AMC 10 · 2021 · #19
학년 8 geometry-2d문제
The area of the region bounded by the graph ofx2+y2=3∣x−y∣+3∣x+y∣is m+nπ, where m and n are integers. What is m+n?
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AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 그래프 $x^2 + y^2 = 3|x - y| + 3|x + y|$ 이 둘러싸는 영역의 넓이가 정수 $m, n$ 에 대해 $m + n\pi$ 일 때 $m + n$ 의 값을 구하세요.
주어진 것: 방정식 $x^2 + y^2 = 3|x - y| + 3|x + y|$; 닫힌 영역의 넓이는 정수 $m, n$ 에 대해 $m + n\pi$; 선택지: (A) $18$, (B) $27$, (C) $36$, (D) $45$, (E) $54$
구하는 것: $m + n$
이해
문제 재정리: 그래프 $x^2 + y^2 = 3|x - y| + 3|x + y|$ 이 둘러싸는 영역의 넓이가 정수 $m, n$ 에 대해 $m + n\pi$ 일 때 $m + n$ 의 값을 구하세요.
주어진 것: 방정식 $x^2 + y^2 = 3|x - y| + 3|x + y|$; 닫힌 영역의 넓이는 정수 $m, n$ 에 대해 $m + n\pi$; 선택지: (A) $18$, (B) $27$, (C) $36$, (D) $45$, (E) $54$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #1 그림 그리기, #5 패턴 찾기, #13 대수로 바꾸기
도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) — 두 직선 $y = x$ 와 $y = -x$ 가 평면을 네 개의 쐐기로 나눕니다. 각 쐐기에서 $|x|, |y|$ 중 하나가 더 크므로 절댓값이 부호 다툼 없이 풀립니다. 도구 #13 (대수): 각 쐐기에서 방정식이 원으로 바뀜, 예를 들어 $(x - 3)^2 + y^2 = 9$. 도구 #5 (패턴): 네 쐐기가 원점 중심의 $90°$ 회전으로 합동인 네 원을 만듭니다. 도구 #1 (그림): 네 호를 그려 보면 가운데 정사각형에 네 반원 혹이 붙은 모양 — 넓이는 정사각형 + 4 반원으로 분해됩니다.
실행 — 정답: E
6.NS.C.7 단계 1 - 항등식: $|x - y| + |x + y| = 2 \max(|x|, |y|)$.
- (간단 증명: $|x| \ge |y|$ 이면 $x + y$ 와 $x - y$ 의 부호는 $x$ 의 부호와 같아 합이 $|2x| = 2|x|$ 임; $|y| \ge |x|$ 인 경우도 대칭.) 따라서 우변은 $6 \max(|x|, |y|)$, 식은 두 직선 $y = x, y = -x$ 를 경계로 갈라집니다.
💡 $|x - y| + |x + y|$ 는 $|x|$ 와 $|y|$ 중 더 큰 값의 두 배입니다.
8.G.B.7 단계 2 - 쐐기 1 — 오른쪽 쐐기 $x \ge |y|$.
- 여기서 $\max(|x|, |y|) = x$ 이므로 방정식은 $x^2 + y^2 = 6x$, 즉 $(x - 3)^2 + y^2 = 9$.
- 이는 중심 $(3, 0)$, 반지름 $3$ 인 원.
💡 완전제곱식 변형으로 대수식이 "원" 형태가 됩니다.
5.G.A.2 단계 3 - 쐐기 $x \ge |y|$ 안에서 원을 매개변수화: $x = 3 + 3\cos\theta, y = 3\sin\theta$.
- 쐐기 조건 $x \ge |y|$ 는 $\theta \in [-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]$ 에서 정확히 성립 — $(3, -3)$ 에서 $(3, 3)$ 까지 $(6, 0)$ 을 지나는 오른쪽 반원호.
💡 작은 원의 절반은 쐐기 안, 나머지 절반은 가운데 정사각형 안에 있습니다.
8.G.A.3 단계 4 - 대칭 (도구 #5) 으로 다른 세 쐐기는 원점에 대해 $90°, 180°, 270°$ 회전한 같은 원들을 만들어 냅니다.
- 중심은 $(0, 3), (-3, 0), (0, -3)$, 각각 바깥쪽으로 $(0, 6), (-6, 0), (0, -6)$ 까지 부풉니다.
💡 $90°$ 회전대칭 — 같은 대수가 네 쐐기에서 반복됩니다.
7.G.B.6 단계 5 - 네 반원을 그려 봅니다.
- 끝점은 $(\pm 3, \pm 3)$ — 한 변 $6$ 인 정사각형의 네 꼭짓점입니다.
- 닫힌 영역은 이 정사각형에 네 반원 혹이 한 변마다 하나씩 붙은 모양.
💡 가운데 정사각형, 네 변에 반쪽 동전 모양 혹이 하나씩.
7.G.B.4 단계 6 - 정사각형 넓이: $6 \times 6 = 36$.
- 반원 네 개 넓이: $4 \cdot \tfrac{1}{2} \pi \cdot 3^2 = 18\pi$.
- 총 넓이: $36 + 18\pi$.
💡 정사각형 $36$ 더하기 반지름 $3$ 반원 네 개 $18\pi$.
4.NBT.B.4 단계 7 $m + n\pi$ 형태에 맞추면 $m = 36, n = 18$ 이므로 $m + n = 36 + 18 = 54$ — 선택지 (E).
💡 넓이 식에서 $m$ 과 $n$ 을 읽고 더합니다.
6.NS.C.7 항등식: $|x - y| + |x + y| = 2 \max(|x|, |y|)$. (간단 증명: $|x| \ge |y|$ 이면 $x + y$ 와 8.G.B.7 쐐기 1 — 오른쪽 쐐기 $x \ge |y|$. 여기서 $\max(|x|, |y|) = x$ 이므로 방정식은 $x^2 + y^2 = 6x$, 즉 5.G.A.2 쐐기 $x \ge |y|$ 안에서 원을 매개변수화: $x = 3 + 3\cos\theta, y = 3\sin\theta$. 쐐기 조건 $x \g 8.G.A.3 대칭 (도구 #5) 으로 다른 세 쐐기는 원점에 대해 $90°, 180°, 270°$ 회전한 같은 원들을 만들어 냅니다. 중심은 $(0, 3), 7.G.B.6 네 반원을 그려 봅니다. 끝점은 $(\pm 3, \pm 3)$ — 한 변 $6$ 인 정사각형의 네 꼭짓점입니다. 닫힌 영역은 이 정사각형에 네 7.G.B.4 정사각형 넓이: $6 \times 6 = 36$. 반원 네 개 넓이: $4 \cdot \tfrac{1}{2} \pi \cdot 3^2 = 18\ 4.NBT.B.4 $m + n\pi$ 형태에 맞추면 $m = 36, n = 18$ 이므로 $m + n = 36 + 18 = 54$ — 선택지 (E). 검토
합리성 확인: 원점은 양변이 모두 $0$ 이므로 경계 위. 호는 $(\pm 6, 0), (0, \pm 6)$ 까지 뻗어 영역은 $12 \times 12$ 사각형 (넓이 $144$) 안에 들어갑니다. 답 $36 + 18\pi \approx 36 + 56.5 \approx 92.5$ 는 $144$ 보다 작고 내접 정사각형 $36$ 보다 큰 적정 범위 — 끼움 검산 통과. 혹 한 개의 넓이 $\tfrac{9\pi}{2} \approx 14.1$, 네 개 합 $\approx 56.5$ 도 일치.
대안 접근: 도구 #10 (직접 만져보기) — 모눈종이에 $1$ 칸 = $1$ cm 비율로 컴퍼스로 반지름 $3$ 인 원 네 개를 $(\pm 3, 0), (0, \pm 3)$ 중심에 그립니다. 바깥쪽 경계를 따라 잘라 펴 보면 가운데 정사각형 + 네 반원 모양이 보입니다. 정사각형 부분은 단위 칸 수로 (36 칸), 반원은 $\pi r^2 / 2 = 4.5\pi$ 씩 — 총 $36 + 18\pi$.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
6.NS.C.7유리수의 순서와 절댓값 이해 ($x - y, x + y$ 의 부호를 따져 $|x - y| + |x + y| = 2 \max(|x|, |y|)$ 로 단순화.)8.G.B.7직각삼각형의 미지의 변을 피타고라스 정리로 구하기 (거리 제곱 공식으로 $(x - 3)^2 + y^2 = 9$ 가 반지름 $3$ 원임을 인식.)5.G.A.2좌표평면에 점 찍어 문제 표현 (반원 끝점 $(\pm 3, \pm 3)$ 과 바깥 호 위 점 $(\pm 6, 0), (0, \pm 6)$ 을 좌표평면에 배치.)8.G.A.3확대·평행이동·회전·반사가 좌표에 미치는 효과 기술 (한 쐐기 분석을 $90°$ 회전대칭으로 나머지 세 쐐기에 복제.)7.G.B.6넓이·겉넓이·부피 실생활 문제 풀기 (닫힌 영역을 정사각형과 반원 네 개로 분해하여 넓이 계산 준비.)7.G.B.4원의 넓이와 둘레 공식 (각 반원 넓이 $\tfrac{1}{2}\pi r^2 = \tfrac{9\pi}{2}$ 계산, 네 개 합산.)4.NBT.B.4여러 자릿수 수 능숙하게 더하기 빼기 ($m + n = 36 + 18 = 54$ 최종 합산.)
⭐ 절댓값 합 $|x-y|+|x+y|$ 는 사실 $2 \max(|x|, |y|)$ 라서 평면이 네 쐐기로 갈리고, 각 쐐기에서 반지름 $3$ 원이 하나씩 나옵니다. 네 원이 원점 중심으로 회전대칭이라 가운데 정사각형 (넓이 $36$) + 네 반원 (넓이 $18\pi$) 모양 — 넓이 $36 + 18\pi$, $m + n = \textbf{(E) }54$.
⭐ 절댓값 합 $|x-y|+|x+y|$ 는 사실 $2 \max(|x|, |y|)$ 라서 평면이 네 쐐기로 갈리고, 각 쐐기에서 반지름 $3$ 원이 하나씩 나옵니다. 네 원이 원점 중심으로 회전대칭이라 가운데 정사각형 (넓이 $36$) + 네 반원 (넓이 $18\pi$) 모양 — 넓이 $36 + 18\pi$, $m + n = \textbf{(E) }54$.
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