AMC 10 · 2019 · #8

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

equilateral-trianglethirty-sixty-ninety-trianglearea-trianglesarea-rectanglespythagorean-theorem area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: equilateral-trianglearea-trianglespythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

The figure below shows a square and four equilateral triangles, with each triangle having a side lying on a side of the square, such that each triangle has side length $2$ and the third vertices of the triangles meet at the center of the square. The region inside the square but outside the triangles is shaded. What is the area of the shaded region?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$12 - 4\sqrt{3}$

(C)

$3\sqrt{3}$

(D)

$4\sqrt{3}$

(E)

$16 - 4\sqrt{3}$

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 정사각형의 네 변마다 한 변씩을 변으로 공유하는 정삼각형 네 개가 안쪽으로 그려져 있고, 모든 정삼각형의 변 길이는 $2$. 네 정삼각형의 꼭짓점이 정사각형의 중심에서 만남. 정사각형 안이지만 네 정삼각형 바깥인 영역 (음영) 의 넓이를 구함.

주어진 것: 각 정삼각형 변 길이 $2$; 각 정삼각형의 한 변이 정사각형 한 변 위에 놓임; 네 정삼각형의 꼭짓점이 정사각형 중심에서 만남; 선택지: (A) $4$, (B) $12 - 4\sqrt{3}$, (C) $3\sqrt{3}$, (D) $4\sqrt{3}$, (E) $16 - 4\sqrt{3}$

구하는 것: 음영 부분의 넓이 (정사각형 − 네 정삼각형)

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #16 관점 바꾸기, #3 가능성 지우기

음영은 모양이 까다롭지만 (정사각형) − (네 정삼각형) 으로 셈할 수 있음 — 도구 #16 으로 여집합 셈. (a) 정삼각형 높이로 정사각형 한 변, (b) 정사각형 넓이, (c) 정삼각형 한 개 넓이, (d) 차이 — 네 소문제로 쪼갬 (도구 #7). 도구 #1 로 그림 추적.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 1

소문제 1: 변 $2$ 인 정삼각형의 높이?
수직선을 내리면 정삼각형이 빗변 $2$, 밑변 $1$ 의 $30\text{-}60\text{-}90$ 직각삼각형 둘로 나뉨.
피타고라스 정리로 $1^2 + h^2 = 2^2$.

$$h = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$$

💡 변 $s$ 인 정삼각형의 높이는 $\tfrac{s\sqrt{3}}{2}$ — 여기서는 $\sqrt{3}$.

#1 그림 그리기 7.G.B.6 단계 2

소문제 2: 정사각형 한 변?
네 정삼각형 꼭짓점이 정사각형 중심에서 만나므로, 정사각형 한 변에서 중심까지 수직 거리가 $\sqrt{3}$ 이고, 이는 한 변의 절반.
따라서 한 변은 $2\sqrt{3}$.

$$\text{한 변} = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$

💡 중심에서 한 변까지 거리는 정사각형 폭의 절반.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 3

소문제 3: 정사각형 넓이.
한 변의 제곱.

$$A_{\text{정사각형}} = (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$$

💡 정사각형 넓이는 한 변 곱하기 한 변.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 4

소문제 4: 네 정삼각형의 총 넓이.
각 정삼각형 넓이는 $\tfrac{1}{2}\cdot 2 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
네 개가 겹치지 않으므로 (각각 중심에서 만나는 서로 다른 "부채꼴 조각") 그대로 네 배.

$$A_{\triangle\text{ 합}} = 4 \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$$

💡 겹치지 않는 합동 정삼각형 네 개니까 한 개 넓이 × $4$.

#16 관점 바꾸기 6.G.A.1 단계 5

정사각형 넓이에서 정삼각형 총 넓이를 빼 음영 넓이를 얻음.

$$A_{\text{음영}} = 12 - 4\sqrt{3} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 전체에서 흰 정삼각형을 빼면 음영만 남음.

#3 가능성 지우기 7.NS.A.3 단계 6

선택지로 검산.
$\sqrt{3} \approx 1.73$, $4\sqrt{3} \approx 6.93$, $12 - 4\sqrt{3} \approx 5.07$.
정사각형 넓이 $12$ 의 약 $42\%$ — 모서리 "주머니" 넓이로 그럴듯함.

$$12 - 4\sqrt{3} \approx 5.07 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 수치 어림이 그림과 잘 맞음.

[1] #7 8.G.B.7 소문제 1: 변 $2$ 인 정삼각형의 높이? 수직선을 내리면 정삼각형이 빗변 $2$, 밑변 $1$ 의 $30\text{-}60\text{-}90

[2] #1 7.G.B.6 소문제 2: 정사각형 한 변? 네 정삼각형 꼭짓점이 정사각형 중심에서 만나므로, 정사각형 한 변에서 중심까지 수직 거리가 $\sqrt{3}$ 이

[3] #7 6.G.A.1 소문제 3: 정사각형 넓이. 한 변의 제곱.

[4] #7 6.G.A.1 소문제 4: 네 정삼각형의 총 넓이. 각 정삼각형 넓이는 $\tfrac{1}{2}\cdot 2 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

[5] #16 6.G.A.1 정사각형 넓이에서 정삼각형 총 넓이를 빼 음영 넓이를 얻음.

[6] #3 7.NS.A.3 선택지로 검산. $\sqrt{3} \approx 1.73$, $4\sqrt{3} \approx 6.93$, $12 - 4\sqrt{3} \app

검토

합리성 확인: $4\sqrt{3} \approx 6.93 < 12$ 이라 음영은 양수, 정사각형보다 작음 — 합당. 정삼각형 넷이 약 $58\%$ 를 채우고, 남은 부분은 모서리 네 곳의 작은 연꼴 (kite) 주머니. $12 - 4\sqrt{3}$ 은 (B). $4$ 나 $4\sqrt{3}$ 같은 선택지는 정삼각형 한 개 또는 네 개 자체 — 함정.

대안 접근: 도구 #10 (직접 만져보기): 그림을 종이로 잘라 음영 부분만 떼어 보면 합동 연꼴 네 개. 한 연꼴 넓이는 $\tfrac{1}{4}(12 - 4\sqrt{3}) = 3 - \sqrt{3}$, 합 $12 - 4\sqrt{3}$. 같은 답 (B).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.B.7 피타고라스 정리로 직각삼각형의 미지 변 구하기 (정삼각형의 높이 ($h = \sqrt{3}$) 를 빗변과 밑변의 절반에서 계산.)
7.G.B.6 넓이·표면적·부피 관련 실생활 문제 풀기 (정삼각형 높이와 정사각형 한 변을 "중심에서 만남" 조건으로 연결.)
6.G.A.1 삼각형·특수 사각형·다각형의 넓이를 조합으로 구하기 (정사각형 넓이 $(2\sqrt{3})^2 = 12$ 과 정삼각형 한 개 넓이 $\tfrac{1}{2}\cdot 2 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$ 계산.)
7.NS.A.3 유리수 사칙연산을 활용한 실생활 문제 ($12 - 4\sqrt{3}$ 을 수치로 어림해 정성 검산.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 피타고라스만 알면 풀 수 있어요 — 정삼각형 높이가 $\sqrt{3}$ 이라 정사각형 한 변은 $2\sqrt{3}$, 넓이 $12$. 네 정삼각형이 $4\sqrt{3}$ 을 차지하니 음영은 $12 - 4\sqrt{3}$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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