AMC 10 · 2021 · #12

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

similar-trianglesratio-proportionvolume-cylinder identify-subproblemseasier-related-problem ↑ 선수 지식: similar-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

Two right circular cones with vertices facing down as shown in the figure below contain the same amount of liquid. The radii of the tops of the liquid surfaces are $3$ cm and $6$ cm. Into each cone is dropped a spherical marble of radius $1$ cm, which sinks to the bottom and is completely submerged without spilling any liquid. What is the ratio of the rise of the liquid level in the narrow cone to the rise of the liquid level in the wide cone?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

1:1

(B)

47:43

(C)

2:1

(D)

40:13

(E)

4:1

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 꼭지점이 아래로 향한 두 직원뿔이 "같은 부피"의 액체를 담고 있습니다. 좁은 원뿔의 액체 표면은 반지름 $3$ cm 의 원, 넓은 원뿔의 표면은 반지름 $6$ cm 의 원입니다. 두 원뿔에 같은 구슬(반지름 $1$ cm) 을 하나씩 떨어뜨려 가라앉히면, 좁은 쪽 액체 높이가 $\Delta_n$, 넓은 쪽이 $\Delta_w$ 만큼 올라갑니다. 비 $\Delta_n : \Delta_w$ 를 구하세요.

주어진 것: 두 원뿔 모두 직원뿔, 꼭지점이 아래; 초기 액체 부피는 두 원뿔에서 같음; 초기 액체 표면 반지름: $3$ cm (좁은), $6$ cm (넓은); 부피 $\tfrac{4}{3}\pi$ cm$^3$ 의 반지름-$1$ 구슬이 각 원뿔에 들어가 완전히 잠김 (넘침 없음); 선택지: $1:1, 47:43, 2:1, 40:13, 4:1$

구하는 것: 수면 상승 비 $\Delta_n / \Delta_w$

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

도구 #9(더 쉬운 문제)가 가장 큰 역할: 두 원뿔이 "엄청 길다"고 가정해 수면 근처를 반지름 $3, 6$ 의 원기둥으로 근사. 같은 추가 부피 $V_m$ 이 좁은 원기둥은 $V_m / (\pi \cdot 3^2)$ 만큼, 넓은 원기둥은 $V_m / (\pi \cdot 6^2)$ 만큼 들어 올리므로 비는 $36/9 = 4$. 도구 #1(그림)로 원뿔 대 원기둥 그림을 또렷이. 도구 #7(쪼개기)로 엄밀화: 같은 초기 부피 조건이 좁은 원뿔 높이를 넓은 원뿔의 $4$ 배로 만들고, 같은 $4$ 배가 상승 비에서 다시 나타남. 도구 #3(가능성 지우기)으로 다섯 선택지 중 (E) 확정.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 7.G.A.1 단계 1

두 원뿔에 닮음 비례 상수를 부여.
좁은 원뿔의 초기 액체 높이를 $h_n$, 넓은 원뿔을 $h_w$ 라 합시다.
원뿔 내부 단면은 자기 자신의 축소 사본이므로 표면 반지름은 높이에 비례: 좁은 원뿔에서 항상 $r/h = 3/h_n$, 넓은 원뿔에서 항상 $r/h = 6/h_w$.

좁은: $r = \dfrac{3}{h_n} \cdot h$. \quad 넓은: $r = \dfrac{6}{h_w} \cdot h$.

💡 7학년 축척 그림: 원뿔의 모든 수평 단면은 원래 테두리의 축소 사본.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.C.7 단계 2

같은 초기 부피로부터 $h_n, h_w$ 의 관계를 깔끔히 얻습니다.
원뿔 부피 $\tfrac{1}{3}\pi r^2 h$ 이므로 $\tfrac{1}{3}\pi (3)^2 h_n = \tfrac{1}{3}\pi (6)^2 h_w$, 즉 $9 h_n = 36 h_w$, 따라서 $h_n = 4 h_w$.
좁은 액체 기둥이 넓은 쪽 보다 네 배 더 깁니다.

$$\tfrac{1}{3}\pi (3)^2 h_n = \tfrac{1}{3}\pi (6)^2 h_w \;\Rightarrow\; h_n = 4 h_w$$

💡 8학년 일차방정식: 양변 $\tfrac{1}{3}\pi$ 소거 후 정리.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.G.B.6 단계 3

더 쉬운 문제부터 시도 (도구 #9).
두 원뿔을 수면 근처에서 반지름 $3, 6$ 의 "원기둥" 으로 가정.
구슬 부피 $V_m = \tfrac{4}{3}\pi$ 가 좁은 원기둥을 $V_m / (\pi \cdot 3^2)$ 만큼, 넓은 원기둥을 $V_m / (\pi \cdot 6^2)$ 만큼 올림.
비는 $36/9 = 4$.
답이 $4:1$ 일 것이라는 강한 힌트.

$$\dfrac{\Delta_n^{\text{cyl}}}{\Delta_w^{\text{cyl}}} = \dfrac{V_m / (\pi \cdot 9)}{V_m / (\pi \cdot 36)} = \dfrac{36}{9} = 4$$

💡 7학년 부피·넓이: 원기둥 상승 = 추가 부피 ÷ 단면 넓이.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.1 단계 4

원뿔에서 정확하게 다시.
좁은 원뿔의 새로운 높이 $H_n$ 은 $\tfrac{1}{3}\pi (r_n^{\text{new}})^2 H_n = \tfrac{1}{3}\pi (3)^2 h_n + V_m$ 를 만족, 여기서 $r_n^{\text{new}} = \tfrac{3}{h_n} H_n$.
정리하면 $\tfrac{1}{3}\pi \tfrac{9}{h_n^2} H_n^3 = 3\pi h_n + V_m$, 즉 $H_n^3 = h_n^3 + \tfrac{V_m h_n^2}{3\pi}$.
마찬가지로 $H_w^3 = h_w^3 + \tfrac{V_m h_w^2}{12\pi}$.

$$H_n^3 - h_n^3 = \dfrac{V_m \, h_n^2}{3\pi}, \qquad H_w^3 - h_w^3 = \dfrac{V_m \, h_w^2}{12\pi}$$

💡 8학년 거듭제곱: 원뿔 부피를 한 높이 변수로 표현하면 $H^3 - h^3$ 관계가 나옴.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.RP.A.2 단계 5

$h_n = 4 h_w$ 를 이용해 상승 비 읽기.
두 항등식의 양변을 같은 방식으로 정리: $(H_n / h_n)^3 - 1 = \tfrac{V_m}{3\pi h_n}$, $(H_w / h_w)^3 - 1 = \tfrac{V_m}{12\pi h_w}$.
$h_n = 4 h_w$ 대입하면 우변이 둘 다 $\tfrac{V_m}{12\pi h_w}$ 로 같음.
따라서 $H_n / h_n = H_w / h_w$ — 이 공통 비를 $\lambda$ 라 하면, $H_n - h_n = (\lambda - 1) h_n$, $H_w - h_w = (\lambda - 1) h_w$.
나누면 $\Delta_n / \Delta_w = h_n / h_w = 4$.

$$\dfrac{\Delta_n}{\Delta_w} = \dfrac{H_n - h_n}{H_w - h_w} = \dfrac{h_n}{h_w} = 4$$

💡 7학년 비례: 두 원뿔이 같은 배율 $\lambda$ 로 확대되므로 상승은 원래 높이 비와 같음.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.5 단계 6

$4 : 1$ 을 선택지와 매칭: (E).
나머지 비($1:1, 47:43, 2:1, 40:13$)는 "같은 초기 부피" 조건을 만족시키지 못함.

$$\Delta_n : \Delta_w = 4 : 1 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 6학년: 계산된 비를 객관식 보기와 비교.

[1] #1 7.G.A.1 두 원뿔에 닮음 비례 상수를 부여. 좁은 원뿔의 초기 액체 높이를 $h_n$, 넓은 원뿔을 $h_w$ 라 합시다. 원뿔 내부 단면은 자기 자신의

[2] #7 8.EE.C.7 같은 초기 부피로부터 $h_n, h_w$ 의 관계를 깔끔히 얻습니다. 원뿔 부피 $\tfrac{1}{3}\pi r^2 h$ 이므로 $\tfrac

[3] #9 7.G.B.6 더 쉬운 문제부터 시도 (도구 #9). 두 원뿔을 수면 근처에서 반지름 $3, 6$ 의 "원기둥" 으로 가정. 구슬 부피 $V_m = \tfra

[4] #7 8.EE.A.1 원뿔에서 정확하게 다시. 좁은 원뿔의 새로운 높이 $H_n$ 은 $\tfrac{1}{3}\pi (r_n^{\text{new}})^2 H_n =

[5] #7 7.RP.A.2 $h_n = 4 h_w$ 를 이용해 상승 비 읽기. 두 항등식의 양변을 같은 방식으로 정리: $(H_n / h_n)^3 - 1 = \tfrac{

[6] #3 6.EE.B.5 $4 : 1$ 을 선택지와 매칭: (E). 나머지 비($1:1, 47:43, 2:1, 40:13$)는 "같은 초기 부피" 조건을 만족시키지 못함

검토

합리성 확인: $4:1$ 이 자연스러운 이유 두 가지. (a) 원기둥 근사(도구 #9)에서 이미 정확히 $4:1$ 이 나옴 — 같은 구슬이 같은 부피를 더하는데, 넓은 테두리는 그 부피를 넓은 면적 위에 펴므로 상승이 작음. 반지름이 두 배면 면적은 제곱으로 네 배 ($6^2/3^2 = 4$), 따라서 넓은 쪽 상승이 $4$ 배 작음. (b) 같은 부피에서 좁은 원뿔은 네 배 "키가 큼" 이고, 상승은 원래 높이에 비례 — 다시 $4:1$. 두 논증이 일치, 그리고 답은 구슬의 실제 부피에 무관 — 어떤 작은 물체든 비는 $4:1$.

대안 접근: 도구 #6(추측·확인)에 구체 값. $h_w = 1$ cm, 따라서 $h_n = 4$ cm. 구슬 부피 $V_m = \tfrac{4}{3}\pi$. $H_n^3 = 4^3 + \tfrac{V_m \cdot 16}{3\pi} = 64 + \tfrac{64}{9}$, $H_w^3 = 1 + \tfrac{V_m}{12\pi} = 1 + \tfrac{1}{9}$. 수치: $H_n \approx 4.073$, $H_w \approx 1.018$, 따라서 $\Delta_n \approx 0.073$, $\Delta_w \approx 0.018$, 비 $\approx 4.06$ — 기호 계산으로는 정확히 $4$. (E) 확정.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.B.5 방정식·부등식 풀기를 "값 찾기" 과정으로 이해하기 (계산된 $4:1$ 을 다섯 선택지와 대조해 (E) 를 고르는 마무리.)
7.RP.A.2 양 사이의 비례 관계 인식·표현 (두 원뿔이 같은 배율 $\lambda$ 로 확대됨을 이용해 $\Delta_n / \Delta_w = h_n / h_w$ 를 읽는 데 사용.)
7.G.A.1 기하 도형의 축척 그림을 다루는 문제 풀기 (각 원뿔 내부의 닮음 삼각형으로 "$r$ 은 $h$ 에 비례" 를 세우는 데 사용.)
7.G.B.6 넓이·부피·겉넓이가 등장하는 실생활·수학 문제 풀기 (원기둥 근사: 상승 = 추가 부피 / 단면 넓이, $36/9 = 4$ 의 비를 얻는 데 사용.)
8.EE.A.1 정수 지수의 성질을 알고 적용하기 (각 원뿔의 새 부피를 $\tfrac{1}{3}\pi (r/h)^2 H^3$ 으로 적어 $H^3 - h^3$ 관계로 만드는 데 사용.)
8.EE.C.7 일변수 일차방정식 풀기 (같은 부피 식에서 $\tfrac{1}{3}\pi$ 를 소거해 $9 h_n = 36 h_w$ 로부터 $h_n = 4 h_w$ 를 얻는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 부피 공식과 비례 추론만 알면 풀 수 있어요! 같은 액체 부피에 넓은 테두리 — 그러면 좁은 원뿔의 키가 $4$ 배. 같은 구슬을 떨어뜨리면 넓은 테두리는 그 부피를 $4$ 배 넓은 단면에 펴서 상승이 $1/4$ 배. 비 $4:1$, 답 (E).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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