AMC 10 · 2019 · #20
학년 8 geometry-2d문제
As shown in the figure, line segment AD is trisected by points B and C so that AB=BC=CD=2. Three semicircles of radius 1, \overarcAEB,\overarcBFC, and \overarcCGD, have their diameters on AD, lie in the same halfplane determined by line AD, and are tangent to line EG at E,F, and G, respectively. A circle of radius 2 has its center on F. The area of the region inside the circle but outside the three semicircles, shaded in the figure, can be expressed in the form
ba⋅π−c+d,
where a,b,c, and d are positive integers and a and b are relatively prime. What is a+b+c+d?
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AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 선분 $\overline{AD}$ 위에 반지름 $1$ 인 합동 반원 세 개($AB = BC = CD = 2$)가 나란히 놓여 있고 각각의 꼭대기는 $E, F, G$. 큰 원(반지름 $2$)의 중심은 $F$. 음영 영역 $=$ (큰 원 내부) $-$ (세 반원의 합집합)을 $\tfrac{a}{b}\pi - \sqrt{c} + d$ 형태 ($\gcd(a, b) = 1$) 로 쓰고 $a + b + c + d$ 를 구하세요.
주어진 것: 세 반원: 중심 $(-2, -1), (0, -1), (2, -1)$, 반지름 $1$, 위쪽 절반 (asy 좌표에서 $F = (0, 0)$ 이 중간 반원 꼭대기); 큰 원: 중심 $F = (0, 0)$, 반지름 $2$; 음영 = (큰 원판) $\setminus$ (세 반원의 합집합); 선택지: (A) $13$, (B) $14$, (C) $15$, (D) $16$, (E) $17$
구하는 것: $a + b + c + d$, 음영 $= \tfrac{a}{b}\pi - \sqrt{c} + d$
이해
문제 재정리: 선분 $\overline{AD}$ 위에 반지름 $1$ 인 합동 반원 세 개($AB = BC = CD = 2$)가 나란히 놓여 있고 각각의 꼭대기는 $E, F, G$. 큰 원(반지름 $2$)의 중심은 $F$. 음영 영역 $=$ (큰 원 내부) $-$ (세 반원의 합집합)을 $\tfrac{a}{b}\pi - \sqrt{c} + d$ 형태 ($\gcd(a, b) = 1$) 로 쓰고 $a + b + c + d$ 를 구하세요.
주어진 것: 세 반원: 중심 $(-2, -1), (0, -1), (2, -1)$, 반지름 $1$, 위쪽 절반 (asy 좌표에서 $F = (0, 0)$ 이 중간 반원 꼭대기); 큰 원: 중심 $F = (0, 0)$, 반지름 $2$; 음영 = (큰 원판) $\setminus$ (세 반원의 합집합); 선택지: (A) $13$, (B) $14$, (C) $15$, (D) $16$, (E) $17$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #16 관점 바꾸기
도구 #1 (그림): asy 도면에서 좌표 설정 — $F = (0, 0)$, 큰 원 원점 중심 반지름 $2$, 작은 반원 중심 $(-2,-1), (0,-1), (2,-1)$. 도구 #7 (쪼개기): (a) 중간 반원 (전체가 큰 원 안), (b) 좌·우 반원이 큰 원과 겹치는 부분. 도구 #16 (관점): 음영 $=$ (큰 원판) $-$ (반원 내부 부분).
실행 — 정답: E
8.G.B.8 단계 1 - 좌표 설정.
- $F = (0, 0)$.
- 큰 원 $x^2 + y^2 = 4$.
- 중간 반원 중심 $(0, -1)$ 반지름 $1$, 위쪽 절반 ($y \ge -1$).
- 우측 반원 ($\overarc{CGD}$) 중심 $(2, -1)$ 반지름 $1$, 위쪽 절반.
- 좌우 대칭이므로 좌측 반원도 우측과 동일 기여.
💡 asy 좌표를 그대로 사용 — 거리와 교점이 산수가 됨.
7.G.B.4 단계 2 - 중간 반원은 전체가 큰 원 안.
- 검증: 위쪽 반원의 점은 $(\cos t, -1 + \sin t)$ ($t \in [0, \pi]$).
- 원점으로부터의 거리 $= \sqrt{2 - 2\sin t} \le \sqrt{2} < 2$.
- 따라서 중간 반원 전부가 큰 원판 내부.
- 넓이 $= \pi/2$.
💡 가운데 봉우리는 큰 원 안에 깔끔히 들어감.
8.G.B.8 단계 3 - 큰 원과 우측 작은 원의 교점 구하기.
- $x^2 + y^2 = 4$ 와 $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 1$ 을 빼면 $-4x + 4 + 2y + 1 = -3$, 즉 $y = 2x - 4$.
- 대입: $5x^2 - 16x + 12 = 0 \Rightarrow x = 2$ 또는 $x = 6/5$.
- 따라서 $G = (2, 0)$ 과 $P = (6/5, -8/5)$.
💡 두 원의 교점은 두 개 — 대수로 둘 다 구함.
8.G.B.7 단계 4 - $P = (6/5, -8/5)$ 는 $y = -8/5 < -1$ 이므로 지름선 $y = -1$ 아래.
- 따라서 $P$ 는 위쪽 반원 경계 위에 있지 않음.
- 위쪽 반원은 호와 지름 ($y = -1$ 위 $C = (1, -1)$ 부터 $D = (3, -1)$) 으로 둘러싸임.
- 큰 원이 $y = -1$ 과 만나는 점: $x^2 + 1 = 4 \Rightarrow x = \sqrt{3}$ (양의 값이 $[1, 3]$ 안).
💡 큰 원이 우측 반원의 지름선을 $[1, 3]$ 구간 안에서 자름.
7.G.B.6 단계 5 - (우측 반원) $\cap$ (큰 원판) 영역의 경계는 세 곡선: (i) $y = -1$ 위 $C(1, -1)$ 부터 $(\sqrt{3}, -1)$, (ii) 큰 원 호 $(\sqrt{3}, -1)$ 부터 $G(2, 0)$, (iii) 작은 원 호 $G$ 부터 $C$ (작은 원의 좌상 사분원).
- 삼각형 + 두 활꼴로 분해.
💡 현으로 이루어진 다각형을 만든 후 호가 만드는 활꼴을 더함.
8.G.B.8 단계 6 - 삼각형 넓이 (꼭짓점 $(1,-1), (\sqrt{3},-1), (2, 0)$): 신발끈 공식.
- $T = \tfrac{1}{2}|1(-1-0) + \sqrt{3}(0-(-1)) + 2(-1-(-1))| = \tfrac{1}{2}|\!-\!1 + \sqrt{3} + 0| = \tfrac{\sqrt{3} - 1}{2}$.
💡 신발끈 공식 — 세 점 좌표만으로 삼각형 넓이.
7.G.B.4 단계 7 - 큰 원 활꼴 (현 $V$–$G$ 와 호 사이).
- 현 끝점의 중심각: $V = (\sqrt{3}, -1)$ 에서 $\arctan(-1/\sqrt{3}) = -\pi/6$, $G = (2, 0)$ 에서 $0$.
- 부채꼴 넓이 $= \tfrac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \tfrac{\pi}{6} = \tfrac{\pi}{3}$.
- 원점에서의 삼각형: $\tfrac{1}{2}|0(-1-0) + \sqrt{3}(0-0) + 2(0-(-1))| = 1$.
- 활꼴 $= \tfrac{\pi}{3} - 1$.
💡 부채꼴에서 삼각형을 빼면 활꼴.
7.G.B.4 단계 8 - 작은 원 활꼴 (현 $C$–$G$ 와 좌상 사분원 호 사이).
- 호는 중심 $(2, -1)$ 에서 각도 $\pi/2$ 부터 $\pi$ — 사분원.
- 부채꼴 $= \tfrac{1}{4}\pi$.
- 중심 $(2,-1)$ 에서의 삼각형 (정점 $C(1,-1), G(2, 0)$): $\tfrac{1}{2}|2(-1-0) + 1(0-(-1)) + 2(-1-(-1))| = \tfrac{1}{2}$.
- 활꼴 $= \tfrac{\pi}{4} - \tfrac{1}{2}$.
💡 사분원에서 직각삼각형을 빼기.
7.G.B.6 단계 9 - 합산: 우측 반원 $\cap$ 큰 원판 $= T + \text{큰 활꼴} + \text{작은 활꼴} = \tfrac{\sqrt{3}-1}{2} + (\tfrac{\pi}{3} - 1) + (\tfrac{\pi}{4} - \tfrac{1}{2}) = \tfrac{\sqrt{3}}{2} + \tfrac{7\pi}{12} - 2$.
- 대칭에 의해 좌측도 동일.
💡 세 조각 모두 영역 안 — 더하기.
7.G.B.6 단계 10 총 (반원 $\cap$ 큰) $= \tfrac{\pi}{2} + 2 \cdot (\tfrac{\sqrt{3}}{2} + \tfrac{7\pi}{12} - 2) = \tfrac{\pi}{2} + \sqrt{3} + \tfrac{7\pi}{6} - 4 = \tfrac{5\pi}{3} + \sqrt{3} - 4$.
💡 중간 봉우리 + 좌우 동일한 두 봉우리.
7.G.B.6 단계 11 - 음영 $= 4\pi - (\tfrac{5\pi}{3} + \sqrt{3} - 4) = \tfrac{7\pi}{3} - \sqrt{3} + 4$.
- 따라서 $a = 7, b = 3, c = 3, d = 4$ 이고 $\gcd(7, 3) = 1$.
- 합 $= 7 + 3 + 3 + 4 = 17$.
- 답은 (E).
💡 큰 원판에서 반원 겹침을 빼고 — 형태도 일치.
8.G.B.8 좌표 설정. $F = (0, 0)$. 큰 원 $x^2 + y^2 = 4$. 중간 반원 중심 $(0, -1)$ 반지름 $1$, 위쪽 절반 ($y 7.G.B.4 중간 반원은 전체가 큰 원 안. 검증: 위쪽 반원의 점은 $(\cos t, -1 + \sin t)$ ($t \in [0, \pi]$). 원점으로 8.G.B.8 큰 원과 우측 작은 원의 교점 구하기. $x^2 + y^2 = 4$ 와 $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 1$ 을 빼면 $-4x + 4 + 8.G.B.7 $P = (6/5, -8/5)$ 는 $y = -8/5 < -1$ 이므로 지름선 $y = -1$ 아래. 따라서 $P$ 는 위쪽 반원 경계 위에 있 7.G.B.6 (우측 반원) $\cap$ (큰 원판) 영역의 경계는 세 곡선: (i) $y = -1$ 위 $C(1, -1)$ 부터 $(\sqrt{3}, -1) 8.G.B.8 삼각형 넓이 (꼭짓점 $(1,-1), (\sqrt{3},-1), (2, 0)$): 신발끈 공식. $T = \tfrac{1}{2}|1(-1-0) 7.G.B.4 큰 원 활꼴 (현 $V$–$G$ 와 호 사이). 현 끝점의 중심각: $V = (\sqrt{3}, -1)$ 에서 $\arctan(-1/\sqrt{ 7.G.B.4 작은 원 활꼴 (현 $C$–$G$ 와 좌상 사분원 호 사이). 호는 중심 $(2, -1)$ 에서 각도 $\pi/2$ 부터 $\pi$ — 사분원. 7.G.B.6 합산: 우측 반원 $\cap$ 큰 원판 $= T + \text{큰 활꼴} + \text{작은 활꼴} = \tfrac{\sqrt{3}-1}{2} 7.G.B.6 총 (반원 $\cap$ 큰) $= \tfrac{\pi}{2} + 2 \cdot (\tfrac{\sqrt{3}}{2} + \tfrac{7\pi}{ 7.G.B.6 음영 $= 4\pi - (\tfrac{5\pi}{3} + \sqrt{3} - 4) = \tfrac{7\pi}{3} - \sqrt{3} + 4$. 검토
합리성 확인: 수치 확인: 음영 $\approx \tfrac{7 \cdot 3.14159}{3} - 1.732 + 4 \approx 7.330 - 1.732 + 4 \approx 9.598$. 큰 원 $= 4\pi \approx 12.566$. 차 $\approx 2.97$ 이 반원 합집합 넓이여야 함. 중간 $\pi/2 \approx 1.571$, 좌·우 각각 $\approx 0.699$, 합 $\approx 2.969$. ✓. 네 상수 모두 양의 정수, $\gcd(7, 3) = 1$. 합 $= 17$.
대안 접근: 도구 #15 (다르게 정리): 큰 원판을 $\overline{EG}$ 선 ($F$ 를 지나며 세 반원에 접) 으로 분할. 위쪽 절반($2\pi$)에는 반원이 없음. 아래쪽 절반($2\pi$)에 세 봉우리가 있어 부기 절반. 같은 $\tfrac{7\pi}{3} - \sqrt{3} + 4$ 도달.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
7.G.B.4원의 둘레·넓이 공식 (큰 원 부채꼴 ($\pi/3$) 과 작은 원 사분원 ($\pi/4$) 의 넓이 계산.)7.G.B.6넓이·겉넓이·부피 관련 실생활 문제 해결 (음영 = (큰 원판) - (반원 겹침) 로 조립해 목표 형태로 정리.)8.G.B.7피타고라스 정리로 직각삼각형의 미지변 길이 결정 ($y = -1$ 과 큰 원의 교점 ($x = \sqrt{3}$) 및 현 길이 계산.)8.G.B.8좌표평면 위 두 점 사이 거리에 피타고라스 정리 적용 (원의 방정식 세우고 두 원의 교점 풀이.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 8학년 때 배운 좌표기하만 알면 풀 수 있어요 — $F$ 를 원점에 두고 두 원의 교점 ($G$ 와 큰 원이 $y = -1$ 과 만나는 $x = \sqrt{3}$) 을 찾은 후 한쪽당 삼각형 + 활꼴 두 개를 더하면 음영 $= \tfrac{7\pi}{3} - \sqrt{3} + 4$, 따라서 $a + b + c + d = 7 + 3 + 3 + 4 = 17$. 답은 $\textbf{(E)}$.
⭐ 이 AMC 10 문제는 8학년 때 배운 좌표기하만 알면 풀 수 있어요 — $F$ 를 원점에 두고 두 원의 교점 ($G$ 와 큰 원이 $y = -1$ 과 만나는 $x = \sqrt{3}$) 을 찾은 후 한쪽당 삼각형 + 활꼴 두 개를 더하면 음영 $= \tfrac{7\pi}{3} - \sqrt{3} + 4$, 따라서 $a + b + c + d = 7 + 3 + 3 + 4 = 17$. 답은 $\textbf{(E)}$.
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