AMC 10 · 2022 · #15
학년 8 geometry-2d문제
Quadrilateral ABCD with side lengths AB=7,BC=24,CD=20,DA=15 is inscribed in a circle. The area interior to the circle but exterior to the quadrilateral can be written in the form caπ−b, where a,b, and c are positive integers such that a and c have no common prime factor. What is a+b+c?
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AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 사각형 $ABCD$ 의 변의 길이가 $AB = 7, BC = 24, CD = 20, DA = 15$ 이고 원에 내접합니다. 원의 내부이면서 사각형의 외부인 영역의 넓이가 $\dfrac{a\pi - b}{c}$ ($a, b, c$ 는 양의 정수, $a$ 와 $c$ 는 공통 소인수가 없음) 로 표현될 때 $a + b + c$ 를 구하세요.
주어진 것: 내접 사각형 $ABCD$, 변 $AB=7, BC=24, CD=20, DA=15$; 넓이 형태: $\dfrac{a\pi - b}{c}$; 조건: $a$ 와 $c$ 는 공통 소인수가 없음; 선택지: (A) $260$, (B) $855$, (C) $1235$, (D) $1565$, (E) $1997$
구하는 것: $a + b + c$
이해
문제 재정리: 사각형 $ABCD$ 의 변의 길이가 $AB = 7, BC = 24, CD = 20, DA = 15$ 이고 원에 내접합니다. 원의 내부이면서 사각형의 외부인 영역의 넓이가 $\dfrac{a\pi - b}{c}$ ($a, b, c$ 는 양의 정수, $a$ 와 $c$ 는 공통 소인수가 없음) 로 표현될 때 $a + b + c$ 를 구하세요.
주어진 것: 내접 사각형 $ABCD$, 변 $AB=7, BC=24, CD=20, DA=15$; 넓이 형태: $\dfrac{a\pi - b}{c}$; 조건: $a$ 와 $c$ 는 공통 소인수가 없음; 선택지: (A) $260$, (B) $855$, (C) $1235$, (D) $1565$, (E) $1997$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #5 패턴 찾기, #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기
도구 #1(그림): 변 $7, 24, 20, 15$ 순으로 내접 사각형을 그리고 대각선 $AC$ 를 그으면 도형이 두 삼각형으로 갈라집니다. 도구 #5(패턴)이 핵심 통찰: $7$-$24$-?? 와 $15$-$20$-?? 가 유명한 피타고라스 삼조($7$-$24$-$25$ 와 $3$-$4$-$5$ 의 $5$ 배인 $15$-$20$-$25$) 를 외치고 있음. 두 삼각형이 공유하는 대각선이 정확히 $25$ 라는 사실은 $B$ 와 $D$ 에서 직각을 강제하고, $\angle B + \angle D = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ 이므로 내접 조건과 일치. 반원에 내접한 직각은 지름을 마주보므로 $AC$ 가 원의 지름. 도구 #7(쪼개기)이 (a) 반지름 $25/2$ 의 원 넓이, (b) 두 직각삼각형 넓이의 합, (c) 차이로 (a\pi - b)/c$ 형태, (d) $a, b, c$ 합으로 작업을 나눕니다.
실행 — 정답: D
7.G.A.2 단계 1 $AB = 7, BC = 24, CD = 20, DA = 15$ 인 사각형을 그리고 대각선 $AC$ 를 더하면 $ABCD$ 가 두 삼각형 $\triangle ABC$ (변 $7, 24, AC$) 와 $\triangle ACD$ (변 $15, 20, AC$) 로 갈라집니다.
💡 7학년 기하 구성: 대각선 하나면 복잡한 도형이 익숙한 두 삼각형이 됨.
8.G.B.7 단계 2 - 유명한 피타고라스 삼조 패턴을 잡기.
- $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$, 즉 $7$-$24$-$25$ 직각 삼조.
- 또 $15 = 3 \cdot 5, 20 = 4 \cdot 5$ 이므로 $15$-$20$-$25$ 는 $3$-$4$-$5$ 를 $5$ 배 한 것, $15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2$.
- 두 삼각형이 대각선 $AC$ 를 공유하고 두 계산이 모두 $AC = 25$ 를 가리키므로, $\triangle ABC$ 는 $B$ 에서 직각, $\triangle ACD$ 는 $D$ 에서 직각, 공통 빗변 $AC = 25$.
💡 8학년 피타고라스: 같은 빗변을 공유하는 두 유명 삼조를 인식하면 그림의 모든 각이 한 번에 결정.
7.G.B.4 단계 3 - 원주각 / 탈레스 사실 사용: 지름을 마주보는 원주각은 직각, 역도 성립.
- $\angle B$ 와 $\angle D$ 가 모두 현 $AC$ 를 마주보는 원주 직각이므로 $AC$ 가 원의 지름.
- 반지름 $r = AC / 2 = 25/2$.
💡 7학년 원의 성질: 원주 $90^\circ$ 와 지름은 같은 사실의 두 얼굴 (탈레스).
7.G.B.4 단계 4 원의 넓이: $A_{\text{원}} = \pi r^2 = \pi \cdot \left(\dfrac{25}{2}\right)^2 = \dfrac{625\pi}{4}$.
💡 7학년 원의 넓이 공식을 $r = 25/2$ 에 적용.
6.G.A.1 단계 5 - 사각형 넓이는 두 직각삼각형 넓이의 합 (각각 $\tfrac{1}{2} \cdot \text{직각변}_1 \cdot \text{직각변}_2$).
- $\text{넓이}(\triangle ABC) = \tfrac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = 84$.
- $\text{넓이}(\triangle ACD) = \tfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150$.
- 합계 $84 + 150 = 234$.
💡 6학년 분해 넓이: 삼각형 넓이 = $\tfrac{1}{2} \cdot$ 밑변 $\cdot$ 높이, 직각삼각형은 두 직각변이 그 자리를 차지.
6.NS.B.3 단계 6 차를 구해 "원 안 사각형 밖" 넓이를 얻고, 분모 $4$ 로 통분해 $(a\pi - b)/c$ 꼴로 정리.
💡 6학년 분수 계산: $234 = 936/4$ 로 통분 후 뺄셈.
6.NS.B.4 단계 7 - 형식 매칭: $a = 625, b = 936, c = 4$.
- 공통 소인수 조건 확인 — $625 = 5^4$ (소인수 $5$ 뿐), $4 = 2^2$ (소인수 $2$ 뿐).
- 공유 소인수 없음, 조건 충족.
- 합 $a + b + c = 625 + 936 + 4 = 1565$.
💡 6학년 GCF / 소인수 확인으로 형식의 표준성 점검 후 단순 덧셈으로 답.
6.EE.B.5 단계 8 $1565$ 를 선택지와 매칭: (D).
💡 마지막 객관식 비교.
7.G.A.2 $AB = 7, BC = 24, CD = 20, DA = 15$ 인 사각형을 그리고 대각선 $AC$ 를 더하면 $ABCD$ 가 두 삼각형 $\t 8.G.B.7 유명한 피타고라스 삼조 패턴을 잡기. $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$, 즉 $7$-$24$-$25$ 직각 삼조 7.G.B.4 원주각 / 탈레스 사실 사용: 지름을 마주보는 원주각은 직각, 역도 성립. $\angle B$ 와 $\angle D$ 가 모두 현 $AC$ 를 7.G.B.4 원의 넓이: $A_{\text{원}} = \pi r^2 = \pi \cdot \left(\dfrac{25}{2}\right)^2 = \dfrac 6.G.A.1 사각형 넓이는 두 직각삼각형 넓이의 합 (각각 $\tfrac{1}{2} \cdot \text{직각변}_1 \cdot \text{직각변}_2$). 6.NS.B.3 차를 구해 "원 안 사각형 밖" 넓이를 얻고, 분모 $4$ 로 통분해 $(a\pi - b)/c$ 꼴로 정리. 6.NS.B.4 형식 매칭: $a = 625, b = 936, c = 4$. 공통 소인수 조건 확인 — $625 = 5^4$ (소인수 $5$ 뿐), $4 = 2 6.EE.B.5 $1565$ 를 선택지와 매칭: (D). 검토
합리성 확인: 크기 점검. 원 넓이 $625\pi/4 \approx 490.9$, 사각형 넓이 $234$, 차 $\approx 256.9$ — "원 안 사각형 밖" 의 양수, 자연스러움. 지름 $25$ 도 그림과 일관: 최장 변 $24$ 는 지름보다 약간 작고, 최단 변 $7$ 은 현으로 넉넉히 들어맞음. $1565$ 최종 점검: $625 + 936 = 1561$, $+4 = 1565$. ✓
대안 접근: 도구 #6(추측·확인)으로 선택지 검토: $(a\pi - b)/c$ 와 GCF 조건은 특정 $a, b, c$ 만을 허용. (A) $260$ 은 $625 + 936 + 4$ 가 들어갈 자리가 없을 만큼 작음. (E) $1997$ 은 $a$ 가 $625$ 보다 훨씬 커야 하지만 보이는 원의 지름은 $25$ 뿐이라 $a = 625$ 가 유일. 피타고라스 삼조와 반지름 $25/2$ 그림과 일관된 선택지는 (D) $1565$ 뿐.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
6.EE.B.5방정식·부등식 풀기를 "값 찾기" 과정으로 이해하기 ($a + b + c = 1565$ 을 다섯 선택지와 대조해 (D) 를 고르는 마무리에 사용.)6.NS.B.3다자릿수 소수의 사칙연산을 능숙하게 수행하기 ($234$ 를 공통 분모 $4$ 위에 $936/4$ 로 옮긴 뒤 $\dfrac{625\pi}{4} - \dfrac{936}{4}$ 를 계산하는 데 사용.)6.NS.B.4두 수의 최대공약수와 최소공배수 찾기 ($625 = 5^4$, $4 = 2^2$ 의 소인수 분해로 $\gcd(625, 4) = 1$ 을 확인하는 데 사용.)6.G.A.1삼각형·특수 사각형·다각형의 넓이를 분해해 구하기 (사각형 넓이를 두 직각삼각형으로 분해해 $\tfrac{1}{2} \cdot \text{직각변}_1 \cdot \text{직각변}_2$ 합으로 계산하는 데 사용.)7.G.A.2주어진 조건으로 삼각형 등 기하 도형 그리기 (주어진 변 길이로 내접 사각형 $ABCD$ 를 그리고 대각선 $AC$ 를 추가해 두 삼각형으로 나누는 데 사용.)7.G.B.4원의 넓이와 둘레 공식 알기 ($r = 25/2$ 로 원의 넓이 $\pi r^2$ 을 계산하고, 지름에 대한 원주각이 직각이라는 사실을 사용.)8.G.B.7피타고라스 정리로 직각삼각형의 알 수 없는 변 길이 구하기 ($7^2 + 24^2 = 25^2$ 과 $15^2 + 20^2 = 25^2$ 을 인식해 두 삼각형이 직각삼각형이며 $AC = 25$ 임을 결정하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 피타고라스 삼조 패턴만 알면 풀 수 있어요! 변 $7, 24$ 와 $15, 20$ 은 유명한 삼조 $7$-$24$-$25$ 와 $15$-$20$-$25$. 두 삼각형이 같은 빗변 $AC = 25$ 를 공유하므로 그것이 원의 지름. 원 넓이 $625\pi/4$ 에서 사각형 넓이 $234$ 를 빼면 $(625\pi - 936)/4$, 따라서 $a + b + c = 625 + 936 + 4 = 1565$ 이에요.
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 피타고라스 삼조 패턴만 알면 풀 수 있어요! 변 $7, 24$ 와 $15, 20$ 은 유명한 삼조 $7$-$24$-$25$ 와 $15$-$20$-$25$. 두 삼각형이 같은 빗변 $AC = 25$ 를 공유하므로 그것이 원의 지름. 원 넓이 $625\pi/4$ 에서 사각형 넓이 $234$ 를 빼면 $(625\pi - 936)/4$, 따라서 $a + b + c = 625 + 936 + 4 = 1565$ 이에요.
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