AMC 10 · 2019 · #16

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

pythagorean-theoremisosceles-triangleinteger-pythagorean-triplesangle-sum-trianglesimilar-triangles identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremisosceles-triangleangle-sum-triangle

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

In $\triangle ABC$ with a right angle at $C$ , point $D$ lies in the interior of $\overline{AB}$ and point $E$ lies in the interior of $\overline{BC}$ so that $AC=CD,$ $DE=EB,$ and the ratio $AC:DE=4:3$ . What is the ratio $AD:DB?$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

2:3

(B)

$2:\sqrt{5}$

(C)

1:1

(D)

$3:\sqrt{5}$

(E)

3:2

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 직각삼각형 $ABC$ 에서 직각은 $C$ 에 있습니다. 점 $D$ 는 빗변 $\overline{AB}$ 위에, 점 $E$ 는 변 $\overline{BC}$ 위에 놓이고, $AC = CD$, $DE = EB$, $AC : DE = 4 : 3$ 입니다. $AD : DB$ 의 비를 구하세요.

주어진 것: $\triangle ABC$ 에서 $\angle C = 90^\circ$; $D$ 는 $\overline{AB}$ 위, $E$ 는 $\overline{BC}$ 위; $AC = CD$ — $\triangle ACD$ 는 이등변; $DE = EB$ — $\triangle DEB$ 는 이등변; $AC : DE = 4 : 3$; 선택지: (A) $2:3$, (B) $2:\sqrt{5}$, (C) $1:1$, (D) $3:\sqrt{5}$, (E) $3:2$

구하는 것: $AD : DB$ 의 비

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #1 (그림): 두 개의 이등변삼각형, 한 직각삼각형, $\overline{AB}$ 위의 점 — 라벨 붙인 그림이 필수. 도구 #7 (쪼개기): (a) 두 이등변삼각형으로 $BC$ 구하기, (b) $C, E$ 에서 $\overline{AB}$ 로 수선 내리기로 $AD, DB$ 읽기. 도구 #9 (더 쉬운 문제): 비 $4 : 3$ 대신 구체적 길이 $AC = 4, DE = 3$ 으로 계산.

실행 — 정답: A

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.RP.A.3 단계 1

구체적 길이 잡기: $AC = 4$, $DE = 3$.
그러면 $CD = AC = 4$, $EB = DE = 3$.
좌표 설정: $C = (0,0)$, $A = (0, 4)$, $B$ 는 양의 $x$ 축 위.

$$AC = CD = 4,\;\; DE = EB = 3$$

💡 비를 $4, 3$ 으로 바꾸면 길이가 직접 나옴.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.5 단계 2

$D$ 에서의 핵심 각도 찾기.
$\triangle ACD$ 가 이등변이므로 $\angle DAC = \angle ADC$.
$\triangle DEB$ 가 이등변이므로 $\angle EDB = \angle EBD$.
직각삼각형 $ABC$ 에서 $\angle DAC + \angle EBD = 90^\circ$.
점 $D$ 가 $\overline{AB}$ 위에 있으므로 $\angle ADC + \angle CDE + \angle EDB = 180^\circ$.
따라서 $\angle CDE = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

$$\angle CDE = 90^\circ$$

💡 두 이등변삼각형이 원래 직각삼각형의 각을 공유 — $D$ 에 남는 각이 직각.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 3

이제 $\triangle CDE$ 는 $D$ 가 직각이고 다리 $CD = 4$, $DE = 3$.
빗변 $CE = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ — 친숙한 $3$-$4$-$5$ 직각삼각형.

$$CE = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$$

💡 가장 깔끔한 피타고라스 세 쌍이 등장.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 4

$BC, AB$ 계산.
$E$ 는 $\overline{BC}$ 위에 $B$ 와 $C$ 사이에 있으므로 $BC = CE + EB = 5 + 3 = 8$.
그러면 $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$.

$$BC = 8,\;\; AB = 4\sqrt{5}$$

💡 큰 직각삼각형의 세 변 모두 확정.

#1 그림 그리기 7.G.B.4 단계 5

$AD$ 구하기.
이등변 $\triangle ACD$ 에서 $C$ 로부터 $\overline{AB}$ 로 수선을 내리면 그 발은 $\overline{AD}$ 의 중점 $M$.
따라서 $AD = 2 \cdot AM$.
직각삼각형 $AMC$ 에서 $AM = AC \cdot \cos(\angle CAB)$.
큰 삼각형에서 $\cos(\angle CAB) = AC/AB = 4/(4\sqrt{5}) = 1/\sqrt{5}$.
따라서 $AM = 4/\sqrt{5}$, $AD = 8/\sqrt{5}$.

$$AD = 2 \cdot AC \cdot \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{8}{\sqrt{5}}$$

💡 이등변삼각형의 꼭지에서 내린 수선이 밑변을 이등분 — $AD$ 가 그림에서 바로 읽힘.

#1 그림 그리기 7.G.B.4 단계 6

$DB$ 도 같은 방법.
이등변 $\triangle DEB$ ($DE = EB = 3$) 에서 $E$ 로부터 $\overline{AB}$ 로 수선을 내리면 $\overline{DB}$ 의 중점에 떨어짐.
따라서 $DB = 2 \cdot EB \cdot \cos(\angle EBD)$, $\cos(\angle EBD) = BC/AB = 8/(4\sqrt{5}) = 2/\sqrt{5}$.
따라서 $DB = 12/\sqrt{5}$.

$$DB = \dfrac{12}{\sqrt{5}}$$

💡 같은 기법을 반대편에서 — 이등변 $\triangle DEB$ 도 $\overline{DB}$ 의 중점에서 수선 발.

#1 그림 그리기 6.RP.A.1 단계 7

비 계산: $AD : DB = \dfrac{8}{\sqrt{5}} : \dfrac{12}{\sqrt{5}} = 8 : 12 = 2 : 3$.
답은 (A).

$$AD : DB = 8 : 12 = \boxed{2 : 3}$$

💡 양쪽 모두 $\sqrt{5}$ 분모 — 비에서 소거.

[1] #9 6.RP.A.3 구체적 길이 잡기: $AC = 4$, $DE = 3$. 그러면 $CD = AC = 4$, $EB = DE = 3$. 좌표 설정: $C = (0,

[2] #7 8.G.A.5 $D$ 에서의 핵심 각도 찾기. $\triangle ACD$ 가 이등변이므로 $\angle DAC = \angle ADC$. $\triangle

[3] #7 8.G.B.7 이제 $\triangle CDE$ 는 $D$ 가 직각이고 다리 $CD = 4$, $DE = 3$. 빗변 $CE = \sqrt{4^2 + 3^2}

[4] #7 8.G.B.7 $BC, AB$ 계산. $E$ 는 $\overline{BC}$ 위에 $B$ 와 $C$ 사이에 있으므로 $BC = CE + EB = 5 + 3 =

[5] #1 7.G.B.4 $AD$ 구하기. 이등변 $\triangle ACD$ 에서 $C$ 로부터 $\overline{AB}$ 로 수선을 내리면 그 발은 $\overli

[6] #1 7.G.B.4 $DB$ 도 같은 방법. 이등변 $\triangle DEB$ ($DE = EB = 3$) 에서 $E$ 로부터 $\overline{AB}$ 로 수

[7] #1 6.RP.A.1 비 계산: $AD : DB = \dfrac{8}{\sqrt{5}} : \dfrac{12}{\sqrt{5}} = 8 : 12 = 2 : 3$. 답

검토

합리성 확인: 확인: $AD + DB$ 가 $AB$ 와 같아야 함. $AD + DB = 8/\sqrt{5} + 12/\sqrt{5} = 20/\sqrt{5} = 4\sqrt{5} = AB$ — 일치. $2 : 3$ 도 기하적으로 자연 — $AC = 4 < BC = 8$ 이므로 짧은 다리 쪽인 $A$ 쪽이 더 가까운 부분이 작음.

대안 접근: 도구 #13 (대수): 좌표로 $C = (0,0)$, $A = (0,4)$, $B = (8,0)$ 잡고 $\overline{AB}$ 의 식 $y = 4 - x/2$. $CD = 4$ 인 $D$ 의 좌표를 풀어 $D = (16/5, 12/5)$. 거리 공식으로 $AD, DB$ 를 직접 계산해도 같은 $2 : 3$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.RP.A.1 비의 개념 이해와 비 언어 사용 (최종 비 $AD : DB = 8 : 12 = 2 : 3$ 의 약분.)
6.RP.A.3 비와 비율로 실생활·수학 문제 해결 (추상적 비 $AC : DE = 4 : 3$ 을 구체적 길이 $4, 3$ 으로 치환.)
7.G.B.4 원의 둘레·넓이 공식 (좁은 의미의 삼각함수 비 — 가장 가까운 코드) (이등변삼각형에서 수선 발 위치를 직각삼각형 코사인 비로 표현 ($AD, DB$ 계산).)
8.G.A.5 각의 합·외각에 대한 비형식 논증 ($D$ 위 일직선 각의 합과 직각삼각형의 두 예각 합 $= 90^\circ$ 으로 $\angle CDE = 90^\circ$ 도출.)
8.G.B.7 피타고라스 정리로 직각삼각형의 미지변 길이 결정 ($CD = 4, DE = 3$ 에서 $CE = 5$, $AC = 4, BC = 8$ 에서 $AB = 4\sqrt{5}$ 계산.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 8학년 때 배운 피타고라스 정리만 알면 풀 수 있어요 — $D$ 에 숨어있는 $3$-$4$-$5$ 직각삼각형을 찾고 큰 삼각형을 두 이등변 조각으로 쪼개면 $AD : DB = 2 : 3$. 답은 $\textbf{(A)}$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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