고 쓰며 부등호로 비교하기 (계산된 값 $440$ 을 선택지와 매칭.)6.EE.A.1자연수 지수가 포함된 수식 쓰기·계산하기 ($(xy)^2 = (-2)^2 = 4$ 계산.)6.EE.A.2문자가 수를 나타내는 식을 쓰고·읽고·계산하기 (세 대칭합을 안 뒤 $E = \dfrac{(x^3 + y^3)(x^2 + y^2)}{x^2 y^2}$ 에 대입.)7.EE.A.1연산의 성질로 일차식을 더하고·빼고·인수분해·전개하기 ($E$ 를 $\dfrac{x^3 + y^3}{x^2} + \dfrac{x^3 + y^3}{y^2}$ 로 그루핑하고 공통분모로 합치기.)7.EE.A.2식을 다른 형태로 다시 써서 문제를 명확히 하기 ($x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$, $x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$ 로 대칭합으로 변환.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 7학년 때 배운 식 변형만 알면 풀 수 있어요! $x = \dfrac{x^3}{x^2}, y = \dfrac{y^3}{y^2}$ 로 고쳐 쓰면 네 항이 묶여 $E = \dfrac{(x^3 + y^3)(x^2 + y^2)}{x^2 y^2}$. 항등식 $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 20$, $x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = 88$, $x^2 y^2 = 4$ 만 있으면 끝. 대입: $E = \dfrac{88 \cdot 20}{4} = \mathbf{440}$, 답 (D).
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 7학년 때 배운 식 변형만 알면 풀 수 있어요! $x = \dfrac{x^3}{x^2}, y = \dfrac{y^3}{y^2}$ 로 고쳐 쓰면 네 항이 묶여 $E = \dfrac{(x^3 + y^3)(x^2 + y^2)}{x^2 y^2}$. 항등식 $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 20$, $x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = 88$, $x^2 y^2 = 4$ 만 있으면 끝. 대입: $E = \dfrac{88 \cdot 20}{4} = \mathbf{440}$, 답 (D).
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