AMC 10 · 2021 · #13
학년 8 geometry-3d문제
What is the volume of tetrahedron ABCD with edge lengths AB=2, AC=3, AD=4, BC=13, BD=25, and CD=5 ?
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AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 사면체 $ABCD$ 의 여섯 모서리 길이가 $AB = 2$, $AC = 3$, $AD = 4$, $BC = \sqrt{13}$, $BD = 2\sqrt{5}$, $CD = 5$ 입니다. 부피를 구하세요.
주어진 것: $A$ 에서 출발하는 세 모서리: $AB = 2, AC = 3, AD = 4$; 그 맞은편 세 모서리: $BC = \sqrt{13}, BD = 2\sqrt{5}, CD = 5$; 선택지: $3,\;\; 2\sqrt{3},\;\; 4,\;\; 3\sqrt{3},\;\; 6$
구하는 것: 사면체 $ABCD$ 의 부피
이해
문제 재정리: 사면체 $ABCD$ 의 여섯 모서리 길이가 $AB = 2$, $AC = 3$, $AD = 4$, $BC = \sqrt{13}$, $BD = 2\sqrt{5}$, $CD = 5$ 입니다. 부피를 구하세요.
주어진 것: $A$ 에서 출발하는 세 모서리: $AB = 2, AC = 3, AD = 4$; 그 맞은편 세 모서리: $BC = \sqrt{13}, BD = 2\sqrt{5}, CD = 5$; 선택지: $3,\;\; 2\sqrt{3},\;\; 4,\;\; 3\sqrt{3},\;\; 6$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #6 추측하고 확인하기, #3 가능성 지우기
도구 #1(그림): 꼭짓점 $A$ 에서 세 모서리 $AB, AC, AD$ 가 $B, C, D$ 로 뻗는 그림. 핵심 트릭은 $A$ 를 포함하는 세 삼각형 면이 모두 $A$ 에서 직각인지 — 피타고라스의 역 (도구 #6, 추측·확인으로 $a^2 + b^2 = c^2$ 확인). 실제로 $2^2 + 3^2 = 13 = BC^2$, $2^2 + 4^2 = 20 = BD^2$, $3^2 + 4^2 = 25 = CD^2$. 셋 다! 따라서 $A$ 에서 나오는 세 모서리가 서로 수직, 이 사면체는 "직육면체의 한 모서리" 이고 부피는 $\tfrac{1}{6} \cdot AB \cdot AC \cdot AD$. 도구 #7(쪼개기)은 "직각 검출 → 모서리 공식" 으로 분할. 도구 #3(가능성 지우기)으로 최종 값을 선택지와 매칭.
실행 — 정답: C
6.EE.A.1 단계 1 - $A$ 에서 나오는 세 모서리의 제곱을 나열: $AB^2 = 4$, $AC^2 = 9$, $AD^2 = 16$.
- 맞은편 세 모서리의 제곱: $BC^2 = 13$, $BD^2 = 20$, $CD^2 = 25$.
💡 6학년 식: 모든 길이를 제곱하면 제곱의 합 패턴이 드러남.
8.G.B.6 단계 2 - $ABC$ 면에서 피타고라스 관계 점검.
- $AB^2 + AC^2 = BC^2$ 인가?
- $4 + 9 = 13$ ✓.
- 피타고라스의 역에 의해 $\triangle ABC$ 는 $A$ 에서 직각, 즉 모서리 $AB \perp AC$.
💡 8학년 피타고라스의 역: $a^2 + b^2 = c^2$ 면 직각삼각형.
8.G.B.6 단계 3 - $ABD$ 면과 $ACD$ 면에서도 반복.
- $4 + 16 = 20 = BD^2$ ✓ 이므로 $\angle BAD = 90^\circ$.
- $9 + 16 = 25 = CD^2$ ✓ 이므로 $\angle CAD = 90^\circ$.
💡 $A$ 에서 만나는 나머지 두 면에 같은 역을 적용.
8.G.B.8 단계 4 - 세 직각을 3차원 그림으로.
- $A$ 에서 나오는 세 모서리가 모두 서로 수직 — 직육면체의 한 모서리에서 만나는 세 변과 같은 모습.
- $A$ 를 원점에 두고 $B$ 를 $x$ 축, $C$ 를 $y$ 축, $D$ 를 $z$ 축에 놓으면 사면체는 $2 \times 3 \times 4$ 박스의 "모서리 조각".
💡 8학년 공간 좌표: 서로 수직인 모서리를 축 위에 놓으면 그림이 깔끔.
6.G.A.1 단계 5 - $ABC$ 면(직각삼각형, 다리 $2, 3$)을 밑면으로 잡고 부피 계산.
- 넓이는 $\tfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3$.
- $D$ 에서 $ABC$ 평면($xy$ 평면)까지의 높이는 $AD = 4$ — $AD$ 가 그 평면에 수직이기 때문.
💡 6학년 직각삼각형 넓이 "밑 × 높이 ÷ 2", 그리고 "수직 모서리 = 높이".
7.G.B.6 단계 6 - 각뿔 부피 공식 적용.
- $V = \tfrac{1}{3} \cdot \text{밑넓이} \cdot \text{높이} = \tfrac{1}{3} \cdot 3 \cdot 4 = 4$.
- 잘 알려진 "박스 모서리" 공식과도 일치: $V = \tfrac{1}{6} \cdot AB \cdot AC \cdot AD = \tfrac{1}{6} \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 4$.
💡 7학년 부피: 어떤 각뿔이든 밑넓이 × 높이 ÷ 3.
6.EE.B.5 단계 7 - $V = 4$ 를 선택지와 매칭: (C).
- 나머지 값($3, 2\sqrt{3}, 3\sqrt{3}, 6$)은 박스 모서리 계산과 맞지 않음.
💡 6학년 객관식 매칭: $4$ 와 같은 보기는 하나뿐.
6.EE.A.1 $A$ 에서 나오는 세 모서리의 제곱을 나열: $AB^2 = 4$, $AC^2 = 9$, $AD^2 = 16$. 맞은편 세 모서리의 제곱: $B 8.G.B.6 $ABC$ 면에서 피타고라스 관계 점검. $AB^2 + AC^2 = BC^2$ 인가? $4 + 9 = 13$ ✓. 피타고라스의 역에 의해 $\t 8.G.B.6 $ABD$ 면과 $ACD$ 면에서도 반복. $4 + 16 = 20 = BD^2$ ✓ 이므로 $\angle BAD = 90^\circ$. $9 + 8.G.B.8 세 직각을 3차원 그림으로. $A$ 에서 나오는 세 모서리가 모두 서로 수직 — 직육면체의 한 모서리에서 만나는 세 변과 같은 모습. $A$ 를 6.G.A.1 $ABC$ 면(직각삼각형, 다리 $2, 3$)을 밑면으로 잡고 부피 계산. 넓이는 $\tfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3$ 7.G.B.6 각뿔 부피 공식 적용. $V = \tfrac{1}{3} \cdot \text{밑넓이} \cdot \text{높이} = \tfrac{1}{3} \ 6.EE.B.5 $V = 4$ 를 선택지와 매칭: (C). 나머지 값($3, 2\sqrt{3}, 3\sqrt{3}, 6$)은 박스 모서리 계산과 맞지 않음. 검토
합리성 확인: "박스 모서리" 모양 자체가 검산. 전체 $2 \times 3 \times 4$ 박스 부피는 $24$, 한 모서리에서 자르는 사면체는 박스의 정확히 $1/6$ (한 꼭짓점을 지나는 세 대각면이 박스를 합동인 사면체 여섯 개로 나눔). 따라서 $V = 24/6 = 4$ ✓. 길이 $2$–$5$ 정도의 모서리에서 부피가 한 자릿수가 나오는 것은 자연스러움.
대안 접근: 도구 #6(추측·확인)으로 스칼라 삼중곱. 좌표 $A = (0,0,0), B = (2,0,0), C = (0,3,0), D = (0,0,4)$ 에서 사면체 부피 $= \tfrac{1}{6} |{\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})}| = \tfrac{1}{6} |\det\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}| = \tfrac{1}{6} \cdot 24 = 4$. 같은 답 (C). (각뿔 공식과 같은 계산의 고등학교 버전.)
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
6.EE.A.1자연수 지수가 포함된 수식 쓰기·계산하기 ($AB^2, AC^2, AD^2, BC^2, BD^2, CD^2$ 을 계산해 피타고라스 패턴 드러내기.)6.EE.B.5방정식·부등식 풀기를 "값 찾기" 과정으로 이해하기 (계산된 $V = 4$ 를 다섯 선택지와 대조해 (C) 를 고르는 마무리.)6.G.A.1직각삼각형·기타 삼각형·특수 사각형·다각형의 넓이 구하기 (직각삼각형 $ABC$ 의 넓이 $\tfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3$ 을 계산하는 데 사용.)7.G.B.6넓이·부피·겉넓이가 등장하는 실생활·수학 문제 풀기 (사면체에 $V = \tfrac{1}{3} \cdot \text{밑넓이} \cdot \text{높이}$ 적용.)8.G.B.6피타고라스 정리와 그 역의 증명 설명 ($ABC, ABD, ACD$ 세 면에서 $A$ 의 직각을 역으로 검출하는 데 사용.)8.G.B.8좌표평면에서 두 점 사이의 거리에 피타고라스 적용 ($AB, AC, AD$ 가 서로 수직이라는 사실로 $A, B, C, D$ 를 좌표축 위에 배치.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 피타고라스 정리만 알면 풀 수 있어요! 모든 모서리를 제곱: $2^2+3^2 = 13$, $2^2+4^2 = 20$, $3^2+4^2 = 25$ — 정확히 $BC^2, BD^2, CD^2$. 그러니까 $AB, AC, AD$ 가 서로 수직, $2 \times 3 \times 4$ 박스의 모서리 세 변과 같은 모양. 사면체는 그 박스의 $1/6$, 따라서 부피는 $24/6 = 4$, 답 (C).
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 피타고라스 정리만 알면 풀 수 있어요! 모든 모서리를 제곱: $2^2+3^2 = 13$, $2^2+4^2 = 20$, $3^2+4^2 = 25$ — 정확히 $BC^2, BD^2, CD^2$. 그러니까 $AB, AC, AD$ 가 서로 수직, $2 \times 3 \times 4$ 박스의 모서리 세 변과 같은 모양. 사면체는 그 박스의 $1/6$, 따라서 부피는 $24/6 = 4$, 답 (C).
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