AMC 10 · 2021 · #23

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

geometric-probabilityarea-trianglesarea-circlesminkowski-sum identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: geometric-probabilityarea-triangles

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

A square with side length $8$ is colored white except for $4$ black isosceles right triangular regions with legs of length $2$ in each corner of the square and a black diamond with side length $2\sqrt{2}$ in the center of the square, as shown in the diagram. A circular coin with diameter $1$ is dropped onto the square and lands in a random location where the coin is completely contained within the square. The probability that the coin will cover part of the black region of the square can be written as $\frac{1}{196}\left(a+b\sqrt{2}+\pi\right)$ , where $a$ and $b$ are positive integers. What is $a+b$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

~64

(B)

~66

(C)

~68

(D)

~70

(E)

~72

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $8 \times 8$ 흰 정사각형 안에 검은 영역 $5$ 개: 중앙의 다이아몬드 (한 변 $2\sqrt{2}$ 인 정사각형을 $45^\circ$ 회전), 그리고 네 모서리 각각의 이등변 직각삼각형 (다리 $2$). 지름 $1$ 인 동전을 무작위로 떨어뜨려 동전이 $8 \times 8$ 정사각형 안에 완전히 들어가는 모든 위치 중 균일 분포로 한 곳에 놓는다. 동전이 검은 영역과 겹칠 확률은 $\tfrac{1}{196}(a + b\sqrt{2} + \pi)$ ($a, b$ 양의 정수) 형태이다. $a + b$ 를 구하시오.

주어진 것: $8 \times 8$ 흰 정사각형; 좌표 $0 \le x, y \le 8$; 모서리 삼각형 $4$ 개: 이등변 직각, 다리 $2$, 큰 정사각형 네 모서리; 중앙 다이아몬드 $1$ 개: 한 변 $2\sqrt{2}$ 인 정사각형을 $45^\circ$ 회전, 꼭짓점 $(4,2), (6,4), (4,6), (2,4)$; 동전 반지름 $r = \tfrac{1}{2}$ (지름 $1$); 동전이 $8 \times 8$ 정사각형 안에 완전히 들어가는 위치들에서 균일 무작위; 확률 형태: $\tfrac{1}{196}(a + b\sqrt{2} + \pi)$, $a, b$ 양의 정수; 선택지: (A) $64$, (B) $66$, (C) $68$, (D) $70$, (E) $72$

구하는 것: $a + b$

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #10 직접 만져보기, #3 가능성 지우기

도구 #1 (그림 그리기) — $8 \times 8$ 정사각형 안에 다섯 검은 영역과 동전 중심이 갈 수 있는 영역을 그린다. 도구 #9 (더 쉬운 문제) — "동전이 검은 영역과 겹침" 을 "중심이 검은 영역과 거리 $\tfrac{1}{2}$ 이내" 로 치환 (기하 확률의 표준 기법). 도구 #7 (쪼개기) — 유리 영역을 (a) 다이아몬드 + 버퍼, (b) 모서리 삼각형 네 개 + 버퍼 로 분리; 둘은 안 겹침. 도구 #10 (직접 만져보기) — 종이 모형으로 동전을 굴려보면 버퍼가 어떻게 생기는지 손으로 확인. 도구 #3 (가능성 지우기) — 마지막 $a + b$ 가 다섯 정수 중 하나여야 함.

실행 — 정답: C

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.G.B.6 단계 1

표본공간.
동전 (반지름 $\tfrac{1}{2}$) 이 $8 \times 8$ 안에 완전히 들어가려면 중심이 $[\tfrac{1}{2}, \tfrac{15}{2}] \times [\tfrac{1}{2}, \tfrac{15}{2}]$ — $7 \times 7$ 정사각형, 넓이 $49$.

$$A_{\text{sample}} = 7 \times 7 = 49$$

💡 중심이 각 변에서 반지름 이상 떨어져 있으면 동전이 정사각형 안에 완전 수용.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.G.B.6 단계 2

"동전이 검은 영역과 겹침" 을 "중심이 검은 영역과 거리 $\tfrac{1}{2}$ 이내" 로 바꿔 표현.
유리 영역 $F$ 는 각 검은 영역을 반지름 $\tfrac{1}{2}$ 인 원으로 부풀린 후 $7 \times 7$ 표본공간과 교집합.
다이아몬드의 버퍼와 모서리 삼각형들의 버퍼는 서로 충분히 떨어져 있어 (다이아몬드의 가장 가까운 점까지 몇 단위 떨어짐) 따로 계산하고 합칠 수 있음.

$$F = \{p : d(p, \text{검정}) \le \tfrac{1}{2}\} \cap \text{표본}$$

💡 물리적 접촉 (동전이 영역에 닿음) 을 중심까지의 거리 한 가지 조건으로 변환.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.6 단계 3

다이아몬드 기여.
중앙 다이아몬드는 한 변 $s = 2\sqrt{2}$ 인 정사각형을 $45^\circ$ 돌린 것.
넓이 $s^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$.
버퍼는 (i) 네 변을 따라 직사각형 $2\sqrt{2} \times \tfrac{1}{2}$ 네 개, 총 넓이 $4 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \tfrac{1}{2} = 4\sqrt{2}$; (ii) 네 꼭짓점의 부채꼴이 합쳐져 반지름 $\tfrac{1}{2}$ 인 원 하나, 넓이 $\pi (\tfrac{1}{2})^2 = \tfrac{\pi}{4}$.
따라서 $A_{\text{diamond}} = 8 + 4\sqrt{2} + \tfrac{\pi}{4}$.
다이아몬드는 $(4, 4)$ 중심, 반경 $2 + \tfrac{1}{2}$ 이내라 버퍼 전체가 $7 \times 7$ 표본공간 안에 안전히 들어감.

$$A_{\text{diamond}} = 8 + 4\sqrt{2} + \tfrac{\pi}{4}$$

💡 버퍼 = 원본 + 변마다 직사각형 + 꼭짓점 부채꼴 네 개 (합쳐서 원 하나).

#1 그림 그리기 8.G.B.8 단계 4

모서리 삼각형 기여.
왼쪽 아래 검은 삼각형 꼭짓점 $(0,0), (2,0), (0,2)$ (다른 셋은 대칭).
이 삼각형에 대한 중심의 유리 영역 (삼각형과 거리 $\tfrac{1}{2}$ 이내 + 표본공간 안 $x, y \ge \tfrac{1}{2}$) 경계: (a) 표본 가장자리 $x = \tfrac{1}{2}$, $y = \tfrac{1}{2}$; (b) 빗변 $x + y = 2$ 와 평행하며 거리 $\tfrac{1}{2}$ 떨어진 선 $x + y = 2 + \tfrac{\sqrt{2}}{2}$.
(거리 공식 확인: 평행선 $x + y = c$ 와 $x + y = 2$ 사이 거리 $= \tfrac{|c - 2|}{\sqrt{2}}$ 이고 $c = 2 + \tfrac{\sqrt{2}}{2}$ 면 거리 $= \tfrac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}} = \tfrac{1}{2}$ ✓.)

$$\text{경계선: } x = \tfrac{1}{2},\; y = \tfrac{1}{2},\; x + y = 2 + \tfrac{\sqrt{2}}{2}$$

💡 표본 가장자리가 이미 두 변을 만들어 주니, 빗변 쪽만 평행이동.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.6 단계 5

모서리 한 개에 대한 유리 삼각형 영역 계산.
꼭짓점 $(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2})$, $(\tfrac{1}{2}, \tfrac{3}{2} + \tfrac{\sqrt{2}}{2})$, $(\tfrac{3}{2} + \tfrac{\sqrt{2}}{2}, \tfrac{1}{2})$.
이등변 직각삼각형, 다리 $\ell = 1 + \tfrac{\sqrt{2}}{2}$.
넓이 $\tfrac{1}{2}\ell^2 = \tfrac{1}{2}\bigl(1 + \tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)^2 = \tfrac{1}{2}\bigl(1 + \sqrt{2} + \tfrac{1}{2}\bigr) = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{3 + 2\sqrt{2}}{2} = \tfrac{3 + 2\sqrt{2}}{4}$.
네 모서리 대칭이므로 총합 $4 \cdot \tfrac{3 + 2\sqrt{2}}{4} = 3 + 2\sqrt{2}$.

$$A_{\text{한 모서리}} = \tfrac{3 + 2\sqrt{2}}{4},\; A_{\text{네 모서리}} = 3 + 2\sqrt{2}$$

💡 표본공간 잘림으로 버퍼 일부가 깎이고 남은 건 깔끔한 직각삼각형.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.3 단계 6

유리 영역 합.
$A_F = A_{\text{diamond}} + A_{\text{네 모서리}} = (8 + 4\sqrt{2} + \tfrac{\pi}{4}) + (3 + 2\sqrt{2}) = 11 + 6\sqrt{2} + \tfrac{\pi}{4}$.
공통분모 $4$: $A_F = \tfrac{44 + 24\sqrt{2} + \pi}{4}$.

$$A_F = \tfrac{44 + 24\sqrt{2} + \pi}{4}$$

💡 다이아몬드 영역과 네 모서리 영역이 안 겹치니 단순 합산.

#3 가능성 지우기 4.NBT.B.4 단계 7

확률.
$P = \dfrac{A_F}{A_{\text{sample}}} = \dfrac{(44 + 24\sqrt{2} + \pi)/4}{49} = \dfrac{44 + 24\sqrt{2} + \pi}{196} = \dfrac{1}{196}(44 + 24\sqrt{2} + \pi)$.
주어진 형태와 비교: $a = 44, b = 24$.
따라서 $a + b = 68$, 선택지 (C).

$$P = \tfrac{1}{196}(44 + 24\sqrt{2} + \pi);\;\; a + b = 68 \Rightarrow \textbf{(C)}$$

💡 $1, \sqrt{2}, \pi$ 계수를 따로 비교 — $a$ 는 유리부, $b$ 는 $\sqrt{2}$ 계수.

[1] #9 7.G.B.6 표본공간. 동전 (반지름 $\tfrac{1}{2}$) 이 $8 \times 8$ 안에 완전히 들어가려면 중심이 $[\tfrac{1}{2}, \t

[2] #9 7.G.B.6 "동전이 검은 영역과 겹침" 을 "중심이 검은 영역과 거리 $\tfrac{1}{2}$ 이내" 로 바꿔 표현. 유리 영역 $F$ 는 각 검은 영역

[3] #7 7.G.B.6 다이아몬드 기여. 중앙 다이아몬드는 한 변 $s = 2\sqrt{2}$ 인 정사각형을 $45^\circ$ 돌린 것. 넓이 $s^2 = (2\sq

[4] #1 8.G.B.8 모서리 삼각형 기여. 왼쪽 아래 검은 삼각형 꼭짓점 $(0,0), (2,0), (0,2)$ (다른 셋은 대칭). 이 삼각형에 대한 중심의 유리

[5] #7 7.G.B.6 모서리 한 개에 대한 유리 삼각형 영역 계산. 꼭짓점 $(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2})$, $(\tfrac{1}{2}, \t

[6] #7 6.NS.B.3 유리 영역 합. $A_F = A_{\text{diamond}} + A_{\text{네 모서리}} = (8 + 4\sqrt{2} + \tfrac{

[7] #3 4.NBT.B.4 확률. $P = \dfrac{A_F}{A_{\text{sample}}} = \dfrac{(44 + 24\sqrt{2} + \pi)/4}{49}

검토

합리성 확인: 감각 점검. $P = \dfrac{44 + 24\sqrt{2} + \pi}{196} \approx \dfrac{44 + 33.9 + 3.14}{196} \approx \dfrac{81.0}{196} \approx 0.413$. 약 $41\%$ — 검은 영역의 단순 비율은 $\tfrac{16}{64} = 25\%$ 인데 동전이 영역의 경계 근처에 떨어져도 "겹침" 으로 카운트되니 더 큰 $\sim 40\%$ 가 합리적. 계수 매칭: $a + b = 68$ 은 다섯 선택지 중 정확히 가운데 — 너무 작거나 ($64, 66$) 너무 크지 ($70, 72$) 도 않은 균형 잡힌 값.

대안 접근: 도구 #10 (직접 만져보기) — 각 검은 영역의 종이 모형 둘레를 동전으로 굴리면 동전 중심이 그리는 경로가 정확히 유리 영역을 둘러쌈. 다이아몬드는 "내부 + 변마다 직사각형 + 꼭짓점 부채꼴 합산" 이 손으로 확인되고, 모서리 삼각형은 표본 잘림으로 깔끔한 직각삼각형만 남음. 또는 도구 #16 (관점 바꾸기): 동전이 완전히 흰 영역인 보 사건의 넓이를 계산해 빼는 방법도 가능 — 그러나 직접 버퍼 합산이 더 깔끔.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.NBT.B.4 여러 자리 정수의 덧셈·뺄셈을 능숙히 (마지막 $a + b = 44 + 24 = 68$ 계산.)
6.NS.B.3 여러 자리 소수의 사칙연산을 능숙히 ($A_F = 11 + 6\sqrt{2} + \tfrac{\pi}{4} = \tfrac{44 + 24\sqrt{2} + \pi}{4}$ 공통분모 정리.)
7.G.B.6 넓이·겉넓이·부피 관련 실생활 문제 해결 (버퍼링된 다이아몬드 ($8 + 4\sqrt{2} + \tfrac{\pi}{4}$) 와 네 모서리 영역 ($3 + 2\sqrt{2}$) 의 넓이 계산, 동전 겹침을 중심거리 조건으로 변환 (기하 확률 표본 넓이).)
8.G.B.8 좌표평면에서 두 점 사이 거리에 피타고라스 정리 적용 (점에서 직선 $x + y = 2$ 까지의 거리 공식으로 평행선 $x + y = 2 + \tfrac{\sqrt{2}}{2}$ 유도.)

⭐ 이 어려운 AMC 10 문제도 사실 7-8학년 "넓이와 거리" 만으로 풀려요 — "동전이 검은 영역과 겹침" 을 "중심이 거리 $\tfrac{1}{2}$ 이내" 로 바꾸면, 유리 영역이 중앙 버퍼 다이아몬드 ($8 + 4\sqrt{2} + \tfrac{\pi}{4}$) + 네 작은 모서리 삼각형 ($\tfrac{3 + 2\sqrt{2}}{4}$ 씩) 로 깔끔하게 나뉘어, 확률 $\tfrac{44 + 24\sqrt{2} + \pi}{196}$, 답 $a + b = 68$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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