AMC 10 · 2020 · #20

학년 8 geometry-3d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

volume-rectangular-prismvolume-cylindersurface-areaminkowski-sum identify-subproblemsdimensional-analysis ↑ 선수 지식: volume-rectangular-prismsurface-area

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Let $B$ be a right rectangular prism (box) with edges lengths $1,$ $3,$ and $4$ , together with its interior. For real $r\geq0$ , let $S(r)$ be the set of points in $3$ -dimensional space that lie within a distance $r$ of some point in $B$ . The volume of $S(r)$ can be expressed as $ar^{3} + br^{2} + cr +d$ , where $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are positive real numbers. What is $\frac{bc}{ad}?$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $B$ 는 모서리 길이가 $1$, $3$, $4$ 인 직육면체 (속까지 채워진 입체). $r \ge 0$ 에 대해 $S(r)$ 은 $B$ 의 어떤 점으로부터 거리 $r$ 이내인 모든 점의 집합 (상자를 $r$ 만큼 '부풀린' 것). 부피는 $r$ 의 삼차식 $V(S(r)) = a r^3 + b r^2 + c r + d$ 로 표현됨. $\dfrac{bc}{ad}$ 를 구하세요.

주어진 것: $B$ 는 모서리 길이 $1, 3, 4$ 인 직육면체; $S(r) = \{P : \text{거리}(P, B) \le r\}$; $V(S(r)) = a r^3 + b r^2 + c r + d$, $a, b, c, d > 0$; 선택지: (A) $6$, (B) $19$, (C) $24$, (D) $26$, (E) $38$

구하는 것: $\dfrac{bc}{ad}$

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #17 공간 상상하기

도구 #7 (쪼개기): 부풀린 $S(r)$ 은 성질이 다른 네 부분의 합 — 원본 상자, 면 위의 슬랩, 모서리 위의 원기둥 조각, 꼭짓점의 구 조각. 각 부분 부피를 따로 구하면 훨씬 쉬움. 도구 #1 (그림) · 도구 #17 (공간 상상): 빠른 스케치로 모서리당 $\tfrac{1}{4}$ 원기둥, 꼭짓점당 $\tfrac{1}{8}$ 구임을 확인.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 5.MD.C.5 단계 1

1조각 — 상자 자체.
$V_1 = 1 \cdot 3 \cdot 4 = 12$.
$r$ 에 의존하지 않는 상수항이므로 $d = 12$.

$$V_1 = 1 \cdot 3 \cdot 4 = 12,\quad d = 12$$

💡 상자는 $r$ 과 무관한 상수항.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.4 단계 2

2조각 — 여섯 면 위의 직육면체 슬랩.
각 면 $f$ 위에 밑면적 $f$, 두께 $r$ 인 슬랩이 올라가 총합은 표면적 곱하기 $r$.
표면적 $= 2(1 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 3 \cdot 4) = 2(3 + 4 + 12) = 38$.
따라서 $V_2 = 38 r$, $c = 38$.

$$\text{표면적}(B) = 2(1 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 3 \cdot 4) = 38,\quad V_2 = 38 r,\quad c = 38$$

💡 각 면을 $r$ 만큼 밖으로 밀어내면 총 부피는 표면적 곱하기 $r$.

#17 공간 상상하기 8.G.C.9 단계 3

3조각 — 열두 모서리를 따라 $\tfrac{1}{4}$ 원기둥.
상자에는 길이 $1, 3, 4$ 모서리가 각각 $4$ 개.
길이 $\ell$ 모서리 주변에 반지름 $r$, 길이 $\ell$ 인 $\tfrac{1}{4}$ 원기둥 (부피 $\tfrac{\pi r^2 \ell}{4}$) 이 붙음.
같은 길이의 평행 모서리 $4$ 개가 합쳐지면 $4 \cdot \tfrac{1}{4} = 1$ 개의 완전 원기둥.
따라서 $V_3 = \pi r^2 (1 + 3 + 4) = 8 \pi r^2$, $b = 8\pi$.

$$V_3 = \pi r^2 (1 + 3 + 4) = 8 \pi r^2,\quad b = 8\pi$$

💡 평행한 네 모서리의 $\tfrac{1}{4}$ 원기둥은 합쳐 한 개의 완전 원기둥.

#17 공간 상상하기 8.G.C.9 단계 4

4조각 — 여덟 꼭짓점에 $\tfrac{1}{8}$ 구.
합치면 반지름 $r$ 인 완전 구 한 개.
$V_4 = \tfrac{4}{3}\pi r^3$, $a = \tfrac{4}{3}\pi$.

$$V_4 = 8 \cdot \tfrac{1}{8} \cdot \tfrac{4}{3}\pi r^3 = \tfrac{4}{3}\pi r^3,\quad a = \tfrac{4}{3}\pi$$

💡 꼭짓점 여덟 곳의 $\tfrac{1}{8}$ 구가 모이면 완전 구 한 개.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.2 단계 5

계수: $a = \tfrac{4}{3}\pi$, $b = 8\pi$, $c = 38$, $d = 12$.
$\dfrac{bc}{ad} = \dfrac{8\pi \cdot 38}{\tfrac{4}{3}\pi \cdot 12} = \dfrac{304 \pi}{16 \pi} = 19$.
$\pi$ 가 깔끔하게 약분 — 정수 답.

$$\dfrac{bc}{ad} = \dfrac{8\pi \cdot 38}{\tfrac{4}{3}\pi \cdot 12} = \dfrac{304\pi}{16\pi} = 19 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 네 계수를 $bc/(ad)$ 에 대입하면 $\pi$ 가 약분됨.

[1] #7 5.MD.C.5 1조각 — 상자 자체. $V_1 = 1 \cdot 3 \cdot 4 = 12$. $r$ 에 의존하지 않는 상수항이므로 $d = 12$.

[2] #7 6.G.A.4 2조각 — 여섯 면 위의 직육면체 슬랩. 각 면 $f$ 위에 밑면적 $f$, 두께 $r$ 인 슬랩이 올라가 총합은 표면적 곱하기 $r$. 표면적

[3] #17 8.G.C.9 3조각 — 열두 모서리를 따라 $\tfrac{1}{4}$ 원기둥. 상자에는 길이 $1, 3, 4$ 모서리가 각각 $4$ 개. 길이 $\ell$

[4] #17 8.G.C.9 4조각 — 여덟 꼭짓점에 $\tfrac{1}{8}$ 구. 합치면 반지름 $r$ 인 완전 구 한 개. $V_4 = \tfrac{4}{3}\pi r

[5] #7 6.EE.A.2 계수: $a = \tfrac{4}{3}\pi$, $b = 8\pi$, $c = 38$, $d = 12$. $\dfrac{bc}{ad} = \df

검토

합리성 확인: $\pi$ 의 깔끔한 약분이 가장 강한 검증 — $b$ 와 $a$ 가 각각 원기둥·구에서 $\pi$ 하나씩 가져오고 $c, d$ 는 $\pi$ 무관. 따라서 $bc/(ad)$ 는 깔끔한 유리수, 정수 답 $19$ 와 일치. 표면적 $38$, 모서리 합 $8$, 부피 $12$ — 상자 기하와 모두 맞아떨어짐.

대안 접근: 도구 #14 (차이의 규칙) / 공식 인용: 볼록체에 대한 일반 Steiner 공식 $V(S(r)) = V + (\text{표면적}) r + (\text{원기둥 항}) r^2 + \tfrac{4}{3}\pi r^3$ 을 직접 사용. 직육면체 경우 동일한 계수 $(a, b, c, d) = (\tfrac{4\pi}{3}, 8\pi, 38, 12)$ 와 답 $19$ 가 나옴.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

5.MD.C.5 부피를 곱셈·덧셈 연산과 연결 (직육면체의 부피 $1 \cdot 3 \cdot 4 = 12$ 계산.)
6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식 쓰기·읽기·평가 ($a, b, c, d$ 를 $r^3, r^2, r^1, r^0$ 계수로 식별하고 $\dfrac{bc}{ad}$ 계산.)
6.G.A.4 3차원 도형을 전개도로 표현하고 표면적 구하기 (슬랩 조각용 표면적 $2(1 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 3 \cdot 4) = 38$ 계산.)
8.G.C.9 원뿔·원기둥·구의 부피 공식 (모서리 원기둥 부피 ($\pi r^2 \ell$) 와 꼭짓점 구 부피 ($\tfrac{4}{3}\pi r^3$) 계산.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 8학년 때 배운 원기둥·구 부피 공식만 알면 풀 수 있어요 — 부풀린 상자를 네 조각 (상자, 슬랩, 모서리 원기둥, 꼭짓점 구) 으로 쪼개고 $a = \tfrac{4\pi}{3}$, $b = 8\pi$, $c = 38$, $d = 12$ 를 읽어내면 $\dfrac{bc}{ad} = \dfrac{304\pi}{16\pi} = 19$. 답은 $\textbf{(B)}$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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