AMC 10 · 2021 · #21
학년 8 geometry-2d문제
Let ABCDEF be an equiangular hexagon. The lines AB,CD, and EF determine a triangle with area 1923, and the lines BC,DE, and FA determine a triangle with area 3243. The perimeter of hexagon ABCDEF can be expressed as m+np, where m,n, and p are positive integers and p is not divisible by the square of any prime. What is m+n+p?
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AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 정육각형(모든 내각이 같음) $ABCDEF$ 에서 모든 내각은 $120^\circ$ 입니다. 한 칸 건너 변들 — 먼저 $AB, CD, EF$, 그다음 $BC, DE, FA$ — 을 각각 연장하면 두 개의 큰 삼각형이 만들어지고, 그 넓이가 $192\sqrt{3}$ 과 $324\sqrt{3}$ 입니다. 육각형의 둘레를 $m + n\sqrt{p}$ 꼴($p$ 는 제곱수에 의해 나누어지지 않음)로 나타낼 때 $m + n + p$ 를 구하세요.
주어진 것: 육각형 $ABCDEF$ 는 등각(모든 내각 같음), 즉 각 내각이 $120^\circ$; $AB, CD, EF$ 로 만들어지는 삼각형의 넓이 $= 192\sqrt{3}$; $BC, DE, FA$ 로 만들어지는 삼각형의 넓이 $= 324\sqrt{3}$; 선택지: (A) $47$, (B) $52$, (C) $55$, (D) $58$, (E) $63$
구하는 것: 둘레가 $m + n\sqrt{p}$ 일 때 $m + n + p$
이해
문제 재정리: 정육각형(모든 내각이 같음) $ABCDEF$ 에서 모든 내각은 $120^\circ$ 입니다. 한 칸 건너 변들 — 먼저 $AB, CD, EF$, 그다음 $BC, DE, FA$ — 을 각각 연장하면 두 개의 큰 삼각형이 만들어지고, 그 넓이가 $192\sqrt{3}$ 과 $324\sqrt{3}$ 입니다. 육각형의 둘레를 $m + n\sqrt{p}$ 꼴($p$ 는 제곱수에 의해 나누어지지 않음)로 나타낼 때 $m + n + p$ 를 구하세요.
주어진 것: 육각형 $ABCDEF$ 는 등각(모든 내각 같음), 즉 각 내각이 $120^\circ$; $AB, CD, EF$ 로 만들어지는 삼각형의 넓이 $= 192\sqrt{3}$; $BC, DE, FA$ 로 만들어지는 삼각형의 넓이 $= 324\sqrt{3}$; 선택지: (A) $47$, (B) $52$, (C) $55$, (D) $58$, (E) $63$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #13 대수로 바꾸기
도구 #1(그림 그리기) — 육각형을 그리고 한 칸 건너 변들을 연장하면 큰 삼각형이 나오고 각 꼭짓점에서 정삼각형 "칩"이 잘려나가는 모양이 한눈에 보임. 도구 #9(더 쉬운 문제) — 정육각형이면 두 넓이가 같아야 하므로($192 = 324$ 가 동일해야 함) 이 관계의 형태가 정삼각형 넓이 공식 $s^2 \sqrt{3}/4$ 에 의존함을 확인. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) — 두 넓이에서 두 큰 삼각형 변 길이를 각각 복원, 그림에서 육각형 변과 큰 삼각형 변의 관계 읽기. 도구 #13(대수로 바꾸기) — 둘레는 두 큰 삼각형 변 길이의 합으로 나오는 일차연립방정식 해.
실행 — 정답: C
8.G.A.5 단계 1 - 등각육각형이므로 각 내각 $= \tfrac{(6-2)\cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$.
- 한 칸 건너 세 변 $AB, CD, EF$ 을 연장하면 인접한 육각형 꼭짓점에서 두 외각이 $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ 이므로, 두 연장선 사이에 잘려나간 작은 모서리 삼각형은 $60^\circ\!-\!60^\circ\!-\!60^\circ$ 정삼각형.
- 세 모서리 모두 같은 논리.
- 따라서 큰 바깥 삼각형도 모든 각 $60^\circ$ — 정삼각형.
- $BC, DE, FA$ 로 만들어지는 삼각형도 동일.
💡 육각형을 그리고 변을 연장하면 모서리마다 $60^\circ$ 정삼각형 칩이 잘려나가고, 남는 큰 삼각형도 정삼각형.
8.EE.A.2 단계 2 - 큰 삼각형 각각의 변 길이를 넓이에서 복원.
- 정삼각형(변 $s$) 넓이 $= \tfrac{s^2 \sqrt{3}}{4}$.
- 첫 번째: $\tfrac{s_1^2 \sqrt{3}}{4} = 192\sqrt{3}$ 에서 $s_1^2 = 768, s_1 = \sqrt{768} = 16\sqrt{3}$.
- 두 번째: $\tfrac{s_2^2 \sqrt{3}}{4} = 324\sqrt{3}$ 에서 $s_2^2 = 1296, s_2 = 36$.
💡 정삼각형 넓이 공식을 거꾸로 — 넓이에서 $s^2$ 을 얻고 제곱근으로 $s$.
8.G.A.5 단계 3 - 그림에서 육각형 변 길이 읽기.
- 변 $s_2 = 36$ 인 큰 삼각형은 $AB, CD, EF$ 가 놓이는 삼각형.
- 이 삼각형의 각 변은 "모서리 칩 변 + 육각형 변 + 모서리 칩 변" 의 세 부분으로 나뉘고, 한 변 위의 육각형 변은 $AB, CD, EF$ 중 하나, 두 모서리 칩의 변은 다른 육각형 변(즉 $BC, DE, FA$ 중 두 개)임.
- 세 변에 대해 합하면 $3 s_2 = (AB + CD + EF) + 2(BC + DE + FA)$.
- 따라서 $P_1 + 2 P_2 = 108$ ($P_1 = AB+CD+EF, P_2 = BC+DE+FA$).
- 같은 논리로 다른 큰 삼각형(변 $s_1 = 16\sqrt{3}$): $3 s_1 = 48\sqrt{3} = P_2 + 2 P_1$.
💡 큰 삼각형 한 변은 "육각형 변 1개 + 정삼각형 칩 변 2개"; 세 변을 합치면 깔끔한 일차식.
4.OA.A.3 단계 4 - 더 쉬운 경우로 검산.
- 정육각형은 $P_1 = P_2$ 이고 두 큰 삼각형이 같음.
- 이 관계에 대입하면 $3 P_1 = 3 s = 3 \cdot 2 \cdot (\text{육각형 변})$ 이 되어 큰 삼각형 변 $=$ 육각형 변의 $2$ 배.
- 정육각형에서 실제로 그러함을 그림으로 확인 — 공식이 맞음.
💡 정육각형에서 두 식이 같아져 한 길이로 무너지는 것을 확인 — 공식이 옳음.
8.EE.C.8 단계 5 - $P_1, P_2$ 연립방정식 풀이.
- $P_1 + 2 P_2 = 108$ 과 $2 P_1 + P_2 = 48\sqrt{3}$.
- 두 번째 식에 $2$ 를 곱해 $4 P_1 + 2 P_2 = 96\sqrt{3}$, 첫 번째 식을 빼면 $3 P_1 = 96\sqrt{3} - 108$, $P_1 = 32\sqrt{3} - 36$.
- $P_2 = (108 - P_1)/2 = (108 - 32\sqrt{3} + 36)/2 = (144 - 32\sqrt{3})/2 = 72 - 16\sqrt{3}$.
💡 미지수 둘, 식 둘 — 소거로 바로.
5.NBT.B.5 단계 6 - 육각형 둘레는 여섯 변의 합.
- $P = P_1 + P_2 = (32\sqrt{3} - 36) + (72 - 16\sqrt{3}) = 36 + 16\sqrt{3}$.
- 따라서 $m = 36, n = 16, p = 3$, 모두 양의 정수이고 $p = 3$ 은 무제곱.
💡 두 부분합을 더해 전체 둘레, $m, n, p$ 는 식에서 바로 읽음.
8.G.A.5 등각육각형이므로 각 내각 $= \tfrac{(6-2)\cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$. 한 칸 건너 세 변 $AB, C 8.EE.A.2 큰 삼각형 각각의 변 길이를 넓이에서 복원. 정삼각형(변 $s$) 넓이 $= \tfrac{s^2 \sqrt{3}}{4}$. 첫 번째: $\tfr 8.G.A.5 그림에서 육각형 변 길이 읽기. 변 $s_2 = 36$ 인 큰 삼각형은 $AB, CD, EF$ 가 놓이는 삼각형. 이 삼각형의 각 변은 "모서리 4.OA.A.3 더 쉬운 경우로 검산. 정육각형은 $P_1 = P_2$ 이고 두 큰 삼각형이 같음. 이 관계에 대입하면 $3 P_1 = 3 s = 3 \cdot 8.EE.C.8 $P_1, P_2$ 연립방정식 풀이. $P_1 + 2 P_2 = 108$ 과 $2 P_1 + P_2 = 48\sqrt{3}$. 두 번째 식에 $ 5.NBT.B.5 육각형 둘레는 여섯 변의 합. $P = P_1 + P_2 = (32\sqrt{3} - 36) + (72 - 16\sqrt{3}) = 36 + 1 검토
합리성 확인: 각 $P_i$ 가 양수여야 함. $P_1 = 32\sqrt{3} - 36 \approx 55.4 - 36 = 19.4 > 0$, $P_2 = 72 - 16\sqrt{3} \approx 72 - 27.7 = 44.3 > 0$ — 육각형이 실제로 만들어짐. 두 큰 삼각형 변 길이 $16\sqrt{3} \approx 27.7$ 과 $36$ 이 다르므로 넓이도 다른 것($192\sqrt{3}$ 대 $324\sqrt{3}$)과 일관. 넓이 비 $324/192 = 27/16$, 변 길이 비 $\sqrt{27/16} = 3\sqrt{3}/4 \approx 1.30 = 36/27.7$ — 일치. 답 $55$ 가 (C) 와 정확히 일치.
대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) 직접: 육각형 변을 $a, b, c, d, e, f$ 라 두고 등각 조건 $a - d = e - b = c - f$ 와 큰 삼각형 변 표현을 합치면 같은 연립방정식이 나오지만 계산이 많아짐. 그림(도구 #1)을 통하면 식이 두 개로 줄어듦.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
4.OA.A.3네 가지 연산을 이용한 여러 단계 문장제 해결 (정육각형 특수 경우에서 $P_1 = P_2$ 로 식이 무너지는지 검산.)5.NBT.B.5표준 알고리즘으로 다자릿 정수 능숙히 곱하기 (최종 합 $36 + 16 + 3 = 55$ 와 중간 계산($\sqrt{768} = 16\sqrt{3}$ 등) 의 사칙연산.)8.EE.A.2방정식의 해를 제곱근·세제곱근으로 표현; 작은 완전제곱의 제곱근 계산 ($s_1^2 = 768, s_2^2 = 1296$ 풀어 $s_1 = 16\sqrt{3}, s_2 = 36$ 구하기.)8.EE.C.8두 미지수의 일차연립방정식 분석과 해결 (연립 $P_1 + 2 P_2 = 108, 2 P_1 + P_2 = 48\sqrt{3}$ 을 $P_1, P_2$ 에 대해 풀기.)8.G.A.5비형식적 논증으로 각의 합과 외각에 관한 사실 확립 (내각 $120^\circ$ 에서 외각 $60^\circ$ 를 이끌어내고 모서리 칩과 두 큰 삼각형이 모두 정삼각형임을 증명.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 이미 배운 8학년 각 추론과 $2 \times 2$ 연립방정식만 있으면 풀려요 — 한 칸 건너 변들을 연장하면 모든 모서리 칩과 두 큰 삼각형이 정삼각형($180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ 이므로), 넓이에서 변 길이 $s_1 = 16\sqrt{3}, s_2 = 36$ 을 복원하고 일차방정식 $P_1 + 2 P_2 = 108, 2 P_1 + P_2 = 48\sqrt{3}$ 을 풀어 둘레 $= 36 + 16\sqrt{3}$, $m + n + p = 55$.
⭐ 이 AMC 10 문제는 이미 배운 8학년 각 추론과 $2 \times 2$ 연립방정식만 있으면 풀려요 — 한 칸 건너 변들을 연장하면 모든 모서리 칩과 두 큰 삼각형이 정삼각형($180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ 이므로), 넓이에서 변 길이 $s_1 = 16\sqrt{3}, s_2 = 36$ 을 복원하고 일차방정식 $P_1 + 2 P_2 = 108, 2 P_1 + P_2 = 48\sqrt{3}$ 을 풀어 둘레 $= 36 + 16\sqrt{3}$, $m + n + p = 55$.
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